2019届江苏省数学附加试题三份

1.已知曲线C 的参数方程为???x =sin α

y =cos α

(α∈R ，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极

轴在x 轴的正半轴上时，曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π

4

)=2a ．

(I)试将曲线C 的方程化为普通方程，曲线D 的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a 的取值范围，使曲线C 与曲线D 有公共点．

2．己知实数a ，b ，c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16，求a +b +c 的最大值．

3．一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．

甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列；

(II)求甲总得分大于乙总得分的概率．

4．己知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，

每一个集合都由连续n 个奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；

(II)求证：设n 是不小于2的正整数，∑

==n

i i

S n f 1

6

1

)(. 求证：f (n )>n ．

1.已知曲线C 的参数方程为???x =sin α

y =cos α

(α∈R ，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极

轴在x 轴的正半轴上时，曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π

4

)=2a ．

(I)试将曲线C 的方程化为普通方程，曲线D 的方程化为直角坐标方程； (II)试确定实数a 的取值范围，使曲线C 与曲线D 有公共点．

(I)x 2＋y 2＝1；x ＋y ＝2a ．(II)－

22≤a ≤22

．

2．己知实数a ，b ，c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16，求a +b +c 的最大值．

16＝2a 2

＋3b 2

＋6c 2

＝[(2a)2

＋(3b)2

＋(6c)2

]????

??????122+ ????132+ ????162≥(a ＋b ＋c)2． 等号当且仅当a ＝2，b ＝43，c ＝2

3

时成立，故a ＋b ＋c 最大值为4．

3．一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．

甲从暗箱中有放回地取球，乙从暗箱中无放回地取球，若甲、乙各自取出2只球． (I)写出甲总得分ξ的分布列；

(II)求甲总得分大于乙总得分的概率．

(I)甲的分布列为：

(II)36125

4．己知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，

每一个集合都由连续n 个奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数． (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；

(II)求证：设n 是不小于2的正整数，∑

==

n

i i

S n f 1

6

1

)(. 求证：f (n )>n ．

(I)每个序列第一个数为a n ＝1＋n(n －1)，故S n ＝n 3．

1.已知直线l 的参数方程：12x t y t

=??

=+?（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22π

θρ+=．

（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．

2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立，求实数x 的范

围.

3.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ⊥底面ABCD ,

2OA =,M 为OA 的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；

（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.

4.点(,)n n n P x y 在曲线:x

C y e -=上，曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：

1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1

23,n =）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记

为n S ，已知11x =.

（Ⅰ）证明：11n n x x +=+； （Ⅱ）求n S 关于n 的表达式；

（Ⅲ）记数列{}n S 的前n 项之和为n T ，

求证：11n n n n

T x

T x ++<（1,2,3,

n =）.

D O

M A B

C

2019届江苏省数学附加试题二

1.已知直线l 的参数方程：12x t y t

=??

=+?（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22π

θρ+=．

（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C

的位置关系． ．解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y …………………………………3分

)4

π

ρθ=+，即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，

得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(2

2=-+-x x ……………………………………………6分

（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离255

21

2|

112|22<=

++-=

d ，所以直线l 和⊙C 相交………10分

2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立，求实数x 的范

围.

解：由()a b a b a f x ≥++-，且0a ≠，得||||

()||

a b a b f x a ++-≥ ……………………3分

又因为

||||||

2||||

a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥……………………………………6分

解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤……………………………………………………… 10分

3.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ⊥底面ABCD ,

2OA =,M 为OA 的中点.

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；

（Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.

解

: 作AP CD ⊥于点P,

如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,

,x y z 轴建立 坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,

(222

A B

P D -, (0,0,2),(0,0,1)O

M …………………2分

（Ⅰ）设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22

AB MD ==-

-∵，

1cos ,2

3AB MD

AB MD π

θθ===?∴∴ , ∴

AB 与MD 所成角的大小为

3

π

…5分 （Ⅱ）22(0,

,2),(,2)222

OP OD =-=--∵， ∴设平面OCD 的法向量为1(,,)n x

y z =,

则

110,0n OP

n OD ==，即 202

2022

y z

x y z -=??

