小学数学图形计算例题大汇总

第一讲不规则图形面积的计算（一）

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

【

又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，

所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.

解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD

在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，

∴△ECF的面积为2×2÷2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

。

解：在等腰直角三角形ABC中

∵AB=10

∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，

∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.

.

解：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.

所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。

又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

例5 如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘

解：过E作BC的垂线交AD于F。

在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。

例6 如右图，已知：S△ABC=1，

[

解：连结DF。

∵AE=ED，

∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED，

例7 如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米

^

解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.

∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，

∴S△AGD=AH×DG÷2，

∴AH=8×2÷5=（厘米），

∴DE=（厘米）。

例8 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.

解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2

即45=（AD+BC）×6÷2，

45=（AD+10）×6÷2，

~

∴AD=45×2÷6-10=5米。

∴△ADE的高是2米。

△EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，

例9 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.

证明：连结CE，ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，而DEFG的面积也是△CDE 面积的2倍。

∴ABCD的面积与DEFG的面积相等。

习题一

%

一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：

二、解答题：

1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。

2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN （阴影部分）的面积.

3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。

4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.

:

5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积.

6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少

7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.

8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.

习题一解答…

一、填空题：

二、解答题：

3．CE=7厘米．

可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米．

~

4．3．提示：加辅助线BD

∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。

同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，

6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=（米），长方形的长为=（米）.

7．15平方厘米．解：如右图，设折叠后重合部分的面积为x平方厘米，

x=5．所以原三角形的面积为2×5+5=15平方厘米．

|

∴阴影部分面积是：10x-40＋S△GEF

由题意：S△GEF＋10=阴影部分面积，

∴10x-40=10，x＝5（厘米）.

第五讲同余的概念和性质

你会解答下面的问题吗

问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几

这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几

<

这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm）. （*）

上式可读作：

a同余于b，模m。

同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：

a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.

例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。

②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。

*

③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。

例如，表示a是一个偶数，可以写

a≡0（mod 2）

表示b是一个奇数，可以写

b≡1（mod 2）

补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：

a b（modm）

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a（mod m），（反身性）

:

这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。

性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。

性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。

性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。

性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c 与m的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。

例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

&

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢

解：∵288-214=74=37×2。

∴288≡214（mod37）。

∵74-20=54，而3754，

∴7420（mod37）。

例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。

解：∵418≡2（mod13），

814≡8（mod13），1616≡4（mod13），

<

∴根据同余的性质5可得：

418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。

答：乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3 求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵143≡3（mod7）

∴14389≡389（mod 7）

∵89＝64+16+8+1

而32≡2（mod 7），

34≡4（mod7），

.

38≡16≡2（mod 7），

316≡4（mod 7），

332≡16≡2（mod 7），

364≡4（mod 7）。

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），

∴14389≡5（mod 7）。

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389≡389（mod 7）后，

36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），

∴384≡（36）14≡1（mod 7）。

；

∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。

∴14389≡5（mod 7）。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。

分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。

又∵1≡1（mod 9），

￥

10≡1（mod 9），

102≡1（mod 9），

…

10n≡1（mod 9），

上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、…、a n，再相加得：

a0＋a1×10+a2×102+…+a n×10n

≡a0＋a1＋a2＋…＋a n（mod 9），

即N≡M（mod 9）.

这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

"

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。

再观察一下上面求和式.我们可以发现，和不一定要求出.因为和式中1＋8，2+7，9被9除都余0，求余数时可不予考虑.这样只需求4＋6被9除的余数.因此，1827496被9除余数是1。

有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。

弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。

用弃九法检验乘式5483×9117≡是否正确

因为5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），

9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），

所以5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。

但是≡4+9＋8+8+8＋5+1+1

￥

≡8（mod9），

所以5483×9117≠，即乘积不正确。

要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），

4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），

≡3+2+4+7＋5+6+8+9

≡8（mod 9），

这时，9875×4873≡2×4≡（mod 9）。

但观察个位数字立刻可以判定9875×4873≠.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。

弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。

<

例6 用弃九法检验下面的计算是否正确：

÷7312＝3544。

解：把除式转化为：

3544×7312＝。

∵3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），

7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），

∴3544×7312≡7×4≡1（mod 9），

但≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。

而17（mod 9）

∴3544×7312≠，

^

即÷7312≠3544。

例7 求自然数2100＋3101＋4102的个位数字。

分析求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。

解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），

3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），

4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），

∴2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），

即自然数2100＋3101＋4102的个位数字是5.

习题五

1.验证对于任意整数a、b，式子a≡b（mod1）成立，并说出它的含义。

(

2.已知自然数a、b、c，其中c≥3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少

年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几

4.求＋被7除的余数。

5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面

6.数，被13除余多少（提示：先试除，可知13|111111，而1993≡1（mod 6））。

7.用弃九法检验下面运算是否正确：

①845×372=315340；

②12345×67891=5；

③13÷28997＝39459。

8.求1993100的个位数字.

习题五解答

1.例：∵1|a-b，2≡3（mod 1），7≡15（mod 1），式子a≡b（mod 1）的含义是：任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。

2.解：∵a≡1（mod c），b≡2（mod c），

∴ab＝2（mod c）

即ab除以c余2。

年的十月一日是星期五。

4.解：∵ 3333≡1（mod 7），

∴≡1（mod 7）。

又∵5555≡4（mod 7），

:

∴＝43333（mod 7）。

而43≡1（mod 7），

∵43333≡（43)1111≡1（mod 7），

∴+≡1+1≡2（mod 7），

即＋被7除余2。

5.解：∵ 300≡6（mod 7）。

∴300与6在同一列，在D下面。

6.答：余1。

7.①不正确；

②不正确；

；

③不正确。

.

第四讲最大公约数和最小公倍数

本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）

所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的公约数。

》

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）

定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）

下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.

解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得

36×乙数=4×288，

乙数=4×288÷36，

解出乙数=32。

《

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288，

则288＝4×9×b1，

b1＝288÷36，

解出b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。<

因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b＝21b1，且（a1，b1）＝1。

因为这两个数的最小公倍数是126，

所以126=21×a1×b1，

于是a1×b1=6，

因此，这两个数的和为21＋126=147，或42＋63=105。

答：这两个数的和为147或105。

例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。

解：设这两个自然数分别为a与b，a＜b.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1＜b1。

@

因为a＋b=50，所以有5a1+5b1=50，

a1+b1=10。

满足（a1，b1）=1，a1＜b1的解有：

答：这两个数为5与45或15与35。

例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

解：设这两个数为a与b，a＜b，且设（a，b）＝d，a＝da1，b＝db1，其中（a1，b1）＝1。

因为两个自然数的积=两数的最大公约数×两数的最小公倍数，

所以240=d×60，

)

解出d＝4，

所以a=4a1，b=4b1.

因为a与b的最小公倍数为60，

所以4×a1×b1＝60，

于是有a1×b1＝15。