(整理)第十二章动能定理习题解答
习 题
12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。
图12-23
))((2
sin 2st 2
st s k s mg W +-+
?=δδθ 2st 2
sin s k
s k mgs --=δθ
22
s k -=
12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ?+b ?2，其中?为转角，a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。
图12-24
3
22π40
π3
64π8d )+ (d b a b a M W M +
===?
????? mgr r mg W F π4π4μμ-=?-=
)3π16π6π(3
4
π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑
12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ，试求杆的动能。
图12-25
x x l m
x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω===
θωθω2220222k sin 61
d )sin 2(ml x x l m E l ?==
12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。试求系统的动能。
图12-26
])30sin ()30cos [(2
1
2122221k ?++?+=
u v u m v m E
)30cos 2(21
2122221?+++=
uv v u m v m )3(2
1
2122221uv v u m v m +++=
12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为?时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。
图12-27
AB A E E E k k k +=
22222221)121(21])sin 2()cos 2[(2121ω?ω?ωl m l l v m v m A A ++++= )121cos 41(212122222
221ω?ωωl lv l v m v m A A A ++++=
)c o s 3
1(2121222
221?ωωA A A lv l v m v m +++=
12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是均质细杆，其质量分别为m 1和2m 1，且OC=AC=BC=l ，如图12-28所示。滑块A 和B 的质量都等于m 2。如作用在曲柄上的力偶矩为M ，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图12-28
ωl v C = ωω=AB
?ωω?c o s 2c o s 2l l v AB A =?= ?ωs i n 2l v B =
B A AB O
C E E E E E k k k k k +++=
)(21])2)(2(121[21)2(21)31(212
2222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω
222221*********
3161ωωωωl m l m l m l m ?+++=
2
2212
43ωl m m +=
?M W =∑ 动能定理
?ωM l m m =+2
2212
43 2
21)43(l m m M
+=
α
12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA 上作用有一力偶矩为M 的常力偶，如图12-29
所示。若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB =2π，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m 1，长为r 且为均质细杆；导杆质量为m 2；导杆与滑道间的摩擦力可
认为等于常值F ，不计滑块A 的质量。
图12-29
01k =E
2221222212k )3(61
)(2161ωωωr m m r m r m E +=+=
Fr M W 4π2-=∑ 动能定理
)2(π2)3(6
1
2221Fr M r m m -=+ω 2
12213)2(π32)3()2(π12m m Fr M r r m m Fr M +-=
+-=ω
12–8 半径为R 质量为m 1的均质圆盘A 放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端
系在圆盘中心A ，另一端绕过均质滑轮C 后挂有重物B 。已知滑轮C 的半径为r ，质量为m 2；重物B 质量为m 3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B 下落的距离为h 时，圆盘中心的速度和加速度。
图12-30
01k =E
23222212k 21
))(21(2143v m r v r m v m E ++=
2321)23(4
1
v m m m ++=
gh m W 3=∑
动能定理
gh m v m m m 32321)23(4
1
=++ 3
213234m m m gh
m v ++=
3
213232m m m g
m a ++=
12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为θ，在链轮B 上作用一力偶矩为M 的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A 的质量为m 1，链轮B 、C 的半径均为r ，质量均为m 2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移s 表示。不计链条的质量。
图12-31
01k =E
2))(21(2121222212k ?+=
r v
r m v m E 221)(21
v m m +=
r
s
gr m M gr m M W )sin (sin 11θθ??-=-=∑
动能定理
r
s gr m M v m m )sin ()(211221θ-=+
)
()sin (2211m m r s gr m M v +-=
θ )
(sin 211m m r gr m M a +-=
θ
12–10 如图12-32所示，质量为m 1的直杆AB 可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m 2、倾角为θ的光滑的楔块C 上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。
图12-32
θtan C AB v v = 01k =E
2
2212k 2121C
AB v m v m E += 2
222121t a n 21C
C v m v m +=θ 2
221)t a n (2
1C
v m m +=θ θtan 1gs m W =∑ 动能定理
θθt a n )t a n (2
112
221gs m v m m C =+
2
2
11tan tan m m g m a C +=θθ 2
2121tan tan tan m m g m a a C AB
+=
=θθθ
12–11 如图12-33所示，均质细杆长为l ，质量为m 1，上端B 靠在光滑的墙下，下端A 用铰链与圆柱的中心相连。圆柱质量为m 2，半径为R ，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动。如杆与水平线的夹角θ=45°，不计滚动摩擦，试求A 点在初瞬时的加速度。
图12-33
分析任意位置
01k =E
θωsin l v A AB = θωs i n 22A AB C v
l v ==
221212
22k )sin )(121(21)sin 2(2143θ
θl v l m v m v m E A A A ++=
θ22
12
2sin 643A A v m v m +
= 2
212)9sin 2(121A
v m m +=θ )sin 45(sin 2
1θ-?=∑gl
m W
动能定理
)sin 45(sin 2
)9sin 2(12112
212θθ-?=+gl m v m m A 对时间求导，注意 AB
ωθ-= θθθθθθcos 2)sin cos 2(612)9sin 2(121132
1212 gl m v m a v m m A A A -=-++ θθθθθθcos sin 2)sin sin cos 2(61)9sin 2(611321212l v gl m l v v m a v m m A A A A A ?=?++ θθθθcot 2)sin cos (31)9sin 2(611421212g m l v m a m m A A =++ 初瞬时(?=45θ)， v A =0 故
2
)94(61121g m a m m A =+ 2
11943m m g
m a A +=
12–12 如图12-34所示，绳索的一端E 固定，绕过动滑轮D 与定滑轮C 后，另一端与重物B 连接。已知重物A 和B 的质量均为m 1；滑轮C 和D 的质量均为m 2，且均为均质圆盘，重物B 与水平面间的动摩擦因数为μ。如重物A 开始时向下的速度为v 0，试求重物A 下落多大距离时，其速度将增加一倍？
图12-34
20120222
022011k )2(21)2)(21(214321v m r v r m v m v m E +++=
2
0214
710v m m +=
1k 2k 4E E =
gh m m h g m gh m gh m W ])21([221121+-=?-+=∑μμ 动能定理
gh m m E ])21([3211k +-=μ
gh m m v m m ])21([4)710(3212
021+-=+μ
])21([4)710(3212120m m g m m v h +-+=
μ
12–13 如图12-35所示，均质直杆AB 重100N ，长AB =200mm ，两端分别用铰链与滑块A 、B 连接，滑块A 与一刚度系数为k =2N/mm 的弹簧相连，杆与水平线的夹角为β，当β=0o 时弹簧为原长。摩擦与滑块A 、B 的质量均不计。试求：（1）杆自β=0°处无初速地释放时，弹簧的最大伸长量。（2）杆在β=60°处无初速地释放时，在β=30°时杆的角速度。
图12-35
(1) 01k =E 02k =E
)0(2
22
max max
δδ-+=∑k G
W 动能定理 0222m a x m a x =-δδk
G
mm 502
100
max ===k G δ
(2) 01k =E ω2
l
v C =
222222k 6
1)121(2121ωωml ml mv E C =+=
])30sin ()60sin [(2
)30cos 60(cos 222?-?+?-?=∑l l k
l mg W
24
431l k mgl +-=
动能定理
2224
43161l k
m g l ml +-=ω m k
l g 464)31(6+
-=
ω )31(23mg
kl l g +-= )100200
231(2.028.93?+-??=
rad/s 50.1519.240==
12–14 在图12-36所示的系统中，物块M 和滑轮A 、B 的质量均为m ，且滑轮可视为均质圆盘，弹簧的刚度系数为k ，不计轴承摩擦，绳与轮之间无滑动。当物块M 离地面的距离为h 时，系统处于平衡。现在给物块M 以向下的初速度v 0，使它恰能到达地面，试求物块M 的初速度v 0。
图12-36
20202201k )2(43))(21(2121v m r v mr mv E ++=
2
01615mv =
02k =E
])2
([222st 2st h
k h mg mgh W +-+-=∑δδ
8
)2(22
2kh h k -
=-= 动能定理
8
1615022
0kh mv -
=- m
k
h v 1520=
12–15 两均质直杆，长均为l ，质量均为m ，在B 处用铰链连接，并可在图12-37所示
的铅垂平面内运动，AB 杆上作用有一力偶矩为M 的常力偶。如在图示位置从静止释放，试求当A 端碰到支座O 时，A 端的速度v A 。
图12-37
01k =E
杆AB 任意θ时 θθθ2sin )290cos(sin B B A v v v =-?=
θc o s
2A
B v v =
当0=θ时 2A B v v = OB A B AB l v l v ωω===2 A C v v 4
3
=
222222k )2(61)2)(121(21)43(21l v ml l v ml v m E A A A ++=
2
3
1A mv =
2)cos 1(2
?--=∑θθl
mg M W
)cos 1(θθ--=mgl M
动能定理
)cos 1(3
12
θθ--=mgl M mv A )]cos 1([3θθ
--=gl m
M v A
12–16 质点在变力k j i F 12010)(180602--+=t t 的作用下沿空间曲线运动，其矢径
k j i r 2243128)(3)(2t t t t t -+-++=，试求力F 的功率。
k j i r
v t t t t 42)2(12)1(632--++== t t t t t t t P 2880201203602160603603353++--++=?=v F t t t 2960120216035+-=
12–17 如图12-38所示，汽车上装有一可翻转的车箱，内装有5m 3的砂石，砂石的密度为2296kg/m 3。车箱装砂石后重心C 与翻转轴A 之水平距离为1m ，铅垂距离为0.7m 。若使车箱绕A 轴翻转的角速度为0.06rad/s ，试求当砂石倾倒时所需要的最大功率。
图12-38
重力与A 轴的最大距离为 m 1=h
kW 75.6W 675006.018.952296==????===ωρωVgh mgh P
12–18 一载重汽车总重100kN ，在水平路面上直线行驶时，空气阻力F R =0.001v 2（v 以
m/s 计，F R 以kN 计），其它阻力相当于车重的0.016倍。设机械的总效率为85.0=m η。试求此汽车以54km/h 的速度行驶时，发动机应输出的功率。
m/s 1536
1000
54=?
