2019-2020学年鹰潭一中期中考试

2019-2020学年鹰潭一中期中考试

数学考试

考试时间：120分钟满分：150分

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

题号一二三总分

评分

阅卷人一、单选题（共12题；共60分）

得分

1.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）

A. –4

B. –2

C. 2

D. 4

3.已知集合，，则（）.

A. B. C. D.

4.设函数,则（）

A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增

B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增

D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

5.设函数，则f(x)（）

A. 是偶函数，且在单调递增

B. 是奇函数，且在单调递减

C. 是偶函数，且在单调递增

D. 是奇函数，且在单调递减

6.已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A. B.

C. D.

7.函数的图象大致为（）

A. B. C. D.

8.设集合S，T，S?N*，T?N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则∈S；下列命题正确的是（）

A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素

D. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素

9.函数的图象不可能是（）

A. B. C. D.

10.函数的图象大致为（）

A. B. C. D.

11.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间

上，其基本定义是：（）

，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）

A. B. C. D.

12.若集合，，则（）

A. B.

C. D.

阅卷人二、填空题（共4题；共20分）

得分

13.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是________.

14.已知集合，，则________，________.

15.函数的定义域为________.

16.已知函数和在的图像如下图所示，给出下列四个命题：①方程

有且仅有6个根，②方程有且仅有3个根，③方程有且仅有5个根，④方程有且仅有4个根，其中正确的命题有________

三、解答题（共6题；共80分）

得分

17.已知函数．

（1）画出的图像；

（2）求不等式的解集．

18.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

（参考数据：，）

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

19.已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若a?b∈[-1，1]，a+b≠0，有

成立.

（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.

（2）解不等式.

（3）若对所有?，恒成立，求实数m的取值范围.

20.已知集合，，.求a的值及集合

。

21.已知函数的最小值为．

（1）求m的值；

（2）若，证明：．

22.已知函数的定义域为D，值域为A，其中．

（1）若D关于原点对称，求实数a的取值范围；

（2）试判断1是否在集合内，并说明理由；

（3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【解析】【解答】由题意，，故中元素的个数为3.

故答案为：B

【分析】采用列举法列举出中元素的即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故答案为：B.

【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

3.【答案】D

【解析】【解答】，,所以.

故答案为：D.

【分析】计算得到，再计算交集得到答案.

4.【答案】A

【解析】【解答】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．

故答案为：A．

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．

5.【答案】D

【解析】【解答】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调

递减，从而得到结果.

6.【答案】D

【解析】【解答】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故答案为：D.

【分析】由，结合已知，将问题转化为与有3个不同交点，分

三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

7.【答案】A

【解析】【解答】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；

当时，，B不符合题意.

故答案为：A.

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：取：S＝{1，2，4}，则T＝{2，4，8}，S∪T＝{1，2，4，8}，4个元素，排除C．

S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，S∪T＝{2，4，8，16，32}，5个元素，排除D；

S＝{2，4，8，16}则T＝{8，16，32，64，128}，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B；故答案为：A．

【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可．

9.【答案】D

【解析】【解答】当时，，是反比例函数，其图象为B选项；

当时，由得，即函数仅有一个零点，D不可能；

又，所以函数为奇函数；

若，当时，，显然A选项有可能；

若，当时，，所以，即；

因为单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递减；即C选项有可能.

故答案为：D.

【分析】根据函数解析式，分别讨论，两种情况，根据函数零点，以及函数的性质，即可判断出结果.

10.【答案】D

【解析】【解答】由题意，函数的定义域为，

又，即，所以是偶函数，可排除A、B选项；

当时，；当时，，显然只有D符合题意.

故答案为：D.

【分析】先判断函数的奇偶性，可排除A、B选项，再根据时，，

时，，可选出答案.

11.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可知，，

故即函数的周期，

当时，，

则，

．

故答案为：A．

【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．

12.【答案】D

【解析】【解答】

所以

故答案为：D

【分析】先探求公共元素规律，再根据规律得选项.

