高中数学圆的方程专题复习

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高一数学辅导资料 内容：圆与方程

本章考试要求

一、圆的方程 【知识要点】

1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x

0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.

2.圆的一般方程02

2

=++++F Ey Dx y x ，圆心为点,2

2D E ??

-- ???，半径2

r =

，

其中0422

>-+F E D

.

3.圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=

交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（不含圆2C ）, 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.

【互动探究】

考点一 求圆的方程

问题1． 求满足下列各条件圆的方程：

()1以两点(3,1)A --，(5,5)B 为直径端点的圆的方程是

()2求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程；

()3过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ，则圆C 的方程是?

考点二 圆的标准方程与一般方程

问题2．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是

考点三 轨迹问题

问题3.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是

问题4．设两点()3,0A -，()3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.

二、直线和圆、圆与圆的位置关系

【知识要点】

1.直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式 为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d

则直线与

圆的位置关系满足以下关系：

2.直线截圆所得弦长的计算方法：

利用垂径定理和勾股定理：AB =r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.

0:111221=++++F y E x D y x C 0:222222=++++F y E x D y x C 则两圆的公共弦所在的直线方程是

4.相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解

②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1-（或一条直线存在斜率，另一条不存在） ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=?来求解.

特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 . 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为

【互动探究】

考点一 直线与圆的位置关系

问题1:()1已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则

.A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能

()2直线l ：1mx y m -+-与圆C ：()

2

211x y +-=的位置关系是

.A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定，与m 的取值有关.

()3过点()1,3P 引圆2244100x y x y +---=的弦，则所作的弦中最短的弦长为

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.A 22

.B 4 .C 8 .D 42

()4求圆心为()1,2且与直线51270x y --=相切的圆 .

考点二 直线与圆相切的有关问题

问题2．()1 圆0422=-+x y x 在点)3,

1(P 处的切线方程为

()2过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程是

()3过直线2

20x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60?，

则点P 的坐标是

考点三 直线与圆相交时的弦长问题

问题3．已知圆C 方程为：422=+y x .直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若23AB =，

求直线l 的方程.

问题4．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；

()1m R ∈时，证明l 与C 总相交； ()2m 取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长.

考点四 圆与圆的位置关系

问题5．()1）圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为 .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离

()2（2013重庆）已知圆()()

22

1:231C x y -+-=，

圆()()22

2:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为

.A 524 .B 171 .C 622-.

D 17

问题6．已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22210240x y x y +-+-= 相交于,A B 两点，

()1求公共弦AB 所在的直线方程； ()2求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程；

【巩固训练】

1.圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是

2.已知圆222440x y x y ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称，则b =

3.圆5)2(22=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程为

4.圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是

5. 两个圆1C ：222220x y x y +++-=与2C 224210x y x y +--+=的公切线有且仅有

6.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

7.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是

8.由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 9.直线y x =被圆()2

224x y +-=截得的弦长为

10.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个

11.由点()0,1P 引圆224x y +=的割线l ，交圆于,A B 两点，使AOB △的面积为2

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（O 为原点），求直线l 的方程.

12.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点

P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C

交于A ，B 两点，线段的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当＝时，求l 的方程及△的面积．