=v v G F P P P )016.0(85.0R m +===η有效
kW 375.2715)100016.015001.0(2=??+?=
kW 21.3285
.0375
.27==
P 12–19 均质直杆AB 的质量m =1.5kg ，长度l =0.9m ，在图12-39所示水平位置时从静止释放，试求当杆AB 经过铅垂位置时的角速度及支座A 的反力。
图12-39
01k =E 22222k 6
1
)31(21ωωml ml E ==
mgl W 2
1
=∑
动能定理
mgl l 2
1
6122=ω l g 3=ω r a d /s 715.59
.08.93=?=ω 定轴转动微分方程
0e
=∑=A A M J α 0=α
g l a C 2
3
212==ω
质心运动定理
Ox x Cx F F ma =∑=e 0=Ox F mg F F ma Oy y Cy -=∑=e mg mg mg mg ma F C Oy 2
523=+=+= N 75.368.95.12
5
=??=
12–20 如图12-40所示，已知均质圆柱A 的半径为0.2m ，质量为10kg ，滑块B 的质量为5kg ，它与斜面间动摩擦因数2.0=μ，圆柱A 只作纯滚动，系统由静止开始运动。试求A 、B 沿斜面向下运动10m 时滑块B 的速度和加速度，以及AB 杆所受的力。不计AB 杆的质量。
图12-40
B A m m 2=
01k =E
2
222k 24
321B
B B A B B v m v m v m E =+= θμθθcos sin sin gs m gs m gs m W B B A -+=∑ gs m B )cos sin 3(θμθ-= 动能定理
gs m v m B B B )cos sin 3(22
θμθ-=
gs v B 2
)cos sin 3(2
θμθ-= (1)
108.92
)20cos 2.020sin 3(2)cos sin 3(????-?=-=gs v B θμθ
m /s 4084.6= 由(1)得
g a B 4
)cos sin 3(θμθ-=
2m /s 0534.28.94
)20cos 2.020sin 3(=???-?=
滑块B
θμθcos sin g m F g m a m B AB B B B -+=
θθμsin cos g m g m a m F B B B B AB -+=
)sin cos (θθμg g a m B B -+=
)20sin 8.920cos 8.92.00534.2(5?-??+?= N 717.2=
12–21 两个相同的滑轮，半径为R ，质量为m ，用绳缠绕连接如图12-41所示。两滑轮可视为均质圆盘。如系统由静止开始运动，试求滑轮质心C 下落距离h 时的速度及AB 段绳子的拉力。
图12-41
滑轮O r F J O O T )(-=-α 滑轮C r F J C C T )(-=-α 因 C O J J =
故 ααα==C O ωωω==C O ωωωωR R R R v v C O C A C 2=+=+= R
v C
2=
ω 01k =E
2
222222k 85)21(2121)21(21C
C mv mR mv mR E =++=ωω mgh W =∑ 动能定理
mgh mv C =2
8
5 522
58gh
gh v C == g a C 5
4
=
C ma F mg =-T
mg ma mg F C 5
1
T =-=
12–22 如图12-42所示的均质细杆AB ，长为l ，质量为m ，放在铅直面内，杆与水平面成角0?，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地面上，然后杆由静止状态倒下。试求：（1）杆在任意位置时的角速度ω和角加速度α；（2）杆脱离墙时与水平面所成的夹角1?。
图12-42
动能定理
01k =E
ω2l v C =
2222k )121
(2121ωml mv E C +=
222241
)2(21ωωml l m += 2261
ωml = )sin (sin 2
1
0??-=∑mgl W
动能定理
)sin (sin 2
1
61022??ω-=mgl ml )sin (sin 302??ω-=l g
(1)
)sin (sin 30??ω-=l
g
由式(1)对时间求导，注意 ω?
-= αω= (设α与ω同向，为逆时针) )c o s (32??ωα -=l g
)c o s (32?ωωαl g
=
?αc o s 23l
g
=
质心运动定理
)cos sin (n
τ??C C A a a m F -=
]cos )sin (sin 32sin cos 232[0?????-?-?=l g
l l g l m
)sin 6sin 6sin 3(4cos 0????