二、填空题

13.【答案】-4

【解析】【解答】，因为为奇函数，所以

故答案为：-4

【分析】先求，再根据奇函数求

14.【答案】{x｜1＜x＜2}；{x｜x＞-2}

【解析】【解答】，，，.

故答案为：；.

【分析】求出集合A，利用交集和并集的定义可分别求出集合，.

15.【答案】

【解析】【解答】解：

解得且，即

故答案为：

【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解x的取值集合得答案．

16.【答案】①③④

【解析】【解答】对①，在为时，有两个自变量满足，在，y为时，同样都是两个自变量满足，故①正确；

对②，值域在，上都是一一对应，而在值域，上都对应3个原像，故②错误；对③，或或，画出三条直线

与函数的图象共有5个交点，故③正确；

对④，或，画出两条直线与函数的图象共有4个交点，故④正确；

故答案为：①③④．

【分析】把复合函数的定义域和值域进行联系，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．

三、解答题

17.【答案】（1）解：因为，作出图象，如图所示：

（2）解：将函数的图象向左平移1个单位，可得函数的图象，如图所示：

由，解得．

所以不等式的解集为．

【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．

18.【答案】（1）解：设增长率为，依题意可得

所以即，解得

（2）解：设已经植树造林n年，则

即

解得，故已经植树造林5年

（3）解：设至少还需要年，则

即即解得

故至少还需要年

【解析】【分析】（1）设增长率为x，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要m年，则解得.

19.【答案】（1）解：任取，且，则，

又∵为奇函数，

∴，

由已知得，，

∴，即.

∴在上单调递增

（2）解：∵在上单调递增，

∴，∴，

∴不等式的解集为

（3）解：因为在[﹣1，1]上是增函数，

所以，即1是的最大值．

若对所有?恒成立，

则有，对恒成立，

即恒成立．

令，它的图象是一条线段，

那么，

解得：

【解析】【分析】（1）要证明在上的单调性，应考虑定义，设出上的两个变量，作差并根据对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式转化为关于的不等

式组求解；（3）若对所有?，恒成立，则

，对恒成立，进而构造函数，可得：

，解得实数的取值范围．

20.【答案】解：由题意可知3,7∈A，3,7∈B，∵A=

∴a2+4a +2=7即a 2+4a－5=0

解得a =－5或a =1

当a=－5时，A=｛2,3,7｝，B=｛0,7,7,3｝不合题意，舍去。

当a=1时，A=｛2,3,7｝，B=｛0,7,1,3｝

∴A∪B=｛0，1，2，3，7｝

【解析】【分析】由A∩B＝{3，7}知，3，7既是集合A的元素，也是集合B的元素，从而建立关于a的方程，然后利用集合元素的特征检验即可．

21.【答案】（1）解：，

作出函数的图象如图：

根据函数图象得，的最小值为，

；

（2）证明：由（1）知，，

，

，

当且仅当，，即，，时等号成立，

．

【解析】【分析】（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得，然后配凑柯西不等式证明．

22.【答案】（1）解：由题意函数的定义域满足，

① ，即时，，符合，

② ，设方程的两实根为，要满足题意，必有，

综上，；

（2）解：若，则，从而，解得或，

①当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴，

②当时，要满足，还需注意此时分式的分母，∴，

综上，当时，，当，（由分式分母不为零，得且）；

（3）解：先考虑对任意的恒成立．

记，对应的判别式分别为，则，

① 且恒成立，则，即，得，

② ，必须有，且方程与方程两实根必须完全相同，此时必有系数对应成比例，即，解得，满足判别式的条件.

③ , 即，解得或

当时，，，

值域为，不符；

当时，，，当时，，不满足条件.

要满足对任意的恒成立，必有或；

再在或的情况下，考虑对任意的恒成立．

⑴时，，由，可得，

要满足题意，，得，∴；

⑵时，，符合；

综上，或．

【解析】【分析】（1）由题意函数的定义域满足，分和进行讨论得出答案.（2）由，即可得到或，然后再分别验证即可得到答案.（3）先考虑对任意的恒成立，在恒成立，求出参数的范围，然后再此范围内考虑对任意的恒成立，