河北省大名县第一中学2021-2022高二数学10月月考试题

河北省大名县第一中学2021-2022高二数学10月月考试题

考试时间：120分钟；满分：150分

一、单选题（每小题5分，共12小题）

1．若回归直线的方程为?2 1.5y

x =-，则变量x 增加一个单位时 （ ） A ．y 平均增加1．5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1．5个单位

D ．y 平均减少2个单位

2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ). A ．至少有1个白球；都是白球 B ．至少有1个白球；至少有一个红球 C ．恰有一个白球；恰有2个白球 D ．至少有一个白球；都是红球 3．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为

，则

（ ）

A.

B.

C.

D.

4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 A ．

45 B ．35 C ．2

5 D ．15

5．“21x >”是“24x -<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．既不充分也不必要条件

D ．必要不充分条件

6．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．9a ≤

B ．8a ≥

C ．9a ≥

D ．10a ≥

7．已知命题:p x R ?∈,210x x -+>，则p ?（ ） A ．x R ?∈，210x x -+≤ B ．x R ?∈，210x x -+≤ C ．x R ?∈，210x x -+>

D ．x R ?∈，210x x -+≥

8．已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．抛物线2

18

y x =的准线方程是（） A ．2y =-

B ．12y =

C ．132

x =

D ．132

y =

10．双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>经过点(3,2)，且离心率为3，则它的虚轴长是（）

A ．45

B ．25

C ．2

D ．4

11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 A ．

13

B ．

33

C ．

12

D ．

32

12．如图，12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C

交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A.23y x =±

B.22y x =±

C.3y x =±

D.2y x =

二、填空题（每小题5分，共4个小题）

13．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =__________．

14．“m A ?∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合

A =_________；

15．已知抛物线()2

:20C y px p =>上一点到焦点F 和点()4,0的距离之和的最小值为5，

则此抛物线方程为__________．

16．已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，直线

()3y x c =-- 与双曲线的一个交点P 满足21122PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率为

_____．

三、解答题（17题10分，其余每题12分）

17、设:p 实数x 满足22540x ax a -+<（其中0a >），:q 实数x 满足25x <≤。 （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q ?是p ?的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。 18、节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以

分

组的频率分布直方图如图．

求直方图中x 的值；求月平均用电量的众数和中位数；

估计用电量落在

中的概率是多少？

19．（本小题12分）已知离心率为2

2

的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)M ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(1,0)作斜率为2直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的长． 20、已知抛物线2

2y x = 与直线:2l x ty =+ 相交于A 、B 两点，点O 是坐标原点. （Ⅰ）求证：OA ⊥OB ；

（Ⅱ）当△OAB 的面积等于10t 的值.

21、“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的

“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：

（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明

y 与x 之间具有线性相关关系）；

（2）根据（1）的判断结果，建立y 与x 之间的回归方程，并预测当24x =时，对应的利润?y 为多少（?,,??b

a y 精确到0.1）. 附参考公式：回归方程中???

y

bx a =+中?b

和?a 最小二乘估计分别为 12

2

1

??,n

i i i n i i x y nxy b a

y bx x nx

==-=

=--∑∑

，相关系数n

x y nxy

r

-=

参考数据：

8

8

2

1

1

241,6i i i

i i x y x ====≈=∑∑.

22、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，两焦点与短轴的一个端点的连线

. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设与圆O ：2

2

3

4

x y +=

相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值。

高二月考数学试题参考答案

1．C 由于回归直线方程为 1.52?y

x =-+，其斜率为 1.5-，故变量x 增加一个单位时，y 平均减少1.5个单位.故选C. 2．C 3．D

由表格中的数据可得，

，

由于回归直线过点，所以，

，解得

，故选：D.

4．D 【解析】

试题分析：据题意从两个集合中随机选取两个数，共有5315?=种可能，其中满足b a >的为()()()1,21,32,3共3种，有古典概型，可知所求概率为31

155

=.故本题选D . 考点：古典概型 5．D 【详解】

由题意，因为21x >，得21x -<-，不可以推出24x -<-； 但24x -<-时，能推出24x >，因此可以能推出21x >， 所以“21x >”是“24x -<-”的必要不充分条件.故选D. 6．B

命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题

9a ∴≥

根据选项满足是9a ≥的必要不充分条件只有8a ≥，故答案选B 。 7．A

由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ?∈,210x x -+>， 则:p ?x R ?∈，210x x -+≤，故选A ． 8．B 【解析】因为

，所以命题为真；

命题为

假，所以为真，选B.

9【答案】A

解：根据题意，抛物线的方程为：2

18

y x =

，则其标准方程为：28x y =， 其焦点在y 轴正半轴上，且4p =，则其准线方程为：2y =-； 故选：A ． 10．A 【详解】

将点

)

3,2代入双曲线方程及离心率为3得222

223413a b c

a c a

b ?-=???=??=+???

