上海市中考数学复习专题之三角形综合题

上海市中考数学复习专题之三角形综合题

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、解答题 (共40题；共108分)

1. （3分）(2019·高新模拟) 图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．

（探究）在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC．

（应用）在图②、图③中，点M、O、N均为格点．

（1）利用（探究）的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹．

（2）cos∠MOP的值为________．

2. （3分） (2017七下·枝江期中) 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A（﹣5，5）、B（﹣3，0）、C（0，3）．

（1）

①画出△ABC，它的面积为多少；

②在△ABC中，点A经过平移后的对应点A′（1，6），将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出B′、C′的坐标；

（2）

点P（﹣3，m）为△ABC内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q（n，﹣3），则m=________，n=________．

3. （3分） (2019九上·南关期末) 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．

（1）在图①中找到一个格点C，使∠ABC是锐角，且tan∠ABC＝，并画出△ABC．

（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD．

4. （3分）如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

（1）

求证：△ADE≌△CBF；

（2）

求证：四边形BFDE为矩形．

5. （3分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）

求证：△ABC≌△ADC

（2）

若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长

6. （3分）如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC 于点F.求证:

（1） AE=AF;

（2） BE= (AB+AC).

7. （3分） (2019九下·佛山模拟) 如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点E，使CE=CA，连接AE，在AB上取一点N，使BN=BE，连接CN并延长，分别交BD、AE于点M、F，连接FO．

（1）求证：△ABE≌△CBN；

（2）求FO的长；

8. （2分）如图，?ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF．

（1）

求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）

若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．

9. （3分）(2020·松滋模拟) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.

10. （3分） (2017八下·抚宁期末) 如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE=CF，求证：

（1）

AE=BF

（2）

AE⊥BF

11. （3分） (2019七下·普陀期中) 如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2=90°.

（1）求证：AB∥CD；

（2）求证：∠2+∠3=90°．

12. （3分）如图，直线AB过x轴上的一点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，点B的坐标为（1，1）．

（1）求直线AB和抛物线y=ax2的解析式；

（2）求点C的坐标，求S△BOC；

（3）若抛物线上在第一象限内有一点D，使得S△AOD=S△BOC，求点D的坐标．

13. （2分）(2019·江北模拟) 一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）

（1）如图1，这副三角板中，已知AB＝2，AC＝________，A′D＝________

（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC通过旋转或者平移变换可使△ABC的斜边BC 经过△A′DC′′的直角顶点D.

方法一：如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°）

方法二：如图3，将△ABC沿射线A′C′方向平移m个单位长度

方法三：如图4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°）

请你解决下列问题：

①根据方法一，直接写出α的值

②根据方法二，计算m的值；

③根据方法三，求β的值.

（3）若将△ABC从图1位置开始沿射线A′C′平移，设AA′＝x，两三角形重叠部分的面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.

14. （3分）(2018·无锡模拟) 在正方形网格中以点A为圆心，AB为半径作圆A交网格于点C（如图（1）），过点C作圆的切线交网格于点D，以点A为圆心，AD为半径作圆交网格于点E（如图（2））．问题：

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：△AEB≌△ADC；

（3）△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的？并判断△AED的形状（不用说明理由）．

（4）如图（3），已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．

15. （3分） (2017七下·东城期中) 在平面直角坐标系中，有点，．

（1）当点在第一象限的角平分线上时，的值为________．

（2）若线段轴．

①求点、的坐标．

②若将线段 A B 平移至线段 E F ，点 A 、 B 分别平移至A ′ (x 1 ,3 x 1 + 1 ) ，B ′ (x 2 ,2 x 2 ?