?-+-=??，

取z =,解得1(0,n = .…………… 6分

D

O

M

A

B C

121212

.22

cos ,3

n n n n

n n <>=

=

……………………………………………………9分 由图形知，平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为

3

…………………10分 4.点(,)n n n P x y 在曲线:x

C y e -=上，曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：

1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1

23,n =）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记

为n S ，已知11x =.

（Ⅰ）证明：11n n x x +=+； （Ⅱ）求n S 关于n 的表达式；

（Ⅲ）记数列{}n S 的前n 项之和为n T ，

求证：11n n n n

T x

T x ++<（1,2,3,

n =）.

（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以x

y e -'=-，则切线n l 的斜率

n x n k e -=-，所以切线n l 的方程

为()n

x n n y y e

x x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+……………………2分

（Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，

所以1

1

111(2)()()|222n n

n x x

x n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--?=--?=? ………………5分

（Ⅲ）证明：因为12(2)2

()(1)22(1)

n n n e e T e e e e e e e ------=

++???+=--， 所以11111

111

11n n n n n n n T e e e T e e e e e

--++-++---===+---，又1111n n x n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n

+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+………………………7分

下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1

(1)n e e n e +>

-+（略）…………………………………………………………………10分

1.在极坐标系中，圆C

的极坐标方程为π

)4

ρθ=

+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立

平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,5

31,

5x t y t ?=+????=--??

（t 为参数），求直线l 被圆C 所截得的弦长．

2.若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111

323232

a b c ++

+++的最小值．

3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF

所在的平面互相垂直，AB =

，1AF =．

(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；

(2) 在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA 所成的角为60，试确定点P 的位置．

4.已知333

31111()1234f n n =+

+++

，231()22g n n

=-，*n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．

B

E

A

F

D

C

第22题图

1.在极坐标系中，圆C

的极坐标方程为π

)4

ρθ=

+，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立

平面直角坐标系，直线l 的参数方程为41,5

31,

5x t y t ?=+????=--??

（t 为参数），求直线l 被圆C 所截得的弦长．

曲线C

的极坐标方程),cos sin 4

π

ρθρθθ=

+=-可化为， 化为直角坐标方程为22

0,x y x y +-+=即22111()()222

x y -++= ．……………3分

直线:l 41,5

31,5x t t y t ?

=+???

?=--??

（为参数）可化为3410x y ++=，……………………………6分 圆心到直线的距离11

341

122510

d ?-?+==，………………………………………8分

弦长7

5

L ==

．……………………………………………………………10分 2.若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232

a b c +++++的最小值．

因为1a b c ++=，a ，b ，c 为正数,由柯西不等式，

所以2111

()[(32)(32)(32)](111)323232

a b c a b c +++++++≥+++++………6分 所以

111

1323232

a b c ++≥+++，……………………………………………………8分 当且仅当323232a b c +=+=+，即a b c ==时“=”成立， 所以当3

1

=

==c b a 时，原式取最小值1.………………………………………………10分 3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF

(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值；

(2) 在线段AC 上找一点P ，使PF 与DA (1) 以,,CD CB CE 则()

(0,0,1),,E D B ，

)

,A

F ，

因为,AC BD AF BD ⊥⊥，

B

所以BD 是平面ACEF 法向量，………2分

又因为(2,2,0),(0,2,1)DB DF =-=，所以3cos ,DF DB =

，

故直线DF 与平面ACEF ．…………………

5分 （2）设((,,0)0(2,2,1),(0,2,0)P a a a PF a a DA =--=

≤,则．

因为,60PF DA <>=

，所以12

a

=

=cos60． 解得2

a =

，故存在满足条件的点P 为AC 的中点．……………10分 4.已知3

3331111()1234

f n n =+

+++

，2

31()22g n n

=-，*

n ∈N ． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明． （1） 当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =；

当2n =时，9(2)8f =

，11(2)8g =，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，251(3)216f =，312

(3)216

g =，所以(3)(3)f g <．………3分

（2） 由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明： ①当1,2,3n =时，不等式显然成立．

②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即333

32

111

131

123422k k +

+++

<-

， 那么，当1n k =+时， 323

1311

(1)()(1)22(1)

f k f k k k k +=+

<-+++， 因为

2233232

1113131

()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k +----=-=<++++，

所以231

(1)(1)22(1)

f k

g k k +<

-=++． 由①、②可知，对一切*

n ∈N ，都有()()f n g n ≤成立．………………10分