人教版高中必修一数学教案(全册)

第一章 集 合

1 、1、1集合的含义

第一部分 走进预习

【预习】教材第3-5页

1、查阅大数学家康托尔（Contor ）的材料。

2、初步掌握：①集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？

②集合、元素的记法

③元素与集合的关系

④集合的性质。

第二部分 走进课堂

【探索新知】

在小学、初中我们就接触过“集合”一词。

例子：

（1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。

（2）不等式0722>--x x 解的集合（简称解集）。

（3）方程0232=+-x x 解的集合。

（4）到角两边距离相等的点的集合。

（5）二次函数2x y = 图像上点的集合。

（6）锐角三角形的集合

（7）二元一次方程12=+y x 解的集合。

（8）某班所有桌子的集合。

现在，我们要进一步明确集合的概念。

问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？

2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？

1、集合、元素的概念

再看例子

（9）质数的集合。

（10）反比例函数x

y 1=图像上所有点。 （11）2x 、2

y xy +、22y -

（12）所有周长为20厘米的三角形。

问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？

2、有限集和无限集

指出：集合论是德国数学家Cantor （1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。

集合、元素的记法

问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？

（2）N 、)(+*N N 、Z 、Q 、R 等各表示什么集合？

元素与集合的关系

阅读教材填空:

如果a 是集合A 的元素 ， 就记作_________，读作“____________”；

如果a 不是集合A 的元素，就记作__ ____，读作“______ _____”.

再用∈或?填空：

1、6______N ， 2

3-______Q ， 31_______Z ，14.3_______Q π_______Q ， 2、设不等式012>-x 的解集为A ，则 5_______A , 3-_______A

3、012=+-y x 的解集为B ，则)4,1(-_______B , )3,1(_______B , 2-_______B

问题5、元素a 与集合A 有几种可能的关系？

集合的性质

① 确定性：

例子1、下列整体是集合吗？

①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。

2、集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？

（1）0 （2

（3（活动形式：组内合作 组间交流）

②互异性：

例子、集合M 中的元素为1，x ，x 2-x ，求x 的范围？

（活动形式：独立完成 小组内讨论 小组间交流展示）

③无序性：

反思总结:

【课堂检测】

1、实数x,－x,｜x ｜,332,x x -是集合P 中的元素，则P 最多含（ ）

A 2个元素

B 3个元素

C 4个元素

D 5个元素

2、设a 、b 都是非零实数，y=||a a +||b b +|

|ab ab 可能的取值为（ ） A.3 B. 3,2,1 C. 3，1，-1 D. 3，-1

反思总结:

【拓展提升】--活动与探究

数集A 满足条件：若a ∈A ，则a

-11∈A （a ≠1）. （1）若2∈A ，试求出A 中其他所有元素.

（2）设a ∈A ，写出A 中所有元素.

第三部分 走向课外

【课后作业】

1、设一边长为1且有一内角为40°的等腰三角形组成集合P ，试问P 中有多少个元素?

3. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332

++a a

（1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？

（2）若1A ?，则a 应满足什么条件?

【质疑与收获】

1、1、2集合的表示法

第一部分 走进预习

【预习】教材第5-7页

回答下列问题：

1、什么是列举法？举例说明如何用列举法表示集合？

2、什么是描述法？举例说明如何用描述法表示集合？

第二部分 走进课堂

【复习检测】 一、集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？

二、集合、元素的记法

三、元素与集合的关系

四、集合的性质。

问题：1、在初中我们曾用

表示*N , 但是象抛物线2x y =上的点的集合、 实数集等又怎样表示呢？

2、在初中人们常说不等式013<+-x 的解集为3

1>

x ，但在高中这样的说法就是不恰当的，究竟应该这样表示这些集合呢？

【探索新知】集合的表示法

列举法

1、从字面上看“列举法”的含义。

2、从教材中获取列举法的定义。

例1、用列举法表示下列集合

（1）方程0232=+-x x 解的集合。

（2）24与18的公约数的集合。

（3）大于5且小于30的质数的集合。

（4）二元一次方程102=+y x 的正整数解的集合。

又如：下列集合也可以用列举法表示

（1）自然数集

（2）正整数的倒数集合

（3）小于50的且被3除余1的正整数的集合。

问题1、下列集合可以用列举法表示吗？

（1）直角三角形的集合。

（2）不等式23

21->-+x x 的解集。 （3）某农场的拖拉机的集合。

描述法

1、从字面上看“描述法”的含义。

2、从教材中获取描述法的定义。

3、用描述法表示集合的具体操作方法。

例2、用描述法表示下列集合

（1）直角三角形的集合。

（2）不等式

23

21->-+x x 的解集。

（3）不等式

213

24x x x >+-+的解集。

（4）方程0232

=+-x x 解的集合。

方程012=+x 解的集合。

问题2、设方程012=+x 解的集合为φ，φ中有元素吗?