+-=mg
)s i n 3
2
(s i n 4c o s 90???-=mg
0=A F 得 )sin 3
2
arcsin(0??=
12–23 如图12-43所示，均质杆AB 质量为m ，长2l ，一端用长l 的绳索OA 拉住，另
一端B 放置在光滑地面上可沿地面滑动。开始时系统处于静止状态，绳索OA 位于水平位置，O 、B 点在同一铅垂线上。试求当绳索OA 运动到铅垂位置时，B 点的速度B v 和绳索的拉力T F 以及地面的反力N F 。
图12-43
01k =E 2
2k 2
1B mv E =
(瞬时平动0=ω，B A v v =)
mgl W 2
1
=∑
动能定理
mgl mv B 21
212= gl v B =
绳索OA 运动到铅垂位置时，0e =∑=x Cx F ma ，质心加速度沿铅垂方向。 以C 点为基点，分析B 点
τ
BC C B a a a +=
αθ
l a a C
BC ==
cos τ
θ
αc o s l a C = 以C 点为基点，分析A 点
τ
n τAC
C A A a a a a +=+ g l
v a A A
==2
n θ
αc o s l a C = αl a AC =τ
向y 方向
θc o s τ
n AC C A a a a += θαc o s 2l g =
θαc o s 2l g
=
2
g
a C =
由平面运动方程
21323s i n -=-=l l l θ 231s i n 2
-=θ 2
3c o s 2=
θ C ma mg F F =-+N T
mg F F 23
N T =+ (1) e
C C M J ∑=α
θαcos )()2(12
1
N T 2l F F l m -=
θ
θα2
N T cos 6cos 3mg
ml F F ==- (2) 由(1)+(2)得
mg mg mg g m mg mg ma mg F C )18
343(22336222cos 62cos 622T +=+=+?+=++=θθ
mg 8462.0= 由(1)得
mg mg F mg F 6538.0)18
3
43(23T N =-=-=
12–24 如图12-44所示，均质杆OA 重150N ，可绕垂直于图面的光滑水平轴O 转动。
杆的A 端连有刚度系数为k =0.5N/mm 的弹簧。在图示位置时，弹簧的变形是100mm ，杆的角速度2rad/s 0=ω。试求杆转过90°时的角速度和角加速度以及轴O 的反力。
图12-44
2
21k 61ωml E = 222k 61ωml E = )(2
222
0δδ-+=∑k Gl W
m 1.00=δ m 3.0=δ J 10=∑W
动能定理
)(2
2616122020222δδωω-+=-k Gl ml ml 2
022022)]([3ωδδω+-+=ml
k l g
2222
2)]3.01.0(4.08
.91505004.08.9[3+-?+=5.282)3495.24(32
=+-?=
rad/s 3385.5=ω
)(N 1503005.0G k F ==?==δ 定轴转动微分方程
Gl Fl M J O O 2
1e
-=∑=α
r a d /s
75.364.08.9150314
.0)2150150(212=???-=-=O
J Gl Fl α 或 rad/s 75.364.028.93233
1)2(212=??==???-=-=l g l m l
G G J Gl Fl O α
质心运动定理
7.55.284.021212n =??==ωl a C 35.785.364.02
121τ
=??==αl a C
Ox x Cx F F ma =∑=e Ox C F ma =-n N 2449.877.58
.9150n
-=?-=-=C Ox ma F
G F F F ma Oy y Cy -+=∑=e
G F F ma Oy C -+=τ
N 5.11235.78
.9150
ττ=?=
=-+=C C Oy ma F G ma F
12–25 图12-45所示为放在水平面内的曲柄滑道机构。曲柄OA 长为l ,质量为m 1，视为的匀质直杆。丁字形滑道连杆BCD 的质量为m 2，对称于x 轴。在曲柄上施加有一力偶，其力偶矩为M 。设开始时?0=0°，ω=0，试求当曲柄与x 轴夹角为?时，曲柄的角速度、角
加速度及滑块A 对槽面的压力。摩擦和滑块质量均不计。
图12-45
01k =E 22221222212
k )s i n 3(6
1)s i n (2161ω??ωωl m m l m l m E +=+= ?M W =∑
动能定理
?ω?M l m m =+22221)sin 3(6
1
(1) 2
221)sin 3(6l
m m M ??ω+= 对式(1)求导
ωωα??ωωM l m m l m =++])sin 3(22sin 3[6
1
221222 M l m m l m 6)sin 3(22sin 3221222=++α??ω
?ωα?2sin 36)sin 3(2222221l m M l m m -=+
???
2sin )sin 3(6362
22122l m m M l m M +?-=
?
???2212221sin 3)2sin 3sin 3(6m m m m m M +-+=
2
22212221)sin 3()2sin 3sin 3(3l m m m m m M ????α+-+=
曲柄OA ，定轴转动微分方程
?αsin e
Fl M M J O O -=∑=
?αs i n 3
1
21Fl M l m -=
?
α?α
sin 33sin 31
2121l l m M l l m M F -=
-=
12–26 图12-46所示的三棱柱A 沿三棱柱B 的光滑斜面滑动，A 和B 的质量各为m 1与
m 2，三棱柱B 的斜面与水平面成θ角。如开始时物体系静止，不计摩擦。试求运动时三棱柱B 的加速度。
图12-46
r v v v +=B A 动量守恒
0e =∑x F ，开始静止，00=x p B B x v m v v m p 2r 1)c o s (--=θ 有 0x x p p =
0)cos (2r 1=--B B v m v v m θ
θ
cos )(121
r m v m m v B += (1) 对时间求导
θ
cos )(121
r m a m m a B += (2) 动能定理
01k =E 2
2r 2r 212k 2
1)c o s 2(21B
B B v m v v v v m E +-+=θ θsin 1gs m W =∑ θθsin 21)cos 2(21122r 2r 21gs m v m v v v v m B B B =+-+ 对时间求导
θθθsin )cos cos (r 12r r r r 1gv m a v m v a a v a v a v m B B B B B B =+--+ 将式(1)、(2)代入上式，得
θθθθθs i n c o s
)(]c o s c o s )(2)c o s ()([12112121212
211m v m m g m a v m a v m m m a v m m m a v m B B B B B B B B B +=++-++ θθt a n )(])(2)c o s ()([212121212211g m m a m a m m m a m m m a m B B B B +=++-++ θθt a n )(c o s )(21212
2121g m m a m m m a m a m B B B +=++-- θθ
t a n )(]c o s )()([21212
2121g m m a m m m m m B +=+++- θθ
t a n )1c o s (2121g a m m
m B =-+
θθθc o s s i n )s i n (122
1g m a m m B =+
)
sin (22sin 22
11m m g m a B +=θθ
12–27 物A 质量为m 1，沿楔状物D 的斜面下降，同时借绕过定滑轮C 的绳使质量为
m 2的物体B 上升，如图12-47所示。斜面与水平成θ角，滑轮和绳的质量及一切摩擦均略去不计。试求楔状物D 作用于地面凸出部分E 的水平压力。
图12-47
动能定理求物A 加速度a
01k =E 22122212k )(2
1
2121v m m v m v m E +=+=
gs m gs m W 21sin -=∑θ gs m m gs m gs m v m m )sin (sin )(2
1
2121221-=-=+θθ gv m m va m m )sin ()(2121-=+θ
g m m m m a 212
1sin +-=θ
整体应用质心运动定理 e x Cx F ma ∑= x F a m =θcos 1 g m m m m m F x 12
12
1s i n +-=θ
12–28 均质杆AB 的质量为m =4kg ，其两端悬挂在两条平行绳上，杆处在水平位置，如图12-48所示。设其中一绳突然断了，试求此瞬时另一绳的张力F 。 图12-48
0=A v 0=ω 0n =A a τA A a a = τ
CA A C a a a += 刚体平面运动微分方程
e x Cx F ma ∑= 0)(=-A a m 0=A a α2
τ
l a a CA C ==
e y Cy F ma ∑= mg F a m C -=-T )( T 2
F mg l
m -=α (1)
e
C C M J ∑=α 2)(12T 2l F ml -=-α T 6
F ml =α (2)
联立式(1)、(2)求得
4
T mg
F = N 8.9=
12–29 均质细杆OA 可绕水平轴O 转动，另一端有一均质圆盘，圆盘可绕A 在铅直面
