复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：

z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式

e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，

z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度

={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：

=??z k

设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向)

例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a

∴=b-a,即=b-a.

(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则

∑1= （）(z k-z k-1)

有可设?k=z k，则

∑2= （）(z k-z k-1)

因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

S n= (∑1+∑2)==b2-a2

∴=b2-a2

1.2 定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：

= - vdy + i+ udy

再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)

=

参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段

解：参数方程z=（3+i）t

=′

=(3+i)3

=6+i

例题2：沿曲线y=x2计算（）

解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)

=（）

=(1+i)+ 2i]

=-+i

1.3定义衍生2 重要积分结果：

z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)

由参数法可得：

=

dθ=dθ

（）

=

例题1：例题2：

解：=0 解=2πi

2.柯西积分定理法：

2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：

=0

2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D 内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路Γ=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：

=+=0

ΓArray即=

推论：=

例题：C为包含0和1的正向简单曲线。

解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。

=+

=

=+++

=0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即

??= ??这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分??在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=??所以有

若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且

=f(z).根据定理2.2和2.4可得= F(z1) - F(z0).

例题：求

解：函数zcosz在全平面内解析

∴=zsinz-

= isin i+cosz=isin i+cos i-1

=i+-1=e-1-1

此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

2.5柯西积分公式法：

设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在

z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。

取z0位中心，以>0为半径的正向圆周=位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以

==2πif(z0)

：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：

f(z0)=

例题：1）

2）

解：=2π isin z|z=0=0 解：=

=2πi|z=-i=

2.6解析函数的高阶导数：

解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为

f(n)(z0)=dz(n=1,2…)

其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.

例题：C:=1

解：由高阶导数的柯西积分公式：

原式=2πi(e z)(4)|z==

3.解析函数与调和函数：

定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：

+=0，则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确

（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv 在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数

关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。

3.1求解方法：

（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数=，两边对y积分得v=.再由=又得

+=-从而=dx + C

v=+ dx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).

3.2不定积分法：

因为=U x+i V x= U x-iU y= V y+iV X

所以f(z)=+c f(z)=+c

3.3线积分法：

若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=dx+dy=-dx+

故虚部为

v=（，）

（

，，）

+C

该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).

例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

解：利用C-R条件

=2x+y =-2y+x =2 =-2

所以满足拉普拉斯方程，有

==2y-x ==2x+y

所以v=+=2xy- +

=2x+=2x+y

=y =+c

v(x,y)=2xy-+c

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(2-i)+iC

4.留数求积分：

留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、

0<<,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c-1

或者Res[f(z),z0]=C为0<<

4.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2…z n,

其中z k表示函数的孤立奇点

4.2孤立奇点：

定义：如果函数在z0不解析，但在z0某个去心邻域0<<内解析，则称z0为的孤立奇点。例如、都是以z=0为孤立奇点函数

（）以z=-1、z=2为孤立奇点..........

在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数可展开为洛朗级数

=（）

洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型：

：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即

对一切n<0有c n=0，则称z0是f(z)的可去奇点

因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.....)故c-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点，一般对函数求积分一般为零

判断可去奇点方法：⑴函数在某个去心邻域0<<内解析，则z0是的可去奇点的充要条件是存在极限（）=c0，其中c0是一复常数;⑵在⑴的假设下，z0是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r≤，使得f(z)在0<

若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项，即有正整数m，c-m0，而当n<-m时c-n=0

则称z0是f(z)的m级极点。

其洛朗展开式是：f(z)=

（）+

（）

+…++c0+c1(z-z0)n+m+…

+c0(z-z0)n +…

这里c-m0，于是在0<<有f(z)=[

（）+

（）

+…

++c0+c1(z-z0)n+m+…+c0(z-z0)n +…]=. * 一个在0<<解析，同时，则z0是f(z)的m级极点。

判断定理：（1）f(z)在z0的去心邻域0<<解析，z0是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0是f(z)的m级极点的充要条件是=.

：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项，则称z0是f(z)的本性奇点

判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限。

4.3函数在极点的留数：

准则一：若z0为一级极点，则

Res[f(z),z0]=

准则二：做z0为m级极点，则

Res[f(z),z0]={(z-z0)m f(z)}

准则三：设f(z)=,P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)0，

Q(z0)，则z0是f(z)的一级极点，而且：

Res[f(z),z0]=

4.4无穷远处的留数：

定义：扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在R<<+内解析，C为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线，则积分值

称为f(z)在z=处的留数，记作

Res[f(z),]=

如果f(z),在R<<+内的洛朗展开式为

f(z),=则有Res[f(z),]=-c-1

4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，z n，则f(z)在各奇点的留数总和为零,即

+Res[f(z),]=0;

4.4.2Res[f(z),]=-Res[f(),0]

例题：求下列Res[f(z),]的值

（1）f(z)=(2)f(z)=

解：（1）在扩充复平面上有奇点：1，，而1为f(z)的一级极点且Res[f(z),1]===e

Res[f(z),-1]===-

∵Res[f(z),] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0得

∴Res[f(z),]=-{ Res[f(z),1]+ Res[f(z),-1]}=()=-sh1

(2) 由公式Res[f(z),]=-Res[f(),0]，而f()=

以z=0为可去奇点，所以

Res[f(z),]= -Res[f(),0]=0

4.5用留数定理计算积分：

4.5.1形如d的定积分计算；其中为

cos与的有理函数。

故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公式，令

z=,dz=izd=i d d=

sin =()=cos

则d==

其中f(z)=]然后又留数定理求的积分值为

2πi其中z k（k=1,2, …n）为f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。

4.5.2形如的积分计算。其中R(x)为x的有理函数，且分母的次数至少比分子的高二次，R(x)在实轴上无孤立奇点。则

=2πi[R(z),z k],z k为上半平面的所有奇点

4.5.3形如=2πi[，] 其中k为上半平面的所有奇点

5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法，还有许多细节性的问题没有一一列举。复变积分的算法对比实函数积分的计算方法，有很多相似的地方，较实函数积分要复杂些。复变的积分变换多是理解性的问题，多做题目可以提高思维的多样性，但容易造成思维定势。理解才是主要解题之道！