解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积

——代几结合，突破面积及点的存在性问题

◆类型一直接利用面积公式求图形的面积

1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()

A．2 B．4 C．8 D．6

第1题图

第2题图

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(

－4，3)，则三角形ABC的面积为________．

◆类型二利用分割法求图形的面积

3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．

4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】

(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；

(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？

(3)求多边形ABCDEF的面积．

◆类型三利用补形法求图形的面积

5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】

(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；

(2)求出此三角形的面积．

◆

类型四与图形面积相关的点的存在性问题

6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.

(1)求点B的坐标；

(2)求三角形ABC的面积；

(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析

1．B 2.

3．11解析：过点B作BD⊥x轴于D.∵A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，∴OC＝2，BD ＝4，OD＝3，OA＝4，∴AD＝OA－OD＝1，则S四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝

2×(4＋2)×3＋

2×1×4＝9＋2＝11.

4．解：(1)A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)．

(2)线段BC平行于x轴(或线段BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x轴(或线段CE平行于y轴)．

(3)S多边形ABCDEF＝S三角形ABF＋S长方形BCEF＋S三角形CDE＝

2×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋

2×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.

5．解：(1)A(3，3)，B(－2，－2)，C(4，－3)．

(2)如图，分别过点A，B，C作坐标轴的平行线，交点分别为D，E，F.S三角形ABC＝S正方形DECF

－S三角形BEC－S三角形ADB－S三角形AFC＝6×6－

2×6×1－

2×5×5－

2×6×1＝

6．解：(1)点B在点A的右边时，－1＋3＝2，点B在点A的左边时，－1－3＝－4，所以点B的坐标为(2，0)或(－4，0)．

(2)S三角形ABC＝

2×3×4＝6.

(3)存在这样的点P.设点P到x轴的距离为h，则

2×3h＝10，解得h＝

3.点P在y轴正半轴时，P????

0，

3，点P在y轴负半轴时，P?

0，－

3，综上所述，点P的坐标为?

0，

3或?

0，－

2020年八年级数学平面直角坐标系(提高)知识讲解

平面直角坐标系（提高）【学习目标】 1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系. 2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征. 3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想. 【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1.平面直角坐标系平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O 是原点(如图1). 要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P 分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.

要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面 1.象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2.坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 要点四、点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；

1.解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积

解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积 ——代几结合，突破面积及点的存在性问题 ◆类型一直接利用面积公式求图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是() A．2 B．4 C．8 D．6 第1题图第2题图 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC 的面积为________． ◆类型二利用分割法求图形的面积 3．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(3，2)，C(－2，3)，D(－3，0)．求四边形ABCD的面积． ◆类型三利用补形法求图形的面积 4．如图，已知△ABC，点A(－2，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求△ABC的面积． ◆类型四探究平面直角坐标系中与面积相关的点的存在性

5．如图，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)． (1)求S 四边形ABCO ； (2)连接AC ，求S △ABC ； (3)在x 轴上是否存在一点P ，使S △P AB ＝10？若存在，请求点P 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A (0，a )，B (b ，0)，C (b ，c )三点，其中a 、b 、c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0和(c －4)2≤0. (1)求a 、b 、c 的值； (2)如果在第二象限内有一点P ? ???m ，12，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析 1．B 2.7.5 3．解：分别过C 作CE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥x 轴于F .由题意，得DE ＝1，CE ＝3，BF ＝2，AF ＝1，EF ＝5.S 四边形ABCD ＝S △CDE ＋S 梯形CEFB ＋S △ABF ＝12×1×3＋12×(3＋2)×5＋12×1×2＝15. 4．解：过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，过点C 分别作x 轴、y 轴的垂线，交于点D ，E ，F 三点，如图所示．由题意，得CD ＝EF ＝5，DE ＝CF ＝7，AD ＝3，CD ＝5，AE ＝4，BE ＝3，BF ＝2. 方法一：S △ABC ＝S 长方形CDEF －S △ACD －S △ABE －S △BCF ＝CD ·DE －12AD ·CD －12AE ·BE －12 BF ·CF ＝5×7－12×3×5－12×4×3－12×2×7＝292 . 方法二：S △ABC ＝S 梯形BCDE －S △ACD －S △ABE ＝12(BE ＋CD )·DE －12AD ·CD －12AE ·BE ＝12 ×(3＋5)×7－12×3×5－12×4×3＝292 . 方法三：S △ABC ＝S 梯形CAEF －S △ABE －S △BCF ＝12(AE ＋CF )·EF －12AE ·BE －12BF ·CF ＝12×(4＋7)×5－12×4×3－12×2×7＝292 . 方法点拨：本题运用了补形法，对于平面直角坐标系中的三角形，可以通过作垂线，运用补形法将三角形补形，将它转化为便于计算面积的图形，通过这些图形面积的和差关系来求原三角形的面积． 5．解：(1)过点B 作BD ⊥OA 于点D .由题意，得OC ＝2，OD ＝3，AD ＝1，BD ＝4.S 四边形ABCO ＝S 梯形BCOD ＋S △ABD ＝12×(2＋4)×3＋12 ×1×4＝11； (2)S △ABC ＝S 四边形ABCO －S △AOC ＝11－12 ×2×4＝7； (3)存在．设点P 的坐标为(x ，0)，则AP ＝|4－x |，由题意，得12 ×4×|4－x |＝10，∴|4－x |＝5，∴x ＝9或x ＝－1，∴点P 的坐标为(9，0)或(－1，0)． 6．解：(1)∵|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4； (2)∵P ? ???m ，12在第二象限，∴m <0.S 四边形ABOP ＝S △ABO ＋S △AOP ＝12OA ·OB ＋12OA ·|m |＝12 ×2×3＋12×2×(－m )＝3－m ；