内自由旋转，如图12-49所示。已知杆OA 长为l ，质量为m 1；圆盘半径为R ，质量为m 2。不计摩擦，初始瞬时杆OA 水平，杆和圆盘静止。试求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。
图12-49
圆盘任意位置
0e
=∑=A A A M J α 0=A α 0=A ω 圆盘平动 动能定理
01k =E 2221222212k )3(6
1
)(21)31(21ωωωl m m l m l m E +=+=
θθθsin 2
)2(sin sin 22121gl m m gl m gl m W +=+=∑
θωsin 2
)2()3(61212221gl m m l m m +=+ θωsin )3()2(321212l
m m g m m ++= (1)
θωsin )3()2(32121l
m m g
m m ++=
式(1)对时间求导
θωωαcos )3()2(322121l m m g
m m ++=
θαcos )3(2)2(32121l
m m g
m m ++=
12–30 图12-50所示三棱柱体ABC 的质量为m 1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地
滑动。质量为m 2的均质圆柱体O 由静止沿斜面AB 向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为θ，试求三棱柱体的加速度。
图12-50
与习题12-26类似
r v v v +=O r
v O r
=
ω 动量守恒
0e =∑x F ，开始静止，00=x p v m v v m p x 1r 2)c o s (--=θ 有 0x x p p =
0)cos (1r 2=--v m v v m θ
θcos )(221
r m v m m v += (1) 对时间求导
θ
cos )(221
r m a m m a += (2)
动能定理
01k =E
2
22r 2r 22212k )21(21)cos 2(2121O
r m vv v v m v m E ωθ+-++=
2r 2r 2r 222141)c o s 2(2121v m vv v v m v m +-++=θ
2r 2r 222143c o s )(21v m vv m v m m +-+=θ
θsin 2gs m W =∑ θθsin 43
cos )(2122r 2r 2221gs m v m vv m v m m =+-+
对时间求导
θθsin 23
cos )()(r 2r r 2r r 221gv m a v m va av m va m m =++-+
将上式除以r v ，得
θθs i n 2
3
c o s )()(2r 2r r 2r 21g m a m a v v a m a v v m m =++-+
将式(1)、(2)代入上式，得
θθ
θθθθsin cos )(23cos )cos )()(cos ()(cos )(22212221212221221g m m a
m m m m a m m m m m a m a m m m m m =+++++-++
θθ
θθsin cos 2)(3cos 2cos 22122g m a
m m a m a m =++
-
θθθs i n c o s
2c o s 2)(322221g m a m m m =-+
θθθs i n c o s
2s i n 2322
221g m a m m m =++
θ
θ2
2212sin 232sin m m m g m a ++=
最新高考物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案)
最新高考物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．如图所示，半径为R ＝1 m ，内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m ＝1 kg 的小球，在水平恒力F ＝250 17 N 的作用下由静止沿光滑水平面从A 点运动到B 点，A 、B 间的距离x ＝ 17 5 m ，当小球运动到B 点时撤去外力F ，小球经半圆管道运动到最高点C ，此时球对外轨的压力F N ＝2.6mg ，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上(g ＝10 m/s 2)．求： (1)小球在B 点时的速度的大小； (2)小球在C 点时的速度的大小； (3)小球由B 到C 的过程中克服摩擦力做的功； (4)D 点距地面的高度． 【答案】(1)10 m/s (2)6 m/s (3)12 J (4)0.2 m 【解析】 【分析】 对AB 段，运用动能定理求小球在B 点的速度的大小；小球在C 点时，由重力和轨道对球的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球在C 点的速度的大小；小球由B 到C 的过程，运用动能定理求克服摩擦力做的功；小球离开C 点后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求D 点距地面的高度． 【详解】 (1)小球从A 到B 过程，由动能定理得：212 B Fx mv = 解得：v B ＝10 m/s (2)在C 点，由牛顿第二定律得mg ＋F N ＝2 c v m R 又据题有：F N ＝2.6mg 解得：v C ＝6 m/s. (3)由B 到C 的过程，由动能定理得：－mg ·2R －W f ＝22 1122 c B mv mv - 解得克服摩擦力做的功：W f ＝12 J (4)设小球从C 点到打在斜面上经历的时间为t ，D 点距地面的高度为h ， 则在竖直方向上有：2R －h ＝ 12 gt 2
最新高考物理动能与动能定理练习题及答案
最新高考物理动能与动能定理练习题及答案 一、高中物理精讲专题测试动能与动能定理 1．如图所示，质量m =3kg 的小物块以初速度秽v 0=4m/s 水平向右抛出，恰好从A 点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径为R = 3.75m ，B 点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD 平滑连接，A 与圆心D 的连线与竖直方向成37?角，MN 是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN 间的动摩擦因数μ=0.1，轨道其他部分光滑。最右侧是一个半径为r =0.4m 的半圆弧轨道，C 点是圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD 在D 点平滑连接。已知重力加速度g =10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求小物块经过B 点时对轨道的压力大小； （2）若MN 的长度为L 0=6m ，求小物块通过C 点时对轨道的压力大小； （3）若小物块恰好能通过C 点，求MN 的长度L 。 【答案】（1）62N （2）60N （3）10m 【解析】 【详解】 （1）物块做平抛运动到A 点时，根据平抛运动的规律有：0cos37A v v ==? 解得：04 m /5m /cos370.8 A v v s s = ==? 小物块经过A 点运动到B 点，根据机械能守恒定律有： ()2211cos3722 A B mv mg R R mv +-?= 小物块经过B 点时，有：2 B NB v F mg m R -= 解得：()232cos3762N B NB v F mg m R =-?+= 根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小是62N （2）小物块由B 点运动到C 点，根据动能定理有： 22011222 C B mgL mg r mv mv μ--?= - 在C 点，由牛顿第二定律得：2 C NC v F mg m r += 代入数据解得：60N NC F = 根据牛顿第三定律，小物块通过C 点时对轨道的压力大小是60N
动能定理典型例题附答案
1、如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m.小球到达槽最低点时的速率为10m／s，并继续滑槽壁运动直至槽左端边缘飞出，竖直上升，落下后恰好又沿槽壁运动直至从槽右端边缘飞出，竖直上升、落下，如此反复几次.设摩擦力大小恒定不变:(1)求小球第一次离槽上升的高度h.(2)小球最多能飞出槽外几次 (g取10m／s2) 2、如图所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜 面的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度 沿斜面向上滑行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦 力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足 够长.求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s. 3、有一个竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成。如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA 是粗糙的．现在最低点A给一个质量为m的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B 点又能沿BFA轨道回到点A，到达A点时对轨道的压力为4mg 1、求小球在A点的速度v0 2、求小球由BFA回到A点克服阻力做的功 4、如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O 点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP = L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v ，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．则：（1）小球到达B点时的速率（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少 （3）若初速度v0=3gL，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功v0 E F R
