精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题

圆的基本性质

知识点

圆的定义

几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。其中，O为圆心，OA为半径。

集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。

圆的书写格式：

圆的对称性

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

与圆有关的线段

半径：圆上一点与圆心的连线段。确定一个圆的要素是圆心和半径。

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。表示方法：

优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。表示方法：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

注意：同弧或等弧对应的弦相等。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意: 定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.

注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。

（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。

例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.

例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。

例3.如图，已知在圆O中，A、B、C三点在圆O上，已知弧BC=2弧AB，则弦BC与2AB之间的大小关系是什么？请证明你的结论。

例4.如图，在半径为5cm的圆O中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB和弦CD的距离。

例5.如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=600，求CD的长。

同步练习：

1.已知P为⊙O内一点，且OP=2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过点P的最长的弦长为______；最短的弦长为_______。

2.已知AB是⊙O的弦，弦CD过圆心且平分弦AB于M，若OM=DM，则∠AOB＝_______

3.在半径为2cm的圆中，垂直平分半径的弦长为______

4.如图，半径为1cm的圆中，弦MN垂直平分弦AB，则MN=_______cm。

5.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

6.如图,有一个圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为___________

7.⊙O中的半径为5cm，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD=6cm，则AE的长为________cm。

8.过⊙O内一点M的最长弦10cm，最短弦为8cm，则OM为________

9.若圆中某弦长8cm，圆心到弦的距离为3cm，则此圆的半径为

10.⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是_____________

11.在⊙O 中，OA 为半径，CD 垂直平分OA ，且OA=4cm ，则弦CD 的长为_________

12.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦中点到弦多对劣弧中点的距离是_________.

13.在⊙O 中,弦AB=24,弦CD=10,圆心到AB 的距离为5,则圆心到CD 的距离为__________

14.已知⊙O 的半径为3,OA=1,则过A 点的最短的弦长为__________

15.如图，扇形OAB 中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C 是线段AB 的中点，CD//OA ，交弧AB 于点D ，则CD= .

16.下列说法错误的是（ ）

A ．等弧所对圆周角相等

B ．同弧所对圆周角相等

C ．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．

D ．同圆中，等弦所对的圆周角相等

17.点P 是半径为5的⊙O 内一点,且OP=3,在过点P 的所有弦中,长度为整数的弦一共有（ ）

A.2条

B.3条

C.4条

D.5条

18.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则OM 的长为（ ）

A.3厘米

B.5厘米

C.2厘米

D.5厘米

19.如图,已知AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB 于点P,CD=10厘米,AP ∶PB=1:5,那么⊙O 的半径是（ ）

A.6厘米

B.53厘米

C.8厘米

D.35厘米

20.如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C,若AB=3,BC=1,则与圆环的面积最接近的整数是( )

A.9

B.10

C.15

D.13

21.如图,顺次连接圆内接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=10,DF=4,则菱形ABCD的边长为（）

A.42

B.52

C.6

D.9

22.如图,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆与角的两边分别相交于A、B和C、D,角平分线PO和⊙O相交于G、H.下列结论：①AB=CD；②弧AB=弧CD；③PB=PD；④PA=PC,其中正确的有（）．

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

23.已知:四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上,对角线AC⊥BD,AB＞CD.若CD=4,则AB与圆的距离为( ) A.5 B.2 C.3 D.2

24.已知:如图,在⊙O中,弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD；⑵∠AOC=∠BOD.

25.如图,已知:⊙O中,AB、CD为弦,OC交AB于D,求证:(1)∠ODB>∠OBD;(2)∠ODB>∠OBC.

26.已知如图,AB、AC为弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，DE是△ABC的中位线吗？

27.已知⊙O中,D、E分别是不平行的两条弦AB和CD的中点,且AB=AC,求证:∠ADE=∠CED.

28.如图,⊙O中,弦AB=8,C为弧AB中点,CD⊥AB于D,若CD=2,求⊙O的半径.

29.如图,已知在⊙O中,弦AB=CD,且AB⊥CD,垂足为H,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F.

（1）求证：四边形OEHF是正方形.

（2）若CH=3,DH=9,求圆心O到弦AB和CD的距离.

30.如图：在⊙O中,OA=OB,OC,OD交AB于E,F,AE=FB,求证:OE=OF.