初一数学平面直角坐标系讲义

第六章平面直角坐标系一平面直角坐标系. 1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。要求：画平面直角坐标系时，χ轴、y 轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。 1 2 3 -1 -2 -3 y x 1 2 3 -1 -2 -3 - 4 O 在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系.

二．各个象限内点的特征: 第一象限：（＋，＋）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0；第二象限：（－，＋）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＞0；第三象限：（－，－）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＜0；第四象限：（＋，－）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＜0；练习 1.已知点A(a,0)在x 轴正半轴上,点B(0,b)在y 轴负半轴上,那么点C(-a, b)在第_____象限. 2..如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第_____象限 3.若点A 的坐标为(a2+1, -2–b2),则点A 在第____ 象限. 第四象限 1 2 3 -1 -2 -3 y x 1 2 3 -1 -2 -3 - 4 O 若点P （x ，y ）在第一象限，则 x ＞ 0，y ＞ 0 若点P （x ，y ）在第二象限，则 x ＜ 0，y ＞ 0 若点P （x ，y ）在第三象限，则 x ＜ 0，y ＜ 0 若点P （x ，y ）在第四象限，则 x ＞ 0，y ＜ 0 第一象限第三象限第二象限

专题：平面直角坐标系内图形面积的计算

专题：平面直角坐标系内图形面积的计算一．本节目标： 1．复习平面直角坐标系的相关内容，学会在平面直角坐标系中计算简单的图形的面积； 2．学会作适当的辅助线，利用“割补法”计算较为复杂的图形面积，体会转化思想和数形结合思想的应用．二．复习巩固： 1．坐标轴上两点间距离： 1）x轴上有 A、 B两点， A点坐标为（4， 0）， B点坐标为（-2，0），则AB = 2）平面内有 A、B两点，A点坐标为（4，-1），B点坐标为（-2，-1），则 A AB = ．3）平面内有 A、 B两点， A点坐标为（a， c）， B点坐标为（b， c），则AB = ． 2．点到坐标轴的距离：（1）点（ 2，3）到 x 轴的距离是，到 y 轴的距离是．（2）点 P（x，y）到 x轴的距离是 6，到 y轴的距离是 3,则 P点坐标为（3）点 P（x，y）到 x 轴的距离是，到 y轴的距离是．三．合作探究：

（一）求三角形的面积：例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（2， 3），B（4，0），C（-2，0），求△ ABC的面积．

变式：若△ABC的的三个顶点的坐标分别是 A（2，3），B（m， 0）， C（-2，0），且面积等于9，则 m 的值为．练习：若△ABC的三个顶点的坐标分别是 A（2， 3）， B（4， -1）， C（-2， -1），则△ABC的面积为．总结： 1.三角形的哪条边落在（或平行于），就选哪条边作为底边； 2.由于距离计算中带有，要关注问题的多解性 . 例2 已知△ABC三个顶点的坐标分别是 A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3）．求△ABC的面积．

平面直角坐标系中的面积计算(专题)