5、如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B 平滑连接着半径r =0.40m 的竖直光滑圆轨道。质量m =0.50kg 的小物块，从距地面h =2.7m 处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ=，求：（sin37°=，cos37°=，g =10m/s 2 ） （1）物块滑到斜面底端B 时的速度大小。 （2）物块运动到圆轨道的最高点A 时，对圆轨道的压力大小。 6、质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ） 7\如图所示，AB 与CD 为两个对称斜面，其上部都足够长，下部 分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200， 半径R=2.0m,一个物体在离弧底E 高度为h=3.0m 处，以初速 度V 0=4m/s 沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ =,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程（g=10m/s 2 ）. 8、如图所示，在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a 点，质量为m 的物块(可视为质点)由静止开始下滑，经圆弧最低点b 滑上粗糙水平面，圆弧轨道在b 点与水平轨道平滑相接，物块最终滑至c 点停止．若圆弧轨道半径为R ，物块与水平面间的动摩擦因数为μ， 则：1、物块滑到b 点时的速度为 2、物块滑到b 点时对b 点的压力是 3、c 点与b 点的距离为 θ A B O h A B C D O R E h
动能定理练习题附答案
A 国光中学物理基础练习系列（五） 动能定理 1、一质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提高1m ，这时物体的速度是2m/s ，求： (1)物体克服重力做功. (2)合外力对物体做功. (3)手对物体做功. 解：(1) m 由A 到B ： G 10J W mgh =-=- 克服重力做功1G G 10J W W ==克 (2) m 由A 到B ，根据动能定理2： 21 02J 2 W mv ∑=-= (3) m 由A 到B ：G F W W W ∑=+ F 12J W ∴= 2、一个人站在距地面高h = 15m 处，将一个质量为m = 100g 的石块以v 0 = 10m/s 的速度斜向上抛出. (1)若不计空气阻力，求石块落地时的速度v . (2)若石块落地时速度的大小为v t = 19m/s ，求石块克服空气阻力做的功W . 解：(1) m 由A 到B ：根据动能定理：22 01122 mgh mv mv =-20m/s v ∴= (2) m 由A 到B ，根据动能定理3： 22 t 0 1122 mgh W mv mv -=- 1.95J W ∴= 3a 、运动员踢球的平均作用力为200N ，把一个静止的质量为1kg 的球以10m/s 的速度踢出，在水平面上运动60m 后停下. 求运动员对球做的功？ 3b 、如果运动员踢球时球以10m/s 迎面飞来，踢出速度仍为10m/s ，则运动员对球做功为多少？ 解： (3a)球由O 到A ，根据动能定理4： 2 01050J 2 W mv =-= (3b)球在运动员踢球的过程中，根据动能定理5： 2211 022 W mv mv =-= 1 不能写成：G 10J W mgh ==. 在没有特别说明的情况下，G W 默认解释为重力所做的功，而在这个过程中重 力所做的功为负. 2 也可以简写成：“m ：A B →： k W E ∑=?”，其中k W E ∑=?表示动能定理. 3 此处写W -的原因是题目已明确说明W 是克服空气阻力所做的功. 4 踢球过程很短，位移也很小，运动员踢球的力又远大于各种阻力，因此忽略阻力功. 5 结果为0，并不是说小球整个过程中动能保持不变，而是动能先转化为了其他形式的能（主要是弹性势能，然后其他形式的能又转化为动能，而前后动能相等. v m v 'O A → A B →
动能定理典型基础例题
动能定理典型基础例题 应用动能定理解题的基本思路如下： ①确定研究对象及要研究的过程 ②分析物体的受力情况，明确各个力是做正功还是做负功，进而明确合外力的功 ③明确物体在始末状态的动能 ④根据动能定理列方程求解。 例1．质量M=×103 kg 的客机，从静止开始沿平直的跑道滑行，当滑行距离S=×lO 2 m 时，达到起飞速度ν=60m／s 。求： (1)起飞时飞机的动能多大 (2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大 (3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F=×103 N ，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应多大 ~ 例2．一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为 15m 的斜坡滑下，到达底部时速度为10m/s 。人和雪橇的总质量为60kg ，下滑过程中克服阻力做的功。 例3．在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于：( ) 例4．质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为：（ ） A ． 4mgR B ．3mgR C ．2 mgR D ．mgR 例5．如图所示，质量为m 的木块从高为h 、倾角为α的斜面顶端由静止滑下。到达斜面底端时与固定不动的、与斜面垂直的挡板相撞，撞后木块以与撞前相同大小的速度反向弹回，木块运动到 高 2 h 处速度变为零。求： （1）木块与斜面间的动摩擦因数 （2）木块第二次与挡板相撞时的速度 （3）木块从开始运动到最后静止，在斜面上运动的总路程 ， 例6．质量m=的物块（可视为质点）在水平恒力F 作用下，从水平面上A 点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t=停在B 点，已知A 、B 两点间的距离s=，物块与水平面间的动摩擦因数μ=，求恒力F 多大。（g=10m/s 2 ） 1、在光滑水平地面上有一质量为20kg 的小车处于静止状态。用30牛水平方向的力推小车，经过多大距离小车才能达到3m/s 的速度。 2、汽车以15m/s 的速度在水平公路上行驶，刹车后经过20m 速度减小到5m/s ，已知汽车质量是，求刹车动力。（设汽车受到的其他阻力不计） 3、一个质量是的小球在离地5m 高处从静止开始下落，如果小球下落过程中所受的空气阻力是，求它落地时的速度。 4、一辆汽车沿着平直的道路行驶，遇有紧急情况而刹车，刹车后轮子只滑动不滚动，从刹车开始 到汽车停下来，汽车前进12m 。已知轮胎与路面之间的滑动摩擦系数为，求刹车前汽车的行驶速度。 5、一辆5吨的载重汽车开上一段坡路，坡路上S=100m ，坡顶和坡底的高度差h=10m ，汽车山坡前的速度是10m/s ，上到坡顶时速度减为s 。汽车受到的摩擦阻力时车重的倍。求汽车的牵引力。 6、质量为2kg 的物体，静止在倾角为30o 的斜面的底端，物体与斜面间的摩擦系数为，斜面长1m ，用30N 平行于斜面的力把物体推上斜面的顶端，求物体到达斜面顶端时的动能。 7、质量为的铅球从离沙坑面高处自由落下，落入沙坑后在沙中运动了后停止，求沙坑对铅球的平均阻力。 ^ h m
动能定理习题(附答案)
