人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点

第十五章分式方程知识点及考点

一、知识点

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．

易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

3．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

4．分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝

工作量

工作效率

，时间＝

路程

速度

等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：

①设未知数；

②找等量关系；

③列分式方程；

④解分式方程；

⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

⑥答．

二、考试方向

（一）解分式方程

分式方程的解法：

①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：

1、解分式方程：312242

x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，

解得：x =4，

经检验x =4是分式方程的解．

【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

2、方程33122x x x

-+=--的解为_______________． 【答案】1x =

【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，

解得1x =，

检验：1x =时，20x -≠，

所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．

【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．

（二）分式方程的解

（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.

（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.