你能再举一些这方面的例子吗？

（5）二元一次方程12=-y x 的解的集合。

（6）二元一次方程组???=-=+4

22y x y x 的解集。

（7）抛物线12+=x y 上点的集合。

二次函数12+=x y 的函数值

y 的集合。

二次函数12+=x y 的自变量x 的取值范围。

（8）被3除余1的整数的集合。

指出：有些集合还可以用Venn 图表示。

例如、下列集合可以用Venn 图表示

① {}9,7,4,1 ② {} 9,7,4,1

反思总结:

【课堂检测】

1、下列集合中哪些具有相同的元素？

{}1|2-==x y x A {}1|),(2-==x y y x B {}1|2-==x y y C

{}12-==x y D {}1|-≥=x x E {}R t t y y F ∈-==,1|2， {}R y y x x G ∈-==,1|2；

2.关于方程组?

??=-=+31y x y x 的解集,下面表达正确的是________. ①{(x ,y )|???x =2y =-1

} ； ②{(2,-1)} ； ③{(x ,y )| (2,-1)}； ④{2,-1}

【拓展提升】：试用列举法表示下列集合

(1)A={x N ∈ |

126N x ∈-} (2)已知B={126N x

∈-｜x N ∈}

第三部分走向课外

【课后作业】

1．用列举法表示下列集合

（1）A={x|x=2n n∈Z}；B={x|x=2n-4 n∈Z}；

C={x|x=4n n∈N Z}；D={x|x=4n+2 n∈N Z}；

(2) A={x|x=2n-1 n∈Z}；B={x|x=2n+1 n∈Z}；

C={x|x=4n±1 n∈Z}；D={x|x=2n+1 n∈N}；2．用列举法表示下列集合

(1)由||||

(,)

a b

a b R

a b

+∈所确定的实数集合.

(2) {(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }.

3．设A={x∈R|a x2+2x+1=0,a∈R}

①若A=?,求a的值；

②若A中只有一个元素,求a的值；

③若A中至多有一个元素,求a的取值集合. 【质疑与收获】

1、2集合之间的关系

1、2、1 子集与真子集

第一部分走进预习

【预习】阅读教材第10-14页，试回答下列问题

1、子集的概念及记法

2、集合相等的定义

3、真子集的概念及记法

4、子集、真子集的图形表示

5．子集、真子集的性质

①空集 与集合A的关系

②子集、真子集的传递性

【质疑】本节内容我有哪些疑问？

第二部分 走进课堂

1、2、1 子集与真子集

【复习检测】

1、???

????集合的性质元素与集合的关系

集合、元素的记法集合、元素的概念集合的含义

2、??

???图法描述法列举法集合的表示法enn V

问题：1、实数之间存在着相等或不等关系，那么集合间又有怎样的相等或不等关系呢？

2、元素与集合间是“属于”或“不属于”的关系，那么集合间还是这样的关系吗？

【探索新知】

子集的定义

阅读下列一段话：

已知{

}3,2,1=A ，{}5,4,3,2,1=B A 中任意一个元素都在B 中，就说A 包含于B ，记作B A ?（或B 包含A ）； 也说A 是B 的子集。

在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的子集：

1、N ,*N (或+N ),Z ,Q ,R

2、①{}1|->=x x A ，{}2|>=x x B

②{}3|->=x x A ，{}21|<<-=x x B

③{}53|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B

④{}3x 1|>-<=或x x A ，{}21|><=x x x B 或

3、{}是三角形x |x U =，{}是锐角三角形x |x A =，{}

是钝角三角形x |x B = {}是直角三角形

x |x C =，{}是斜三角形x |x D = 问题：集合A 是集合A 的子集吗？

指出：对任意的N n ∈,n ≤0，类比可以规定：φ是任何集合A 的子集，即A ?φ。

集合相等的定义

例子、{}

01|2=-=x x A ，{}1,1-=B 问题：集合A 是集合B 的子集吗? 集合B 又是集合A 的子集吗?

结论：集合A 是集合B 的子集，同时集合B 又是集合A 的子集，即集合A 和集合B 有相同

的元素，就说集合A 与集合B 相等。

B A A B B A =??

???? 下列两个集合相等吗？

1、{}

023|2=+-=x x x A ,{}30|<<∈=x Z x B 2、{}30|<<=x x A ,{}30|<<∈=x Z x B

3、{}51-3|>=x x A ,{}2|>=x x B

真子集的定义

阅读下列一段话：

已知{

}3,2,1=A ，{}5,4,3,2,1=B B A ?且B A ≠（或者说B A ?且B 中至少有一个元素不在A 中），则说A 是B 的真子集，记作B A ?。

在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的真子集：

1、N ,*N (或+N ),Z ,Q ,R

2、①{}1|->=x x A ，{}2|>=x x B

②{}3|->=x x A ，{}21|<<-=x x B

③{}53|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B

④{}3x 1|>-<=或x x A ，{}21|><=x x x B 或

3、{}是三角形x |x U =，{}是锐角三角形x |x A =，{}

是钝角三角形x |x B = {}是直角三角形

x |x C =，{}是斜三角形x |x D =

1、子集、集合相等和真子集可以用Venn 图表示。

2、显然: C A C B B A ???