A 1、一质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提高1m ，这时物体的速度是2m/s ，求： (1)物体克服重力做功. (2)合外力对物体做功. (3)手对物体做功. 解：(1) m 由A 到B ： G 10J W m g h =-=- 克服重力做功1G G 10J W W ==克 (2) m 由A 到B ，根据动能定理2： 21 02J 2 W mv ∑=-= (3) m 由A 到B ：G F W W W ∑=+ F 12J W ∴= 2、一个人站在距地面高h = 15m 处，将一个质量为m = 100g 的石块以v 0 = 10m/s 的速度斜向 上抛出. (1)若不计空气阻力，求石块落地时的速度v . (2)若石块落地时速度的大小为v t = 19m/s ，求石块克服空气阻力做的功W . 解：(1) m 由A 到B ：根据动能定理：22 1122mgh mv mv =-20m/s v ∴= (2) m 由A 到B ，根据动能定理3： 22 t 0 1122 mgh W mv mv -=- 1.95J W ∴= 3a 、运动员踢球的平均作用力为200N ，把一个静止的质量为1kg 在水平面上运动60m 后停下. 求运动员对球做的功？ 3b 、如果运动员踢球时球以10m/s 迎面飞来，踢出速度仍为10m/s ，则运动员对球做功为多少？ 解： (3a)球由O 到A ，根据动能定理4： 2 01050J 2W mv =-= (3b)球在运动员踢球的过程中，根据动能定理5 ： 2211 022 W mv mv =-= 4、在距离地面高为H 处，将质量为m 的小钢球以初速度v 0竖直下抛，落地后，小钢球陷入泥土中的深度为h 求： (1)求钢球落地时的速度大小v . (2)泥土对小钢球的阻力是恒力还是变力? 1 不能写成：G 10J W mgh ==. 在没有特别说明的情况下，G W 默认解释为重力所做的功，而在这个过程中重 力所做的功为负. 2 也可以简写成：“m ：A B →：k W E ∑=? ”，其中k W E ∑=?表示动能定理. 3 此处写W -的原因是题目已明确说明W 是克服空气阻力所做的功. 4 踢球过程很短，位移也很小，运动员踢球的力又远大于各种阻力，因此忽略阻力功. 5 结果为0，并不是说小球整个过程中动能保持不变，而是动能先转化为了其他形式的能（主要是弹性势能，然后其他形式的能又转化为动能，而前后动能相等. v m v 'O A → A B →
动能定理典型例题
动能定理典型例题
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动能定理典型例题 【例题】 1、一架喷气式飞机，质量m=５.0×103ｋg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=５.3×102m，达到起飞速度v＝60ｍ/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0．02倍(k＝０.０2）。求飞机受到的牵引力。 2、在动摩擦因数为μ的粗糙水平面上,有一个物体的质量为ｍ,初速度为V1,在与 运动方向相同的恒力Ｆ的作用下发生一段位移Ｓ，如图所示,试求物体的末速度Ｖ2。 拓展：若施加的力F变成斜向右下方且与水平方向成θ角,求物体的末速度V2 V滑上动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，最后3、一个质量为m的物体以初速度 静止在水平面上,求物体在水平面上滑动的位移。
4、一质量为ｍ的物体从距地面高h的光滑斜面上滑下，试求物体滑到斜面底端 的速度。 拓展1:若斜面变为光滑曲面，其它条件不变,则物体滑到斜面底端的速度是多少？ 拓展2：若曲面是粗糙的，物体到达底端时的速度恰好为零，求这一过程中摩擦力做的功。 类型题 题型一:应用动能定理求解变力做功 1、一质量为m的小球,用长为Ｌ的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置缓慢地移Q点如图所示，则此过程中力F所做的功为（) A．mｇＬcoｓ0 B.FLsinθ C.FLθ?D．(1cos). - mgLθ
２、如图所示，质量为m的物体静放在光滑的平台上,系在物体上的绳子跨过光 V向右匀速运动的人拉着，设人从地面上由平台的滑的定滑轮由地面上以速度 边缘向右行至绳与水平方向成30角处，在此过程中人所做的功为多少? ３、一个质量为m的小球拴在钢绳的一端,另一端用大小为Ｆ1的拉力作用,在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动（如图所示)，今将力的大小改为Ｆ２，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R2,小球运动的半径由R1变为R2过程中拉力对小球做的功多大？ 4、如图所示，AＢ为１/４圆弧轨道，半径为R=0．８m,ＢＣ是水平轨道，长S ＝３ｍ，BＣ处的摩擦系数为μ=1/1５，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
动能定理基础练习题
1．下面各个实例中，机械能守恒的是( ) A 、物体沿斜面匀速下滑 B 、物体从高处以0.9g 的加速度竖直下落 C 、物体沿光滑曲面滑下 D 、拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升 3．某人用手将1Kg 物体由静止向上提起1m ，这时物体的速度为2m/s （g 取10m/s 2），则下 列说法不正确的是( ) A ．手对物体做功12J B ．合外力做功2J C ．合外力做功12J D ．物体克服重力做功10J 4．如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h 处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为 13g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( ) A ．运动员减少的重力势能全部转化为动能 B ．运动员获得的动能为13 mgh C ．运动员克服摩擦力做功为23 mgh D ．下滑过程中系统减少的机械能为 13mgh 5．如图所示，在地面上以速度o v 抛出质量为m 的物体，抛出后物体落在比地面低h 的海平面上，若以地面为零势能参考面，且不计空气阻力。则： A ．物体在海平面的重力势能为mgh B ．重力对物体做的功为mgh C ．物体在海平面上的动能为 mgh m +202 1υ D ．物体在海平面上的机械能为mgh m +2021υ 7．某游乐场中一种玩具车的运动情况可以简化为如下模型：竖直平面内有一水平轨道AB 与1/4圆弧轨道BC 相切于B 点，如图所示。质量m=100kg 的滑块（可视为质点）从水平轨道上的 P 点在水平向右的恒力F 的作用下由静止出发沿轨道AC 运动，恰好能到达轨道的末端C 点。已知P 点与B 点相距L=6m ，圆轨道BC 的半径R=3m ，滑块与水平轨道AB 间的动摩 擦因数μ=0.25，其它摩擦与空气阻力均忽略不计。（g 取10m/s 2)求： （1）恒力F 的大小． （2）滑块第一次滑回水平轨道时离B 点的最大距离 （3）滑块在水平轨道AB 上运动经过的总路程S
【物理】物理动能定理的综合应用题20套(带答案)
【物理】物理动能定理的综合应用题20套(带答案) 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．北京老山自行车赛场采用的是250m 椭圆赛道，赛道宽度为7.6m 。赛道形如马鞍形，由直线段、过渡曲线段以及圆弧段组成，圆弧段倾角为45°（可以认为赛道直线段是水平的，圆弧段中线与直线段处于同一高度）。比赛用车采用最新材料制成，质量为9kg 。已知直线段赛道每条长80m ，圆弧段内侧半径为14.4m ，运动员质量为61kg 。求： （1）运动员在圆弧段内侧以12m/s 的速度骑行时，运动员和自行车整体的向心力为多大； （2）运动员在圆弧段内侧骑行时，若自行车所受的侧向摩擦力恰为零，则自行车对赛道的压力多大； （3）若运动员从直线段的中点出发，以恒定的动力92N 向前骑行，并恰好以12m/s 的速度进入圆弧段内侧赛道，求此过程中运动员和自行车克服阻力做的功。（只在赛道直线段给自行车施加动力）。 【答案】（1）700N;（2）2；（3）521J 【解析】 【分析】 【详解】 （1）运动员和自行车整体的向心力 F n =2(m)M v R + 解得 F n =700N （2）自行车所受支持力为 ()cos45N M m g F += ? 解得 F N 2N 根据牛顿第三定律可知 F 压=F N 2N （3）从出发点到进入内侧赛道运用动能定理可得
W F -W f 克+mgh = 212 mv W F =2 FL h = 1 cos 452 d o =1.9m W f 克=521J 2．在某电视台举办的冲关游戏中，AB 是处于竖直平面内的光滑圆弧轨道，半径 R=1.6m ，BC 是长度为L 1=3m 的水平传送带，CD 是长度为L 2=3.6m 水平粗糙轨道，AB 、CD 轨道与传送带平滑连接，参赛者抱紧滑板从A 处由静止下滑，参赛者和滑板可视为质点，参赛者质量m=60kg ，滑板质量可忽略．已知滑板与传送带、水平轨道的动摩擦因数分别为μ1=0.4、μ2=0.5，g 取10m/s 2.求： （1）参赛者运动到圆弧轨道B 处对轨道的压力； （2）若参赛者恰好能运动至D 点，求传送带运转速率及方向； （3）在第（2）问中，传送带由于传送参赛者多消耗的电能． 【答案】（1）1200N ，方向竖直向下（2）顺时针运转，v=6m/s （3）720J 【解析】 (1) 对参赛者：A 到B 过程，由动能定理 mgR(1－cos 60°)＝12 m 2B v 解得v B ＝4m /s 在B 处，由牛顿第二定律 N B －mg ＝m 2B v R 解得N B ＝2mg ＝1 200N 根据牛顿第三定律：参赛者对轨道的压力 N′B ＝N B ＝1 200N ，方向竖直向下． (2) C 到D 过程，由动能定理 －μ2mgL 2＝0－ 12 m 2C v 解得v C ＝6m /s B 到 C 过程，由牛顿第二定律μ1mg ＝ma
高中物理动能与动能定理练习题及答案