平面直角坐标系中的面积计算一、例1：平面直角坐标系中，A(4，-4)，B(1，0)，C(6，0). 求△ABC的面积. 例2：平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积. x 变式1.若A、B两点的坐标和△ABC的面积均保持不变，且C点坐标为（2，y）,求y. 变式2.若A、B两点的坐标保持不变，△ABC的面积为9，且C点坐标为(x，1),求x的值. 二、例3：平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(-2，-3)，C(2，1). 求△ABC的面积. x

三、变式1.保持A 、C 不动，改变点B 的位置：B (0，-3), 求△ABC 的面积. x y –1–2–3–4 1 23–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2,1） B x y –1–2–3–4 1 2 3–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2,1） B x y –1–2–3–4 1 2 3–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2,1） B 变式2.保持A 、C 不动，再次改变点B 的位置：B (3，-3), 求△ABC 的面积. x y –1–2–3 1 23–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2，1) B （3，-3） x y –1–2–3 1 2 3–1 –2–31 2 3 4 O A (-2,3） C (2，1) B （3，-3）例4：在平面直角坐标系中，已知A(-5, 4)，B(-2, -2)，C(0, 2).若点P 在坐标y 轴上，且△PBC 和△ABC 的面积相等.求点P 的坐标.

平面直角坐标系专题

平面直角坐标系专题有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记做（a,b ）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x 轴或横轴；竖直的数轴称为y 轴或纵轴；两坐标轴的交点为坐标原点。坐标：对于平面内任一点P ，过P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在x 轴，y 轴上，垂足所对应的数a,b 分别叫点P 的横坐标和纵坐标。有序数对（a ，b ）称为点P 的坐标。象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。注意：坐标轴上的点不属于任何象限。点P 到轴的距离：点p （x ，y ）到x 轴的距离为，到y 轴的距离为。六类特殊点的坐标特征 ①象限点②轴上点③平行于轴的直线上点④象限角平分线上点⑤到两轴距离相等的点⑥对称点例题与习题： 1．已知点P(3a-8，a-1). (1) 点P 在x 轴上，则P 点坐标为；(2) 点P 在第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为； (3) Q 点坐标为（3，-6），并且直线PQ ∥x 轴，则P 点坐标为 . 2．如图的棋盘中，若“帅” 位于点（1，－2）上， “相”位于点（3，－2）上，则“炮”位于点___ 上. 3.如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可表示为。 4.过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( ) A 、经过原点 B 、平行于y 轴 C 、平行于x 轴 D 、以上说法都不对 5．点)1,2(A 关于x 轴的对称点'A 的坐标是；点)3,2(B 关于y 轴的对称点'B 的坐标是；点)2,1( C 关于坐标原点的对称点'C 的坐标是 . A B C 第3题

初中数学平面直角坐标系教案

初中数学平面直角坐标系教案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

第七章平面直角坐标系．1有序数对教学目标：1、理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法 2、培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣. 教学重点:有序数对及平面内确定点的方法. 教学难点:利用有序数对表示平面内的点. 教学过程一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬°，东经°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。（2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗对于下面这个根据教师平面图写的通知，你明白它的意思吗“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗（2，4）和（4，2）在同一位置。（3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。让学生讨论、交流后得到以下共识：（1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。

平面直角坐标系中的面积问题

复习：求下列条件下线段AB 的长度. 1）A(－6，0)，B(－2，0) 2）A(－3，0)，B(2，0) 3）A(1，0)，B(5，0). 4）A(x 1，0)，B(x 2，0). 5）A(0，y 1)，B(0 ，y 2 ). 一、有一边在坐标轴上例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、有一边与坐标轴平行

例2 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则 D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542 1=??. 三、三边均不与坐标轴平行

平面直角坐标系复习专题

平面直角坐标系一、本章的主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a ，b）注意先后顺序（二）平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形； 2、构成坐标系的各种名称 3、各种特殊点的坐标特点（三）坐标方法的简单应用 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。四、特殊位置点的特殊坐标：五、坐标平面内的点到坐标轴的距离点到x轴的距离为纵坐标的绝对值点到y轴的距离为纵坐标的绝对值如P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|

六、对称点的坐标特征：点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标变为相反数；点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标变为相反数；点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都变为相反数；一、判断题（1）坐标平面上的点与全体实数一一对应（）（2）横坐标为0的点在轴上（）（3）纵坐标小于0的点一定在轴下方（）（4）到轴、轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（）（5）若直线轴，则上的点横坐标一定相同（）（6）若，则点P （）在第二或第三象限（）（7）若0≥a b ，则点P （）在轴或第一、三象限（）二、选择题 1、若点P ()n m ,在第二象限，则点Q ()n m --,在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（） A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5） C. （-3，5） D. （-3，-5） 3、如果点M 到x 轴和y 轴的距离相等，则点M 横、纵坐标的关系是（） A ．相等 B ．互为相反数 C ．互为倒数 D ．相等或互为相反数 4、在平面直角坐标系中，点() 2,12+-m 一定在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在 ( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 6、如右图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置

