2020届高考数学模拟考试试卷及答案(理科)(一)

2020届高考数学模拟考试试卷及答案（理科）

一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2

2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）

A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}

3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．

4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53

5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）

A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3

6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）

A．4 B．8 C．12 D．16

7．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A． B．C．2D．

8．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

9．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）

学科数

学

信

息

物

理

化

学

生

物

北

大

42541

清

华

21042

A． B．C． D．

10．设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）

A．5 B．5+4C．7 D．9

11．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）

A．[，]B．[0，]C．[，]D．[1，]

12．设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：

①f（x，x）=x；

②f（x，y）=f（y，x）；

③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；

则f（12，16）+f（16，12）的值是（）

A．24 B．48 C．64 D．96

二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13．已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a 的值为．

14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．

15．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．

16．若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；

（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．

18．已知函数

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心；

（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．

19．国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同．某人投中靶面内阴影区域记为

“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图象）．每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（Ⅰ）求某队员投掷一次“成功”的概率；

（Ⅱ）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．

20．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AB=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．

21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．

22．已知函数f（x）=a（x+1）2﹣4lnx，a∈R．

（Ⅰ）若a=，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．

【解答】解：∵=为纯虚数，

∴，解得：a=1．

故选：A．

2．集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B=（）

A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B=[﹣2，1]，

∵A={0，1，2，3，4}，

∴A∩B={0，1}，

3．已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（）A．B．C．D．

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值．

【解答】解：∵且∥，

∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4

由此可得，

∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4

故选：B

4．设a1=2，数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，则a4=（）A．80 B．81 C．54 D．53

【考点】8G：等比数列的性质；8H：数列递推式．

【分析】先利用数列{1+a n}是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列{1+a n}的通项，再把n=4代入即可求出结论．

【解答】解：因为数列{1+a n}是以3为公比的等比数列，且a1=2

所以其首项为1+a1=3．

其通项为：1+a n=（1+a1）×3n﹣1=3n．

当n=4时，1+a4=34=81．

∴a4=80．

5．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）

A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm3

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．

【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，

其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．

故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．

故选：B．

6．执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线

上可以填入的最大整数是（）

A．4 B．8 C．12 D．16

【考点】EF：程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

i=1

S=0

满足条件，S=1，i=3

满足条件，S=4，i=5

满足条件，S=9，i=7

满足条件，S=16，i=9

由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，

则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，

故选：D．

7．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A． B．C．2D．

【考点】JE：直线和圆的方程的应用．

【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．

【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB 的中点，

根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，

则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=

故选D．

8．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．

【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；

（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，

则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，

∵m∥α，m?γ，α∩γ=a，

∴m∥a，

同理可得：m∥b．

∴a∥b，∵b?β，a?β，

∴a∥β，

∵α∩β=l，a?α，∴a∥l，

∴l∥m．

故C正确．

（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，

则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC?平面ABCD，故D 错误．

故选：C．

9．高考将至，凭借在五大学科竞赛的卓越表现，我校共有25人获得北大、清华保送及降分录取优惠政策，具体人数如右下表．若随机从这25人中任选2人做经验交流，在已知恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的条件下，至少有1人是参加数学竞赛的概率为（）

学科数

学

信

息

物

理

化

学

生

物

北大42541

21042

清

华

A． B．C． D．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．

【分析】先求出恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的种数，再分类求出至少有1人是参加数学竞赛种数，根据概率公式计算即可得到．

【解答】解：其中北大保送生有4+2+5+4+1=16人，清华保送生有2+1+0+4+2=9人，

恰有1人获得北大优惠政策而另1人获得清华优惠政策的有C161C91=144种，

故至少有1人是参加数学竞赛种数为C41C71+C21C121+C21C41=28+24+8=60种，

故至少有1人是参加数学竞赛的概率P==．

故选：A．

10．设F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）

A．5 B．5+4C．7 D．9

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加求得答案．

【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），

∴由双曲线定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a=4，

而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，

两式相加得|PF|+|PA|≥9，

当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．

则|PF|+|PA|的最小值为9．

故选：D．

11．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）

A．[，]B．[0，]C．[，]D．[1，]

【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．

【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），

∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），

即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数．

∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，

∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，

由f′（x）=1+cosx≥0，∴函数单调递增．

∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），

即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，

∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵当y≥1时，=1+，

∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．

而的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．

设k=，（k＞0），则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．

当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d===1

即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．

当直线kx﹣y+k=0经过点B（3，1）时，直线斜率最小，

此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，

∴≤k≤，故=1+=1+k的取值范围是[，]．

故选：A

12．设函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：

①f（x，x）=x；

②f（x，y）=f（y，x）；

③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）；

则f（12，16）+f（16，12）的值是（）

A．24 B．48 C．64 D．96

【考点】3P：抽象函数及其应用．

【分析】由函数性质的第3条，可得f（x，x+y）=f（x，y），从而得到f（12，16）+f（16，12）=2f（12，16）=2f（12，12+4）=2×

×f（12，12），再利用①解．

【解答】解：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），

∴f（x，x+y）=f（x，y），

f（12，16）+f（16，12）

=2f（12，16）

=2f（12，12+4）

=2××f（12，12）

=2×4×12=96．

故选：D

二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.

13．已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为1．【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程：x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣，再结合题意准线方程为，比较系数可

得a=1．

【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y，

∴2p=，可得=，焦点坐标为F（0，），准线方程：y=﹣

再根据题意，准线方程为，

∴﹣=﹣，可得a=1

故答案为：1

14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如示，则φ的值为．

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，0）代入，结合φ的范围，求φ值即可【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω==2

∴y=sin（2x+φ）

代入（，0），得sin（+φ）=0

∴+φ=π+2kπ，k∈Z

∵0＜φ≤

∴φ=

故答案为

15．已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形最小值的正弦值是．

【考点】8F：等差数列的性质．

【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，求出a=c+4和b=c+2，由边角关系和条件求出sinA，求出A=60°或120°，再判断A的值，利用余弦定理能求出三边长，由余弦定理和平方关系求出这个三角形最小值的正弦值．

【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，

则a﹣b=b﹣c=2，可得b=c+2，a=c+4，

∴A＞B＞C，

∵最大角的正弦值为，∴sinA=，

由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，

当A=60°时，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；

即A=120°，则cosA===，

化简得，解得c=3，

∴b=c+2=5，a=c+4=7，

∴cosC===，

又C∈（0°，180°），则sinC==，

∴这个三角形最小值的正弦值是，

故答案为：．

16．若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【考点】KE：曲线与方程．

【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y ﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．

【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，

∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，

∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，

即，或；

画出它们表示的平面区域，如图所示．

a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，

由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，

∵d min=

那么a2+b2的最小值为：d2=．

由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任