高中物理动能与动能定理练习题及答案一、高中物理精讲专题测试动能与动能定理 1．如图所示，圆弧轨道AB是在竖直平面内的1 4 圆周，B点离地面的高度h=0.8m，该处切 线是水平的，一质量为m=200g的小球（可视为质点）自A点由静止开始沿轨道下滑（不计小球与轨道间的摩擦及空气阻力），小球从B点水平飞出，最后落到水平地面上的D 点．已知小物块落地点D到C点的距离为x=4m，重力加速度为g=10m/s2．求： （1）圆弧轨道的半径 （2）小球滑到B点时对轨道的压力． 【答案】（1）圆弧轨道的半径是5m． （2）小球滑到B点时对轨道的压力为6N，方向竖直向下． 【解析】 （1）小球由B到D做平抛运动，有：h=1 2 gt2 x=v B t 解得： 10 410/ 220.8 B g v x m s h ==?= ? A到B过程，由动能定理得：mgR=1 2 mv B2-0 解得轨道半径R=5m （2）在B点，由向心力公式得： 2 B v N mg m R -= 解得：N=6N 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力N=N=6N，方向竖直向下 点睛：解决本题的关键要分析小球的运动过程，把握每个过程和状态的物理规律，掌握圆周运动靠径向的合力提供向心力，运用运动的分解法进行研究平抛运动． 2．如图所示，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段长度为，上面铺设特殊材料，小物块与其动摩擦因数为，轨道其它部分摩擦不计。水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于原长状态。可视为质点的质量的小物块从轨道右侧A点以初速度冲上轨道，通过圆形轨道，水平轨道
后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回，取，求： （1）弹簧获得的最大弹性势能； （2）小物块被弹簧第一次弹回经过圆轨道最低点时的动能； （3）当R满足什么条件时，小物块被弹簧第一次弹回圆轨道时能沿轨道运动而不会脱离轨道。 【答案】（1）10.5J（2）3J（3）0.3m≤R≤0.42m或0≤R≤0.12m 【解析】 【详解】 （1）当弹簧被压缩到最短时，其弹性势能最大。从A到压缩弹簧至最短的过程中，由动 能定理得：?μmgl+W弹＝0?m v02 由功能关系：W弹=-△E p=-E p 解得 E p=10.5J； （2）小物块从开始运动到第一次被弹回圆形轨道最低点的过程中，由动能定理得 ?2μmgl＝E k?m v02 解得 E k=3J； （3）小物块第一次返回后进入圆形轨道的运动，有以下两种情况： ①小球能够绕圆轨道做完整的圆周运动，此时设小球最高点速度为v2，由动能定理得 ?2mgR＝m v22?E k 小物块能够经过最高点的条件m≥mg，解得R≤0.12m ②小物块不能够绕圆轨道做圆周运动，为了不让其脱离轨道，小物块至多只能到达与圆心 等高的位置，即m v12≤mgR，解得R≥0.3m； 设第一次自A点经过圆形轨道最高点时，速度为v1，由动能定理得： ?2mgR＝m v12-m v02 且需要满足m≥mg，解得R≤0.72m， 综合以上考虑，R需要满足的条件为：0.3m≤R≤0.42m或0≤R≤0.12m。 【点睛】 解决本题的关键是分析清楚小物块的运动情况，把握隐含的临界条件，运用动能定理时要注意灵活选择研究的过程。
高一物理动能、动能定理练习题
动能、动能定理练习 1、下列关于动能的说法中，正确的是( )A、动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关 B、物体以相同的速率分别做匀速直线运动和匀速圆周运动时，其动能不同.因为它在这两种情况下所受的合力不同、运动性质也不同 C、物体做平抛运动时，其动能在水平方向的分量不变，在竖直方向的分量增大 D、物体所受的合外力越大，其动能就越大 2、一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力.经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s.在这段时间里水平力做的功为( ) A、0 B、8J C、16J D、32J 3、质量不等但有相同动能的两物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行直到停止，则( ) A、质量大的物体滑行距离小 B、它们滑行的距离一样大 C、质量大的物体滑行时间短 D、它们克服摩擦力所做的功一样多 4、一辆汽车从静止开始做加速直线运动，运动过程中汽车牵引力的功率保持恒定，所受的阻力不变，行驶2min速度达到10m/s.那么该列车在这段时间内行的距离( ) A、一定大于600m B、一定小于600m C、一定等于600m D、可能等于1200m 5、质量为1.0kg的物体，以某初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的情况如下图所示，则下列判断正确的是(g=10m/s2)( ) A、物体与水平面间的动摩擦因数为0.30 B、物体与水平面间的动摩擦因数为0.25 C、物体滑行的总时间是2.0s D、物体滑行的总时间是4.0s 6、一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端，已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为υ，克服摩擦阻力做功为E/2.若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则有( ) A、返回斜面底端的动能为E B、返回斜面底端时的动能为3E/2 C、返回斜面底端的速度大小为2υ D、返回斜面底端的速度大小为2υ 7、以初速度v0急速竖直上抛一个质量为m的小球，小球运动过程中所受阻力f大小不变，上升最大高度为h，则抛出过程中，人手对小球做的功（） A. 1 20 2 mv B. mgh C. 1 20 2 mv mgh + D. mgh fh + 8、如图所示，AB为1/4圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的物 体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为 A. 1 2 μmgR B. 1 2 mgR C. mgR D. () 1-μmgR 9、质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F的作用从静止起通过位移s时的动能为 E1，当物体受水平力2F作用，从静止开始通过相同位移s，它的动能为E2，则： A、E2＝E1 B、E2＝2E1 C、E2＞2E1 D、E1＜E2＜2E1 10．质量为m，速度为V的子弹射入木块，能进入S米。若要射进3S深，子弹的初速度应为原来的（设子弹在木块中的阻力不变）( ) h/2 h 图5-17
高中物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案)
高中物理动能定理的综合应用常见题型及答题技巧及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为θ=60°、长为L 1=23m 的倾斜轨道AB ，通过微小圆弧与长为L 2= 3 2 m 的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道上D 处，如图所示.现将一个小球从距A 点高为h =0.9m 的水平台面上以一定的初速度v 0水平弹出，到A 点时小球的速度方向恰沿AB 方向，并沿倾斜轨道滑下.已知小球与AB 和BC 间的动摩擦因数均为μ= 3 ，g 取10m/s 2. （1）求小球初速度v 0的大小； （2）求小球滑过C 点时的速率v C ； （3）要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R 应该满足什么条件？ 【答案】（16m/s （2）6m/s （3）0 动能定理练习题（附答案） 1、一质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提高1m ，这时物体的速度是2m/s ，求： (1)物体克服重力做功. (2)合外力对物体做功. (3)手对物体做功. 解： (1) m 由A 到B ： G 10J W mgh =-=- 克服重力做功1G G 10J W W ==克 (2) m 由A 到B ，根据动能定理2： 21 02J 2 W mv ∑=-= (3) m 由A 到B ： G F W W W ∑=+ F 12J W ∴= 2、一个人站在距地面高h = 15m 处，将一个质量为m = 100g 的石块以v 0 = 10m/s 的速度斜向上抛出. (1)若不计空气阻力，求石块落地时的速度v . (2)若石块落地时速度的大小为v t = 19m/s ，求石块克服空气阻力做的功W . 解： (1) m 由A 到B ：根据动能定理： 22 1122mgh mv mv =- 20m/s v ∴= (2) m 由A 到B ，根据动能定理3： 22 t 0 1122 mgh W mv mv -=- 1.95J W ∴= 1 不能写成：G 10J W mgh ==. 在没有特别说明的情况下，G W 默认解释为重力所做的功，而在这个过程中重 力所做的功为负. 2 也可以简写成：“m ：A B →： k W E ∑=?”，其中k W E ∑=?表示动能定理. 3 此处写W -的原因是题目已明确说明W 是克服空气阻力所做的功. A 3a 、运动员踢球的平均作用力为200N ，把一个静止的质量为1kg 的球以10m/s 的速度踢出，在水平面上运动60m 后停下. 求运动员对球做的功？ 3b 、如果运动员踢球时球以10m/s 迎面飞来，踢出速度仍为10m/s ，则运动员对球做功为多少？ 