高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法

高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通

专题八平面直角坐标系中圆的综合题

专题八平面直角坐标系中圆的综合题 1．如图，⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_______． 2．如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12 x 2的图象，则阴影部分的面积是_______． 3．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6 cm ，宽AD ＝3 cm ．O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为AO 与OB ．抛物线y ＝ax 2经过C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是_______cm 2． 4．如图，C 是⊙O 优弧ACB 上的中点，弦AB ＝6 cm ，E 为OC 上任意一点，动点F 从点 A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B 方向向点B 匀速运动，若y ＝AE 2－EF 2，则y 与动点F 的运动时间x (0≤x ≤6)秒的函数关系式为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x 经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为 (4－22)的圆内切于△ABC ，则k 的值为_______． 6．如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝ 33 x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝_______． 7．如图，直径为5的⊙M 的圆心在x 轴正半轴上，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，且CD ＝4，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点，顶点为N ． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； (2)直线CN 与x 轴交于点E ，试判断直线CN 与⊙M 的位置关系，并说明理由； (3)设Q 是(1)中所求抛物线对称轴上的一点，试问在 (1)中所求抛物线上是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(完整版)八年级数学《平面直角坐标系》经典例题

考点1：考点的坐标与象限的关系知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下：（特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在面直角坐标中，点M (－2，3)在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、在平面直角坐标系中，点P (－2，2x ＋1)所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、若点P （a ，a -2）在第四象限，则a 的取值范围是（）． A ．-2＜a ＜0 B ．0＜a ＜2 C ．a ＞2 D ．a ＜0 4、点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（） A ．x 轴正半轴上 B ．x 轴负半轴上 C ．y 轴正半轴上 D ．y 轴负半轴上 5、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，在第四象限，则实数x 的取值范围是． 7、对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点 x 轴上的点纵坐标为0, y 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0） 1、点P （m+3，m+1）在x 轴上，则P 点坐标为（） A ．（0，-2） B ．（2，0） C ．（4，0） D ．（0，-4） 2、已知点P (m ，2m －1)在y 轴上，则P 点的坐标是。考点3：考对称点的坐标知识解析： 1、关于x 轴对称： A （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为（a ，-b ）。 2、关于y 轴对称： A （a ，b ）关于y 轴对称的点的坐标为（-a ， b ）。

平面直角坐标系与几何图形相结合

平面直角坐标系与几何图形相结合扣庄乡陈官营中学田海凤教学目标：（一）知识与技能：使学生进一步复习勾股定理、等腰三角形和平面直角坐标系的基础知识，通过知识的相互联系发展学生的基本技能，发展学生思维的灵活性. （二）过程与方法：通过学生的自主学习，合作探究等活动，让学生去感受和体会思考问题的正确的思路和方法，建立知识间的相互联系. （三）情感态度与价值观：体会事物间的相互作用和相互联系. 重点：掌握基础知识发展学生的基本技能难点：提高学生的解决问题的能力教学方法：自主探究、合作学习. 教学手段：小篇子教学过程：一、复习回顾 1.在R t△ABC中，∠C=90°a=3,b=4,则C=___ 2.如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠B=46°,BC=4,AD⊥BC （1）∠C=______° （2）∠BAD=______° （3）BD=______. 3. 等腰△ABC中∠B=60°,则△ABC是____三角形. BC=4,AD⊥BC，则AD=_____ 4.点A（1，-4），则点A在第______象限 5.点B（-1，-2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标为_______；则点B关于y轴的对称点B〞的坐标为________；点B关于原点的对称点的坐标为_________;点B到x轴的距离是_______；点B到y轴的距离是_________ 二、例题讲解等边△ABC中AB=AC=BC=6,请建一个适当的平面直角坐标系，求个点坐标。教师总结：在坐标轴上只要有线段长就能求点的坐标，有坐标就会知道一些线段长，当点不在坐标轴上时，过点做两坐标轴的垂线，利用勾股定理也能求点的坐标。变形：如图9，等边△ABC两个顶点的坐A(-4,0),B(2,0) (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积变形:如图8，在平面直角坐标系中，Rt△CDO的直角边OD在x轴、的正半轴上，且CD=2，OD=1，将△CDO沿x轴向左平移1个单位再把所得图像绕点O按逆时针旋转90°得到Rt△AOB，，

