高考数学选择题之压轴题

高考数学压轴选择题

_________班______号姓名_________________

一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若

对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =

D ．()[()]****a b b a b b =

2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE

的延长线与CD 交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r

（ ）

A ．

1142+a b B ．2133+a b C ．1124

+a b D ．1

233

+

a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面

4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ）

A ．1205秒

B ．1200秒

C ．1195秒

D ．1190秒 5、（2011广东）

8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( )

A. T,V

B.T,V

C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈U 设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭

D.T,V 中每一个关于乘法是封闭

6、（2012广东8）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ

=g o g ；若平面向量,a b r r

满足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2n

n Z ?∈??中，则

a b =r r o ( ) ()A 12 ()B 1 ()C 32 ()D 5

2

7、（2013广东8）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .

令集合

(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若

(),,x y z 和 (),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )

A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ? B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C.(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈ D.(),,y z w S ?,(),,x y w S ∈

三、高考数学压轴选择题的基本类型及策略

1、即时定义的新概念题

策略：紧跟定义，恰当方法，合情推理，得出结论.

例1（2013年福建理10）设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A ．*

,A N B N ==

B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或

C ．{|01},A x x B R =<<=

D ．,A Z B Q ==

例2（2013年浙江理10）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=。

设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则

A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为0

60 例3（2013陕西理10.）设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]

2、创新性题

策略：利用转化与划归思想.

例4（2013上海理18）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终

点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r

；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r

.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中

{,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足（ ）.

(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <>

(C) 0,0m M <=

(D) 0,0m M <<

例5（2013江西10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间

l

1

l l

?FG

(0)x x π<

1l 2

l ()

y f x =

法

例6（2013年上海春季理24）已知 A B 、为平面内两定点，

过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=?u u u u r u u u r u u u r

，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）

（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线 4、知识综合题

策略：综合利用相关知识，理顺思路，步步为营. 例7（2013年天津理8）已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ??

-?????

, 则实数a 的取值范围是( )

(A) 15?-???? (B) 13?-???? (C) 1513?+? ??-????? (D) 51?-- ??

∞ 例8（2013年全国1理12.设n n n A B C ?的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ?的面积为n S ，

1,2,3,n =L ，若11111,2b c b c a >+=，111,,2

2

n n n n n n n n c a b a a a b c +++++===，则( )

A.{S n }为递减数列

B.{S n }为递增数列

C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列

P

B

A M F

y

x

例9（2013年湖南理8）在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ?的重心，则AP 等于( )

A ．2

B ．1

C ．

83 D ．43

例10（2013年安徽理10）若函数3

2

()=+ax +b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程2

3(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6

1.已知ABP ?的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的

中点，3PF FM =u u u r u u u u r

；

（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ?面积的最大值.

2. 已知函数()x

f x x ae

=-()a R ?，x R ?.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且

12x x <.

（Ⅰ）求a 的取值范围；学科网

（Ⅱ）证明

2

1

x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.

3. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足111

3,*,13

n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2

342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；

（2）若

{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++L ，

zxxk 11

3,*,3

n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；

（3）若12,,,k a a a L

成等差数列，且121000k a a a +++=L ，学科网求正整数k 的最

大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L

的公差.

4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>直线y x

=

被椭圆C . （Ｉ）求椭圆C 的方程；

（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.

（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求

出λ的值；

（ii ）求OMN ?面积的最大值.

5. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若,0,0>>b a 且

ab b

a =+1

1 （I ）求3

3

b a +的最小值；

（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a 并说明理由.

6. 设函数()2|1|1f x x x =-+-，2

()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （Ⅰ）求M ；

（Ⅱ）当x M N ∈I 时，证明：2

2

1

()[()]4

x f x x f x +≤. 7. 将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈L

从小到大排列构成一个数学科网123n L ，()F n 为这

个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），

现从这个数中随机取一个数字，

()p n 为恰好取到0的概率.

（1）求

(100)p ；

（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；

（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，

{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.

8. 选修4-5：不等式选讲 设函数1

()||||(0)f x x x a a a

=+

+-> （1）证明：()2f x ≥；

（2）若(3)5f <，求a 的取值范围. 9. 已知常数20,()ln(1).2

x

a f x ax x >=+-

+函数 （1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；

（2）若()f x 存在学科网两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范

围．

10. 函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).

（1）讨论函数f(x )的单调性；

（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.

一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C ：

x 2a 2

＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝3

2

，a ＋b ＝3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m －k 为定值．

★★如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点P （1，32），离心率e ＝1

2，直线l 的方程为x ＝

4．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

★★椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为

3

2，过F1且垂直于x

轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM 交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，

设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明

1

kk1＋

1

kk2为定值，并求出这个定值．

★★★如图，已知双曲线C：x2

a2－y

2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线

AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：x0x

a2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线

x＝3

2相交于点N．证明：当点P在C上移动时，

|MF|

|NF|恒为定值，并求此定值．

二、圆锥曲线中的最值问题

★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1（a＞b＞0）的离心率为

3

2，直线y＝x被椭圆

C截得的线段长为410 5．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

（ii）求△OMN面积的最大值．

★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2

a2＋

y2

b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

离心率为e1；双曲线C2：x2

a2－

y2

b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2

＝

3

2，且|F2F4|＝3－1．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为A B的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

★★★如图，点P（0，－1）是椭圆C1：x2

a2＋

y2

b2＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆

C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的

距离为3 4．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线l：y＝kx＋1

4与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆

Q有两个不同的交点D，E，求当1

2≤k≤2时，|AB|

2＋|DE|2的最小值．

三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题

★★设椭圆E：x2

a2＋

y2

1－a2＝1的焦点在x轴上．

（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

x

O

y

B

l1

l2

P

D

A

（Ⅱ）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 四、圆锥曲线与求参数

★★在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为

22

． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为

6

4

的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP →＝tOE →

，求实数t 的值．

★★★已知三点O （0，0），A （－2，1），B （2，1），曲线C 上任意一点M （x ，y ）满足|MA →＋MB →

|＝OM →·(OA →+OB →

)＋2． （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）动点Q （x 0，y 0）（－2＜x 0＜2）在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l 向：是否存在定点P （0，t ）（t ＜0），使得l 与PA ，PB 都不相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数若存在，求t 的值．若不存在，说明理由． 五、存在性问题

★★如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）过点(1，22)，离心率为2

2，左、右焦点分别为F 1、

F 2．点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜线分别为k 1、k 2． ①证明：

1 k 1－3

k 2

＝2； ②问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率k OA 、k OB 、k OC 、k OD 满足k OA ＋k OB ＋k OC ＋k OD ＝0若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．

★★★如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为3

2，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线

段长等于C 1的长半轴长． （Ⅰ）求C 1，C 2的方程；

（Ⅱ）设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于D ，E ． （i ）证明：MD ⊥ME ；

（ii ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1，S 2．问：是否存在直线l ，使得

S 1S 2＝17

32

请说明理由． y

六、轨迹方程

y 2

b 2＝1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（－1，0），F 2（1，0），且椭

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

★★如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2p y （p ＞0），点M （x 0，y 0）在抛物线C 2上

，

（Ⅰ）求p 的值；

（Ⅱ）当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N

的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为

O ）．