解： (3a)球由O 到A ，根据动能定理4： 2 01050J 2W mv =-= (3b)球在运动员踢球的过程中，根据动能定理5： 2211 022 W mv mv =-= 4、在距离地面高为H 处，将质量为m 的小钢球以初速度v 0竖直下抛，落地后，小钢球陷入泥土中的深度为h 求： (1)求钢球落地时的速度大小v . (2)泥土对小钢球的阻力是恒力还是变力? (3)求泥土阻力对小钢球所做的功. (4)求泥土对小钢球的平均阻力大小. 解： (1) m 由A 到B ：根据动能定理： 22 1122 mgH mv mv =- v ∴(2)变力6. (3) m 由B 到C ，根据动能定理： 2f 1 02mgh W mv +=- ()2 f 012W mv m g H h ∴=--+ (3) m 由B 到C ： f cos180W f h =?? 4 踢球过程很短，位移也很小，运动员踢球的力又远大于各种阻力，因此忽略阻力功. 5 结果为0，并不是说小球整个过程中动能保持不变，而是动能先转化为了其他形式的能（主要是弹性势能，然后其他形式的能又转化为动能，而前后动能相等. 6 此处无法证明，但可以从以下角度理解：小球刚接触泥土时，泥土对小球的力为0，当小球在泥土中减速时，泥土对小球的力必大于重力mg ，而当小球在泥土中静止时，泥土对小球的力又恰等于重力mg . 因此可以推知，泥土对小球的力为变力. v m v 'O A → A B → v t v v 物理动能与动能定理练习题含答案及解析 一、高中物理精讲专题测试动能与动能定理 1．某游乐场拟推出一个新型滑草娱乐项目，简化模型如图所示。游客乘坐的滑草车（两者的总质量为60kg ），从倾角为53θ=?的光滑直轨道AC 上的B 点由静止开始下滑，到达 C 点后进入半径为5m R =，圆心角为53θ=?的圆弧形光滑轨道C D ，过D 点后滑入倾 角为α（α可以在075α?剟 范围内调节）、动摩擦因数为 3 μ=的足够长的草地轨道DE 。已知D 点处有一小段光滑圆弧与其相连，不计滑草车在D 处的能量损失，B 点到 C 点的距离为0=10m L ，10m/s g =。求： (1)滑草车经过轨道D 点时对轨道D 点的压力大小； (2)滑草车第一次沿草地轨道DE 向上滑行的时间与α的关系式； (3)α取不同值时，写出滑草车在斜面上克服摩擦所做的功与tan α的关系式。 【答案】(1)3000N ；(2) 3sin cos 32 t αα= ??+ ? ?? ；(3)见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据几何关系可知CD 间的高度差 ()CD 1cos532m H R =-?= 从B 到D 点，由动能定理得 ()20CD D 1 sin 5302 mg L H mv ?+=- 解得 D 102m/s v = 对D 点，设滑草车受到的支持力D F ，由牛顿第二定律 2 D D v F mg m R -= 解得 D 3000N F = 由牛顿第三定律得，滑草车对轨道的压力为3000N 。 (2)滑草车在草地轨道DE 向上运动时，受到的合外力为 sin cos F mg mg αμα=+合 由牛顿第二定律得，向上运动的加速度大小为 sin cos F a g g m αμα= =+合 因此滑草车第一次在草地轨道DE 向上运动的时间为 D sin cos v t g g αμα = + 代入数据解得 t = ?? (3)选取小车运动方向为正方向。 ①当0α=时，滑草车沿轨道DE 水平向右运动，对全程使用动能定理可得 []01sin (1cos )+=00f mg L R W θθ+-- 代入数据解得 16000J f W =- 故当0α=时，滑草车在斜面上克服摩擦力做的功为 6000J W =克1 ②当030α<≤?时，则 sin cos g g αμα≤ 滑草车在草地轨道DE 向上运动后最终会静止在DE 轨道上，向上运动的距离为 2D 22(sin cos ) v x g g αμα=+ 摩擦力做功为 22cos f W mg x μα=-? 联立解得 2f W = 故当030α<≤?时，滑草车在斜面上克服摩擦力做的功为 2W = 克 ③当3075α?<≤?时 sin cos g g αμα> 高中物理动能定理的综合应用练习题及答案 一、高中物理精讲专题测试动能定理的综合应用 1．如图所示，一条带有竖直圆轨道的长轨道水平固定，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R =0.5m 。物块A 以v 0=10m/s 的速度滑入圆轨道，滑过最高点N ，再沿圆轨道滑出，P 点左侧轨道光滑，右侧轨道与物块间的动摩擦因数都为μ=0.4，A 的质量为m =1kg （A 可视为质点） ，求： (1)物块经过N 点时的速度大小； (2)物块经过N 点时对竖直轨道的作用力； (3)物块最终停止的位置。 【答案】(1)5m/s v =；(2)150N ，作用力方向竖直向上；(3)12.5m x = 【解析】 【分析】 【详解】 (1)物块A 从出发至N 点过程，机械能守恒，有 22011 222 mv mg R mv =?+ 得 20445m /s v v gR =-= (2)假设物块在N 点受到的弹力方向竖直向下为F N ，由牛顿第二定律有 2 N v mg F m R += 得物块A 受到的弹力为 2 N 150N v F m mg R =-= 由牛顿第三定律可得，物块对轨道的作用力为 N N 150N F F '== 作用力方向竖直向上 (3)物块A 经竖直圆轨道后滑上水平轨道，在粗糙路段有摩擦力做负功，动能损失，由动能定理，有 2 0102 mgx mv μ-=- 得 12.5m x = 2．如图所示，半径为R ＝1 m ，内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m ＝1 kg 的小球，在水平恒力F ＝250 17 N 的作用下由静止沿光滑水平面从A 点运动到B 点，A 、B 间的距离x ＝ 17 5 m ，当小球运动到B 点时撤去外力F ，小球经半圆管道运动到最高点C ，此时球对外轨的压力F N ＝2.6mg ，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上(g ＝10 m/s 2)．求： (1)小球在B 点时的速度的大小； (2)小球在C 点时的速度的大小； (3)小球由B 到C 的过程中克服摩擦力做的功； (4)D 点距地面的高度． 【答案】(1)10 m/s (2)6 m/s (3)12 J (4)0.2 m 【解析】 【分析】 对AB 段，运用动能定理求小球在B 点的速度的大小；小球在C 点时，由重力和轨道对球的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球在C 点的速度的大小；小球由B 到C 的过程，运用动能定理求克服摩擦力做的功；小球离开C 点后做平抛运动，由平抛运动的规律和几何知识结合求D 点距地面的高度． 【详解】 (1)小球从A 到B 过程，由动能定理得：212 B Fx mv = 解得：v B ＝10 m/s (2)在C 点，由牛顿第二定律得mg ＋F N ＝2 c v m R 又据题有：F N ＝2.6mg 解得：v C ＝6 m/s. (3)由B 到C 的过程，由动能定理得：－mg ·2R －W f ＝22 1122 c B mv mv - 解得克服摩擦力做的功：W f ＝12 J (4)设小球从C 点到打在斜面上经历的时间为t ，D 点距地面的高度为h ， 则在竖直方向上有：2R －h ＝ 12 gt 2 A 动能定理练习题 1、一质量为1kg 的物体被人用手由静止向上提高1m ，这时物体的速度是2m/s ，求： (1)物体克服重力做功. (2)合外力对物体做功. (3)手对物体做功. 解：(1) m 由A 到B ： G 10J W mgh =-=- 克服重力做功1G G 10J W W ==克 (2) m 由A 到B ，根据动能定理2： 21 02J 2 W mv ∑=-= 【 (3) m 由A 到B ：G F W W W ∑=+ F 12J W ∴= 2、一个人站在距地面高h = 15m 处，将一个质量为m = 100g 的石块以v 0 = 10m/s 的速度斜向上抛出. (1)若不计空气阻力，求石块落地时的速度v . (2)若石块落地时速度的大小为v t = 19m/s ，求石块克服空气阻力做的功W . 解：(1) m 由A 到B ：根据动能定理：2201122 mgh mv mv =-20m/s v ∴= (2) m 由A 到B ，根据动能定理3： 22 t 01122 mgh W mv mv -=- 1.95J W ∴= ~ 3a 、运动员踢球的平均作用力为200N ，把一个静止的质量为1kg 的球以10m/s 的速度踢出，在水平面上运动60m 后停下. 求运动员对球做的功 3b 、如果运动员踢球时球以10m/s 迎面飞来，踢出速度仍为10m/s ，则运动员对球做功为多少 解： (3a)球由O 到A ，根据动能定理4： 2 01050J 2 W mv =-= (3b)球在运动员踢球的过程中，根据动能定理5： : 2211 022 W mv mv =-= 1 不能写成：G 10J W mgh ==. 在没有特别说明的情况下，G W 默认解释为重力所做的功，而在这个过程中 重力所做的功为负. 2 也可以简写成：“ m ：A B →：k W E ∑=?”，其中k W E ∑=?表示动能定理. 3 此处写W -的原因是题目已明确说明W 是克服空气阻力所做的功. 4 踢球过程很短，位移也很小，运动员踢球的力又远大于各种阻力，因此忽略阻力功. 5 结果为 0，并不是说小球整个过程中动能保持不变，而是动能先转化为了其他形式的能（主要是弹性势能， v m 0v 'O A → A B →动能定理练习题(附答案)解析
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