基金公司的投资策略分析数学建模

基金公司的投资策略分析

摘要

对于问题一，我们引入股票变异系数=收益率的标准差/期望收益率来判断各股的价值；由于期望收益率代表着股票的收益，标准差则反映了股票的波动情况，所以变异系数越小，则表示股票相对风险小，收益率高。我们以20082012

:年的数据为基础，以期望收益率大于10%为指标进行筛选后，对剩余的股票进行变异系数的计算，选取变异系数为正且最小的厦门钨业作我们认为最有投资价值的股票，并从宏观经济趋势、行业现状及未来发展、企业分析三个方面，在附录一中对其进行价值评估。

对于问题二，我们采用二次指数平滑预测法，计算出问题一中的股票变异系数选出系数最小的10种股票的趋势预测值和涨幅。以厦门钨业为例，该股在2013年呈现上升趋势，年度最高收盘价趋势预测值为49.94，涨幅为28.12%。其他各股的涨幅大都在20%40%

:之间，最低增幅为兖州煤业的4.60%，最高增幅为广汇能源的38.59%。

对于问题三，我们采用层析分析法建立以最优投资组合为目标的层次分析结构，准则层为风险、收益两个指标，方案层为10种股票。通过Excel软件解得各股在最优投资组合中所占的权重，计算每种股票的投资金额；再根据问题四建立的马克维兹均值—方差模型，求出投资组合的总风险。

对于问题四，我们采用马柯维茨的“期望收益率－方差投资组合模型”，以投资组合的方差最小为目标函数，建立收益期望大于25%的投资组合模型，最后计算出的最小风险为最小风险为13.44%。

对于问题五，我们从经济发展、行业分析、和不同投资组合的风险与收益分析三个方面出发，在附录二中给出了一份完整的投资报告。

关键字：股票变异系数二次指数平滑层次分析法马克维兹均值—方差模型

某基金管理公司现有50000万元于2013年1月1日投资附表1中列出的50种股票，于2013年12月31日之前全部卖出所持有的股票。请你为该基金公司提出投资方案。公司经理要求回答以下问题：

1、以我国经济形势与行业变化的分析为背景，从附表所罗列的50种股票寻中寻找一个最有投资价值的股票做一估值报告。

2、从附表所罗列的50种股票选出10种股票进行投资，预估这10种股票2013年的上涨幅度或者通过其他途径获取这10种股票的上涨幅度。

3、通过建立数学模型确定最优投资组合的决策，即确定在选出的10种股票中分别的投资额和投资组合的总风险。

4、基金公司经理要求至少获得25%预期收益，预计最小风险数值。

5、为基金公司经理撰写一份投资报告。

二、问题分析

对于问题一，我们认为最有投资价值的股票即为收益大、风险小且投资方向与我国未来经济形势大致相符的股票。对于股票的选择，我们先用20112012

:年股票的年收益率X的期望值E(X)来衡量该股票投资的获利能力，期望值越大，股票的获利能力越强；再以该种股票投资收益率的方差D(X)（收益的不确定性）来衡量该股票的风险，方差越小，投资的风险越小；最后，我们引入一个股票变异系数=收益率的标准差/期望收益率，由于期望收益率为股票的收益，标准差则反映了股票的波动情况，所以变异系数越小，则表示股票相对风险小，收益率高。

对每支股票的变异系数进行排序，变异系数最小的股票即为所选的最有投资价值的股票。对于股票的估值报告，则从宏观经济趋势、行业现状及未来发展、企业分析三个方面进行价值评估。

对于问题二，可根据问题一中的股票变异系数选出系数最小的10种股票进行投资。对于预测2013年股票上涨的幅度，我们采用指数二次平滑预测法计算出每只股的趋势预测值，并给出涨幅。

对于问题三，对于10种股票的最优投资组合的决策，相当于确定每种股票在总投资中的权重大小，对此，可采用层次分析法对投资组合问题进行分层后确定合理的权重。投资组合的总风险则按照问题四中的马克维兹均值—方差模型进行求解。