3 ) ，求 A ′ 、 B ′ 的坐标．

16. （3分） (2017八下·宁波期中) 如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。

（1）求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长。

17. （3分）(2017·襄城模拟) 如图，在?ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．

（1）求证：△BEF≌△CEH；

（2）求DE的长．

18. （1分） (2017八下·定州期中) 如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C 落在点C′处，BC′交AD于点E，求线段DE的长．

19. （3分）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．

20. （3分）(2019·河南模拟) 如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．

（1）发现

①线段DE、BG之间的数量关系是________；

②直线DE、BG之间的位置关系是________．

（2）探究

如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）应用

如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD 所在直线距离的最大值和最小值．

21. （3分）(2018·龙东) 如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE= DF．

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

22. （3分）如图，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆心(用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明)．

23. （3分） (2018九上·丹江口期末) 以△ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，M为EG的中点，连接AM.

（1）如图1，∠BAC=90°，试判断AM与BC关系？

（2）如图2，∠BAC≠90°，图1中的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，给出证明.

24. （2分） (2019八上·武汉月考) 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC.

（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA=CD，这个性质是________；

（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；

（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.

25. （3分）(2018·平南模拟) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D 在边AB上．

（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；

（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3．求CG的长．

26. （3分） (2016八上·扬州期末) 如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．

（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为________cm2．

27. （2分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．

（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；

（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝ EF．

28. （2分） (2017八下·萧山开学考) 在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．

（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD=AE；

（2）如图②，若AB=1，BC=2，求DE的长；

（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2=AE2，试求∠DEB的度数．

29. （3分） (2017八下·蒙阴期中) 定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

请解决下列问题：

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的长；

（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC ＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．

30. （2分）(2017·南开模拟) 从⊙O外一点A引⊙O的切线AB，切点为B，连接AO并延长交⊙O于点C，点D．连接BC．

（1）如图1，若∠A=26°，求∠C的度数；

（2）如图2，若AE平分∠BAC，交BC于点E．求∠AEB的度数．

31. （3分） (2016七下·白银期中) 小明同学骑自行车去郊外春游，如图为表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（时）之间关系的函数图象．

（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？

（2）求小明出发2.5小时离家多远？

（3）求小明出发多长时间距家10千米．

32. （1分）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．

33. （3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．

（1）求证：PC＝PE；

（2）若BE＝2，求PB的长.

34. （2分） (2019七上·威海期末) 尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）

如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．

35. （3分） (2019九上·贵阳期末) 如图，已知A，B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A

开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时直线EF由x轴为起始位置以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）求t=15秒时，求EF的长度；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160(平方单位)?若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

36. （2分）已知，△ABC、△DCE均为等边三角形，且B、C、E三点在一条直线上，BD与AE相交于O点．

（1）求证：△BCD≌△ACE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）连接MN，求证：MN∥BE．

37. （2分）下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号)

（1）可以平移但不能旋转的是________；

（2）可以旋转但不能平移的是________；

（3）既可以平移，也可以旋转的是________．

38. （3分） (2019八上·深圳期末) 如图，已知B（0，b）（b＞0）是y轴上一动点，直线l经过点A（1，0）及点B，将Rt△ABO折叠，使得点B与点O重合，折痕分别交y轴、直线AB于点E、F，连接OF．

（1）当b＝2时，求直线l的函数解析式；

（2）请用含有字母b的代数式表示线段OF的长，并说明线段OF与线段AB的数量关系；

（3）如图，在（1）的条件下，设点P是线段AB上一动点（不与A、B重合），将线段OP绕点O逆时针旋转90°至OQ，连结BQ、PQ，PQ交y轴于点T，设点P的横坐标为t．

①当△OPQ的面积最小时，求T的坐标；

②若△OPB是等腰三角形，请直接写出满足条件的t的值；

③若△OQB是直角三角形，请直接写出满足条件的t的值．

39. （4分） (2017八下·乌鲁木齐期末) 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

40. （3分）(2016·凉山) 阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．①

古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②

下面我们对公式②进行变形： =

= =

= = ．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．

问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．

（1）求△ABC的面积；

（2）求⊙O的半径．

参考答案一、解答题 (共40题；共108分)

1-1、

1-2、

2-1、

2-2、

3-1、3-2、4-1、4-2、

5-1、

5-2、6-1、

6-2、7-1、

7-2、

8-1、8-2、