平面直角坐标系经典练习题

@ 《平面直角坐标系》章节复习考点1：考点的坐标与象限的关系知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下：（特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在平面直角坐标中，点M (－2，3)在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 / 2、在平面直角坐标系中，点P (－2，＋1)所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（） A ．x 轴正半轴上 B ．x 轴负半轴上 C ．y 轴正半轴上 D ．y 轴负半轴上 4、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5、在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，在第四象限，则实数x 的取值范围是． 6、对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（） · A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点轴上的点纵坐标为0, 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0） 1、点P （m+3，m+1）在x 轴上，则P 点坐标为（） A ．（0，-2） B ．（2，0） C ．（4，0） D ．（0，-4） 2、已知点P (m ，2m －1)在y 轴上，则P 点的坐标是。：考点3：考对称点的坐标知识解析： 1、关于x 轴对称： A （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为（a ，-b ）。 2、关于y 轴对称： A （a ，b ）关于y 轴对称的点的坐标为（-a ， b ）。

高中数学平面直角坐标系完整教案

课题：平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：互动五步教学法教具：多媒体、实物投影仪复习及预习提纲： 1.平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2.坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1.平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2.坐标系的作用创设情境，设置疑问情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？分组讨论刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

(完整版)平面直角坐标系中的图形面积解题技巧教案

平面直角坐标系中图形面积的求法锦屏县第四中学七年级数学备课组授课班级：七（2）班授课教师：杨远生一、教学目标（1）知识与技能：掌握平面直角坐标系中不规则图形的求法。（2）过程与方法：让学生经历把“平面中的不规则图形转化为规则图形”的方式求出平面图形的面积的过程，体验图形结合思想，培养学生一题多解的能力。（3）情感、态度与价值观：发展学生分析处理数学问题的能力，培养学生合作探究的能力二、教学重点：在平面直角坐标系中几何图形面积的计算三、教学难点：把不规则图形分割或补形成规则图形面积的和与差。四、教学过程设计：（一）课前热身,激发兴趣，目标导入。 1.求出下列图形的面积 2.求线段的长（1）已知，A（0，-2），B(0,3),则AB 长为 .

（2）已知，A （-3，0），B （2,0),则AB 长为 . (3)已知，A （2，6），B （2,1)则AB 长为。（二）自学自研（完成导学案）（三）交流展示 1、交流：对学、合学、讨论或请教老师解决疑难问题，形成本小组统一的答案。 2、展示：分组进行展示导学案的以下内容：知识点一：在平面直角坐标系中直接求三角形的面积（1）（2）学生归纳，在平面直角坐标系中，三角形有一边在坐标 B A A B B

轴上（或平行于坐标轴），应选取坐标轴上的边（或平行于坐标轴上的边）作为三角形的底知识点二：在平面直角坐标系中用分割法求三角形的面积如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．知识点三：在平面直角坐标系中用补形法求三角形的面积在三角形ABC中，A、B、C三点坐标分别为A(-1,-2),B(6,2),C(1,3) 求三角形ABC的面积。（四）课堂总结归纳：（略）（五）、巩固练习、作业：练习：判断正误 (1)如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，则三角形ABC的面积为（）．C(1,3) A(-1,-2) B(6,2) A.16 B.32 C.24 D.12 x y o B A C

平面直角坐标系练习题

七年级数学《平面直角坐标系》练习题 A 卷?基础知识班级姓名得分一、选择题（4分×6=24分） 1．点A （4,3-）所在象限为（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2．点B （0,3-）在（）上 A 、在x 轴的正半轴上 B 、在x 轴的负半轴上 C 、在y 轴的正半轴上 D 、在y 轴的负半轴上 3．点C 在x 轴上方，y 轴左侧，距离x 轴2个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则点C 的坐标为（） A 、（3,2） B 、（3,2--） C 、（2,3-） D 、（2,3-） 4．若点P （x,y ）的坐标满足xy =0，则点P 的位置是（） A 、在x 轴上 B 、在y 轴上 C 、是坐标原点 D 、在x 轴上或在y 轴上 5．某同学的座位号为（4,2），那么该同学的所座位置是（） A 、第2排第4列 B 、第4排第2列 C 、第2列第4排 D 、不好确定 6．线段AB 两端点坐标分别为A （4,1-），B （1,4-），现将它向左平移4个单位长度，得到线段A 1B 1，则A 1、B 1的坐标分别为（） A 、 A 1（0,5-）， B 1（3,8--） B 、 A 1（7,3）， B 1（0，5） C 、 A 1（4,5-） B 1（-8，1） D 、 A 1（4,3） B 1（1,0）二、填空题（ 1分×50=50分） 7．分别写出数轴上点的坐标： A （） B （） C （） D （） E （） D C B -5 -4 -3 -2-1 012 3 4 5