对于问题四，在要求收益一定的情况下，确定风险值最小的投资组合方案。对此，可采用马柯维茨的“期望收益率－方差投资组合模型”法，通过量化股票两两选择之间的相互影响，以风险（投资组合的方差）最小为目标函数，以期望收益和权重取值范围为约束条件，得到最小的风险值以及其投资组合方案。

对于问题五，一份完整的投资报告应包含以下内容：

（1）国际和我国的经济发展趋势；

（2）发展前景可观行业的行业分析；

（3）不同投资组合的风险与收益分析。

1、基金公司进行投资期间，社会政策无较大变化经济发展形势较稳定；

2、基金公司投资期间所花费的交易费等其他费用不计，只考虑单纯的本金和收益关系；

3、不存在无风险资产，每种股票的收益与否相互独立；

4、基金公司仅依靠预期的投资风险和收益来做出投资决定；

5、基金公司在年初投资股票，年末获得收益，所选股票在决策期间发生的变化不会影响投资决策，即投资期间不会随机撤资或追加投资；

6、基金公司用期望收益率来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险）。

7、基金公司都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的股票；在同一收益率水平下，选择风险较低的股票。

四、符号说明

符号 解释说明

it r 第i 种股票第t 年的年收益率

）（i r E 第i 种股票的期望收益率

)(i r D 第i 种股票的方差

μ 变异系数

)(i t S 第t 期第i 次指数平滑值

α 指数平滑系数

W 权向量

i x 第i 种股票在投资组合中的权重

p E 投资组合的期望收益

ij σ 股票i 和j 之间的协方差

2p

σ 投资组合的方差

五、模型建立及求解

5.1问题一：

5.1.1模型的建立：

为量化最具有投资价值这一指标，可对每种股票的收益情况和风险波动情况进行综合考虑。收益情况可根据数据中该股票每年的收益率得到期望收益率来反映，风险波动情况可根据该股票总体的方差（标准差）来衡量。通过变异系数μ

得到风险与收益的比值，得到变异系数越小，即风险越小收益越高的股票越好。 年收益率：00

100%tn t it t p p r p -=? 其中，P 0表示第i 种股票在第t 年第一次开盘时的价格，表示第i 种股票在第t 年最后一次收盘的价格。

第i 种股票的期望收益率：1()i it t

E r r n =∑ 第i 种股票的方差： 21()(())1i it i t

D r r

E r n =--∑ 得到每种股票收益率的期望()i E r 和方差()i D r 后，引入一个变异系数i μ，以此来评价第i 支股票的投资价值。计算公式如下：

()=()

i i i D r E r μ=

第i 种股票的标准差第i 种股票的期望收益率 对于变异系数i μ，若0i μ<，则表示股票收益下降；若0i μ>且趋近于0，则表示股票收益大，风险小。

5.1.2模型的求解：

对于题目所给的50种股票数据，为保证时间统一，我们筛选出了重叠年份较多的2008至2012年，将2008年设为第一年，对其数据按照上述模型进行了计算和分析。为保证能产生一定的收益，我们以期望收益率()10%i E r >为指标进行了一次筛选，再对剩余的股票进行变异系数的计算，得到如下图所示的结果：

表1 筛选后剩余股票的数据处理

股票 期望收益率 标准差

变异系数 600549 厦门钨业 0.553920185 0.845960603 1.527224727 600010 包钢股份 0.186859043 0.378870691

2.027574819 600256 广汇能源 0.354929710 0.792631684

2.233207480 601318 中国平安 0.223171254 0.498972026

2.235825703 600887 伊利股份 0.461606477 1.054092526

2.283530621 600058 五矿发展 0.195193458 0.468093211

2.398098870 601601 中国太保 0.234766278 0.582968568

2.483186989 600111 包钢稀土 0.598592390 1.525569207

2.548594391 601699 潞安环能 0.559715907 1.436426823

2.566349830 600188 兖州煤业 0.300769226 0.817355911

2.717551665 600362 江西铜业 0.481858481 1.342853055

2.786820421 600348 阳泉煤业 0.602838228 1.837582651

3.048218519 600015 华夏银行 0.101043709 0.324789557

3.214347134 600104 上汽集团 0.536105008 1.825373591

3.404880691 601088 中国神华 0.132737595 0.464445364

3.498973764 601166 兴业银行 0.246563801 0.885074984 3.589638791

最

后得到最有投资价值的股票为厦门钨业（600549），其期望收益率较大，为55.39%，股票波动即方差较小，为0.7156，即所得变异系数最小，为1.5272。我们对厦门钨业这一种股票的估值报告见附录一。

