2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

（5月5日8:00至10:00）

一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．

1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．

2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．

3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．

4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．

5．若三角形ABC 的三边A B ，B C ，A C 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．

6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．

7．已知2

()942013f x x x =-+，则()60

30

()()n f n f n =+=∑

．

8．设x ，[]0,2y π∈，且满足1

2s i n c o s

s i n c o s 2

x y x y ++

=-，则x y +的最大值

为 ．

9．已知正四面体A B C D 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面D AB 、

D B C 、D C A 的距离成等差数列，则P 到面D C A 距离的最大值是 ．

10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平

方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完

全平方数，小王现在的年龄是 ．

二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分． 11．设k 为实数，06k <<，椭圆2

2

1()

:

19

x k E y -+=与椭圆2

2

2:

19

x

E y +=交于点A 和

C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为

D （如图），若四边形A B C D 是正方形，求实

数k ．

12．如图，梯形A B C D 中，B 、D 关于对角线A C 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于

对角线B D 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．

13．设实数a ，b 满足1012

a b ≤≤≤≤．证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-．

14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰

梯形的顶点．