???? 若 ?????C B B A ，或 ?

????C B B A ，那么A 是C 的真子集吗？ 问题：集合{}b a ,有哪些子集，其中又有哪些真子集？有哪些非空真子集？

对于{}c b a ,,，{}d c b a ,,,呢？

从中你能得出什么结论呢？

【例题剖析】

例1、已知集合??

???????????===x y x y y x A 3|),(，那么A 中的非空子集有多少个？

例2、求满足{

}{}4,3,2,1,01,0??A 的集合A 的个数。

反思总结：

1、指出下列各组中集合A 与B 之间的关系：

(1) A={-1，1}，B=Z ；

(2) A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；

（3）+=N A ，B=N ；

（4） A ={x|x=1+a 2,a ∈+N } , B={x|x=a 2

-4a+5,a ∈+N }；

2、已知{1，2 }?M ?{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？分别写出来.

【拓展提升】——活动与探究

设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ?A ，求实数a

的取值范围．

第三部分 走向课外

【课后作业】

α∈，

1．已知M={1，2，3，4，5，6，7,8，9}，集合P满足：P?M，且若P 则10-α∈P则这样的集合P有多少个？

2.已知集合S = {1，3x3+3x2，-3x}，集合A={1，|2x-1|}，如果{x|x∈S，x?A}={0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，请说明理由．

【质疑与收获】

1、2、2集合间关系的逆向思维问题

第一部分 走进预习

【 复 习 】判断下列两集合间的关系

1、{}3|>=x x A ，{}1|->=x x B

2、{3|-=x A ≤x ≤}2，{1|-=x B ≤x ≤?

??23 3、{}23|>-<=x x x A 或，{}24|>-<=x x x B 或

4、{}

023|2=+-=x x x A , {}01|=-=x x B

第二部分 走进课堂

1、2、2集合间关系的逆向思维问题

【探索新知】集合间关系的逆向思维问题

指出：将上面四个例子中的结论变为条件，而将条件中的某些常数变为参数a ，这就得到了

集合间关系的逆向思维问题。

【例题剖析】

例1、已知{}3|>=x x A ，{}a x x B >=|，B A ?，求实数a 的取值范围。

例2、已知{3|-=x A ≤x ≤}2，{1|+=m x B ≤x ≤}m 23-

A B ?，求实数m 的取值范围。

例3、已知{}23|>-<=x x x A 或, {}12512|+>-<=a x a x x B 或，A B ?，求实数a 的取值范围。

反思总结：

我们再来看有关方程的问题

例4、已知{}023|2=+-=x x x A , {}01|=-=ax x B ，A B ?，求实数a 的值。

例5、已知{}023|2=+-=x x x A , {}0|2=+-=b x ax x B ，φ≠B ，A B ?，求实数a 、b 的值。

反思总结：

第三部分 走向课外

【课后作业】（限时20 分钟）

1、已知????

??<<-=231|x x A ，{}1|+><=a x a x x B 或 B A ?，求实数a 的取值范围。

2、已知

{}08|2=+=x x x A ,{}04)2(2|22=-+++=a x a x x B A B ?，求实数a 的取值范围。

3、已知{}R x x x y y A ∈--==,32|2，{}

R x x ax y y B ∈-+==,2|2 B A ?，求实数a 的取值范围。

实际用时为：（ ）分钟

【 质疑与收获】

1、3 集合的运算

1、3、1 交集与并集

第一部分 走进预习

【 预 习 】阅读教材第16-18页及第31-32页，试回答下列问题：

1、 交集的定义

① 自然语言

②符号语言 ③图形语言

2、并集的定义

①自然语言

②符号语言 ③图形语言

第二部分 走进课堂

【 复 习 】

1、子集的定义

2、集合相等的定义

3、真子集的定义

指出：??

???集合的运算集合间的关系集合的含义与表示法集合

这一节课我们来研究：集合的运算。

【探索新知】

阅读下列一段材料：

例子、{}9,5,3,1=A ，{}7,5,3,2=B

用Venn 图表示为：

3 5 A

1

9 B 2

7

问题：1、集合{}5,3与集合A 、B 关系如何？

结论：集合{}5,3是由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合

B 的交集，记作B A .

{}B x A x |x ∈∈=且B A

问题：2、集合{}9,7,5,3,2,1与集合A 、B 关系如何？

结论：集合{}9,7,5,3,2,1是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A

与集合B 的并集，记作B A .

{}B x A x |x ∈∈=或B A

显然：A B B A =, A B B A =

φφ= A , A A =φ

A A A = , A A A =

【例题剖析】

例1、已知{

}Z n n x x A ∈-==,12|，{}

Z n n x x B ∈==,2| 求B A ,B A ；Z A ,Z A .

又如：已知{

}Z n n x x A ∈==,3|，{}Z n n x x B ∈+==,13| 求B A ,B A ；Z A ,Z A .

例2（1）已知{}是三角形

x x U |=,{}是锐角三角形x x A |=, {}是钝角三角形x x |B =