5.2问题二：

5.2.1模型的建立：

按照问题一建立的模型，我们继续以变异系数为标准选取数值最小的10种股票作为所要投资的对象进行预测。

由于一次和二次指数平滑值均存在滞后现象，为提高预测精度，不直接将二

次指数作为下一期的预测值，而是考虑建立二次指数平滑预测模型[1]进行预测。

设预测对象第t 期的观测值为t y ，并设原始时间序列为{}n y y y Λ,,21，令第t 期的一次指数平滑值为)1(t S ，二次平滑指数值为)2(t S ，则一次指数平滑值的递推

公式为

)1(1

)1()1(--+=t t t S y S αα 二次指数平滑值的递推公式为

)2(1)1()2()1(--+=t t t S S S ααα

两式中：α为指数平滑系数，且0≤α≤1。

则二次平滑预测模型的形式为

T b a y

n n T n +=+? 式中：)2()1(2n

n n S S a -=； ][1)2()1(n n n S S b --=α

α； T n y

+?为n 期之后第T 期的预测值； n 为原始时间序列的最后一期。

5.2.2模型的求解：

（1）为减小误差，我们选取20112012:年的数据进行预测，将第t 月最后一天的收盘价作为原始时间序列中的t y 。由于影响股市的因素复杂多变，数据波

动很大，为使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上时间序列数据的变化，

取平滑系数 6.0=α；

令初始值 1)2(0)1(0y S S ==。

由于数据过多，我们选厦门钨业作为代表，列出解答过程，对于剩余的XXX 则直接给出涨幅。

分别对原始时间序列计算一次指数平滑值和二次指数平滑值，将各期的一次指数平滑值和二次指数平滑值填入下表中。

600837 海通证券 0.195349414 0.708096392 3.624768450 601169 北京银行 0.132084453 0.600292065 4.544759435 601898 中煤能源 0.103996129 0.534448488 5.139119063 600019 宝钢股份 0.100299856 0.547292858

5.456566710 600123 兰花科创 0.245838736 1.343176889 5.463650323

表2 2011至2012厦门钨业年收盘价的二次指数平滑值

期数

收盘价 一次指数平滑值 二次指数平滑值 1

40.18 40.18 40.18 2

47.77 44.73 42.91 3

51.52 48.81 46.45 4

42.72 45.15 45.67 5

42.72 43.69 44.48 6

41.43 42.34 43.20 7

42.8 42.61 42.85 8

45.48 44.33 43.74 9

39.79 41.61 42.46 10

38.12 39.51 40.69 11

35.41 37.05 38.51 12

29.67 32.62 34.98 13

35.28 34.22 34.52 14

37.76 36.34 35.61 15

43.61 40.70 38.67 16

42.06 41.52 40.38 17

48.33 45.60 43.51 18

43.91 44.59 44.16 19

35.15 38.93 41.02 20

39.36 39.19 39.92 21

40.39 39.91 39.91 22

34.29 36.54 37.89 23

29.24 32.16 34.45 24 38.98 36.25 35.53

（2）利用最后一期的一次指数平滑值和二次指数平滑值计算n a 、n b 的值。

97

.3653.3525.3622)2(24)1(2424=-?=-=S S a 081.1)53.3525.36(6

.016.0)(1)2(24)1(2424=--=--=S S b αα （3）将n a 、n b 的值代入

T b a y

n n T n +=+?, 得二次指数平滑预测模型为

T T b a y

T 081.197.36?242424+=+=+ （4）将预测期与原始数列最后一期（第24期）的时间间隔T 代入预测模型，求得预测期预测对象的趋势值。