八年级数学平面直角坐标系知识点归纳

x 平面直角坐标系知识点归纳 1.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 2.坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标； 3.x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限； 4.四个象限的点的坐标具有如下特征： 5.在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1）点P 到x 轴的距离为b ；（2）点P 到y 轴的距离为a ；（3）点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a 6.平行直线上的点的坐标特征： a)在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ； b)在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；

7.对称点的坐标特征： A)点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数； B)点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数； C)点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数； 8.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： A)若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； B)若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m - =，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上 X X P X -X

平面直角坐标系中面积及坐标的求法

平面直角坐标系中面积及坐标的求法 1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。 3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。

4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积； 6、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积12，求点C的坐标。

7、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB 与x 轴相交于点D ，求点D 的坐标。 8、已知，点A （-2，0）B （4，0）C （2，4）（1）求△ABC 的面积；（2）设P 为x 轴上一点，若12 APC PBC S S = ，试求点P 的坐标。 9、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =，求点P 的坐标 10、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，18ABC S =，（1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得1 2 APC ABC S S = 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。

平面直角坐标系练习题精选2

平面直角坐标系练习题精选（两套）平面直角坐标系练习题精选一（考试时间：100分钟满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分） 1、点A （3-，3）所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限参考答案：B ．考核的知识点：象限点坐标的特征 2、点P 位于y 轴左方，距y 轴3个单位长，位于x 轴上方，距x 轴四个单位长，点P 的坐标是（） A ．（3，4-） B ．（3-，4） C ．（4，3-） D ．（4-，3）参考答案：B ．考核的知识点：点坐标到坐标轴的距离与坐标之间的关系 3、若点P （x ，y ）的坐标满足xy =0，则点P 的位置是（） A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．是坐标原点 D ．在x 轴上或在y 轴上参考答案：D ．考核的知识点：坐标轴上点的特征 4、坐标平面下列各点中，在x 轴上的点是（） A ．（0，3） B ．（3-，0） C ．（1-，2） D ．（2-，3-）参考答案：B ．考核的知识点：坐标轴上点的特征 5、如果y x <0，),(y x Q 那么在（）象限 A ．第四 B ．第二 C ．第一、三 D ．第二、四参考答案：C ．考核的知识点：象限点坐标的特征 6、若点P （m ，n ）在第三象限，则点Q （m -，n -）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限参考答案：A ．考核的知识点：象限点坐标的特征

7、线段AB 两端点坐标分别为A （1-，4），B （4-，1），现将它向左平移4个单位长度，得到线段11B A ，则1 1B A ，的坐标分别为（） A ．1A （5-，0），1 B （8-，3-） B ． 1A （3，7），1B （0，5） C ．1A （5-，4），1B （8-，1） D ． 1A （3，4），1B （0，1）参考答案：C ．考核的知识点：平移的性质 8、如图：正方形ABCD 中点A 和点C 的坐标分别为（2-，3）和（3，2-），则点B 和点D 的坐标分别为（） A ．（2，2）和（3，3） B ．（2-，2-）和（3，3） C ．（2-，2-）和（3-，3-） D ．（2，2）和（3-，3-）参考答案：B ．考核的知识点：关于坐标轴对称的点坐标的特征 9、已知平面直角坐标系点（x ，y ）的纵、横坐标满足2 x y =，则点（x ，y ）位于（） A ．x 轴上方（含x 轴） B ．x 轴下方（含x 轴） C ．y 轴的右方（含y 轴） D ．y 轴的左方（含y 轴）参考答案：A ．考核的知识点：函数图像上点坐标的特征 10、已知03)2(2=++-b a ，则P （a -，b -）的坐标为（） A ．（2，3） B ．（2，3-） C ．（2-，3） D ．（2-，3-）参考答案：C ．考核的知识点：通过计算确定点的坐标二、填空题（每小题4分，共24分） 11、有了平面直角坐标系，平面的点就可以用一个来表示了.点)4,3(- 的横坐标是，纵坐标