，解得25b =245b = A.

11【答案】D

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，2a b ∴=，(

)2

22

4a a c

=-,2

234a

c =,椭圆的离心率

3

2

c e a =

=

，故选D. 考点：1、椭圆的离心率；2、椭圆的简单性质. 12．A 【详解】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，

由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =

+=13c ?=

因为2521a x a =-=?=，所以3b = 所以双曲线的渐近线方程为23b

y x x a

=±=±. 13．63 【解析】

21600

63.1800

n n =∴= 14．{|10}m m m <≠且 或者为其子集（答案不唯一） 【详解】

方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ?=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且. 15【答案】2

4y x =

根据抛物线的定义，P 到焦点与点()4,0的距离之和等于点P 到准线的距离与到点()4,0的距离之和，其最小值为点()4,0到准线的距离，即

452

p

+=，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =.

16．31+ 【详解】

解：如图所示，直线2PF 的斜率3k =-，则对应直线的倾斜角为120，即2160PF F ∠=，

则2112260PF F PF F ∠=∠=，1230PF F ∠=，即1290F PF ∠=，

2PF c ∴= ，13PF c =，由双曲线的定义可得：122PF PF a -=，即32c c a -=，即(

)2

31312

c e a

+==

=

+ ，

即双曲线的离心率31e =+ ，故答案为：31+.

17．

（1）若1a =，则:p 14x <<，又:q 25x <≤，

因为p q ∧为真，所以p 真，q 真同时成立，所以14,

25,x x <

解得：24x <<，

所以实数x 的取值范围24x <<. （2）:p 4a x a <<，:q 25x <≤，

因为q ?是p ?的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 所以q 中变量x 的取值集合是p 中变量x 的取值集合的真子集， 所以2,5

245,4

a a a ≤??<≤?>?.

18．

由频率分布直方图的性质可得，

，

解得x=0.0075．

由频率分布直方图可知，最高矩形的数据组为，

故众数为

．

的频率之和为

，

的频率之和为

，

∴中位数在设中位数为y ，

则

解得

故中位数为224．

由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是

．

19． 【详解】 （1）2

2

c e a =

=

，又222a b c =+， 2

2

2a b ∴=，即椭圆方程是22

2212x y b b

+=，

代入点)

2,1M

,

可得22

2,4b a ==，

∴椭圆方程是22

142

x y +=.

（2）设()()1122,,,A x y B x y

直线方程是()21y x =-，联立椭圆方程

()

2

2

2114

2y x x y ?=-??+=?? 291640x x ?-+= 1212164

,99

x x x x +=

=

12AB x =-=

代入可得AB =20．

（I ）由22

22402y x y ty x ty ?=?--=?=+?

，设()11 , A x y ，()22, B x y 则12122–4y y t y y +=??=?.

∴ 22

2

12121212(4)(4)044

y y OA OB x x y y y y →

→

-?=+=+=-+=

∴ OA OB →→

⊥ （II ）设:2l x ty =+与x 轴交于E , 则() 2 , 0 E ，∴2OE =，

12121

2

()OAB

S

OE y y y y =

+=-==

解得：t =21．

（1）由题意得6,4x y ==，

又

8

1

6i i i x y ==≈=∑，

所

以

()()

8

8

8241864

0.990.81

8.256

x x y y x y xy

r ----??=

=

≈

≈>?

，

所以y 与x 之间具有线性相关关系.

（2）因为8

18222182418640.7356868?i i i i i x y xy b x x ==--??==≈-?-∑∑， 40.760??.2a y bx =-≈-?=-， 所以回归直线方程为0.7.2?0y

x =-， 当24x =时， 0.7240. 6.?216y

=?-=. 22．

解：（I

）由题设：

c bc a == 解得2

2

3,1a b ==

∴椭圆C 的方程为2

213

x y +=

（Ⅱ）.设()()1122,x ,A x y B y 、 1.当AB ⊥x

轴时，AB =

2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+

=

()2

2314

m k =+ 把y kx m =+代入椭圆方程消去y ， 整理得(

)

2

22

316330k x kmx m +++-=,

有()

2121222

316,3131

m km x x x x k k --+==++ ()()()

()

(

)2222

2

2

2

1

2

222121361k 13131m k m AB x x k k k ??-??

=+-=+-

??++?

?

,

()(

)()

()()

()

222

2

22

2

2

2

121313191

31

31

k k m k

k k

k

++-++=

=++,

()242

221212

330196196k k k k k k =+=+≠++++, 12

34236

≤+

=?+,

当且仅当2

219,k k =

，即3

k =±时等号成立. 当0k =

时，AB =

综上所述max 2AB =，从而△AOB

面积的最大值为2

【点睛】

本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．