信号与系统模拟试卷1及答案

一、填空题（每小题2分，共20分）

1． 系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ，若满足dt

)

t (de )t (r =，则该系统为 线性、时不变、因果。（是否线性、时不变、因果？）

2． 求积分dt )t ()t (212-+?∞

∞-δ的值为 5 。

3． 当信号是脉冲信号f(t)时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部，其 高频分量 主要影响脉冲的跳变沿。

4． 若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。

5． 信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为 一常 数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。

6． 系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。 7． 若信号的3s F(s)=

(s+4)(s+2)，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)

ω

ωω。

8． 为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的 左半平面 。 9． 已知信号的频谱函数是））00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为01

sin()t j ωπ

。 10． 若信号f(t)的2

11

)s (s )s (F +-=，则其初始值=+)(f 0 1 。

二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（每小题2分，共10分）

1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ）

2.满足绝对可积条件∞

∞∞

-dt t f )(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定

不存在傅立叶变换。 （ × ） 3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。 （ √ ）

4.连续LTI 系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。 （ √ ）

5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。 （ × ）

三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分， 6题15分，共60分）

1.信号)t (u e )t (f t -=21，信号?

??<<=其他，01

012t )t (f ，试求)t (f *)t (f 21。（10分）

解法一：当0t ≤时，)t (f *)t (f 21=0

当10t >>时，()120()*()222t

t t f t f t e d e ττ---==-?

当1t >时，1

()120

()*()22(1)t t f t f t e d e e ττ---==-?

解法二：

122(1)22L[()*()]2(2)(2)

2222()22s s

s

e e

f t f t s s s s s s e s s s s ----==-

+++=---++

112()*()2()2()2(1)2(1)t t f t f t u t e u t u t e u t --=---+-

2.已知)

2)(1(10)(--=z z z

z X ，2>z ，求)(n x 。（5分）

解：

()101010

(1)(2)21X z z z z z z z ==-----，收敛域为2>z 由1010()21

z z

X z z z =---，可以得到()10(21)()n x n u n =-

3.若连续信号)t (f 的波形和频谱如下图所示，抽样脉冲为冲激抽样)nT

t ()t (n s

T ∑∞

-∞

=-=δδ。

（1）求抽样脉冲的频谱；（3分）

（2）求连续信号)t (f 经过冲激抽样后)t (f s 的频谱)(F s ω；（5分）

（3）画出)(F s ω的示意图，说明若从)t (f s 无失真还原)t (f ，冲激抽样的s T 应该满足什么条件？（2分）

(t)

f t

O )(F ωω

O m ω-m

ω1

解：（1）)nT

t ()t (n s

T ∑∞

-∞

=-=

δδ，所以抽样脉冲的频谱

[()]2()T n

s

n F t F n δπ

δωω∞

=-∞

=-∑ 1

n

s

F

T =

。 （2）因为()()()s T f t f t t δ=，由频域抽样定理得到：

1

[()][()()]()*()

21

()s T s s n s n s F f t F f t t F n F n T δωωδωωπωω∞

=-∞

∞

=-∞

==-=-∑∑ （3）)(F s ω的示意图如下

)(F s ω的频谱是()F ω的频谱以s ω为周期重复，重复过程中被1

s

T 所加权，若从)t (f s 无失真还原)t (f ，冲激抽样的s T 应该满足若2,

s m s m

T π

ωωω≥≤

。 4.已知三角脉冲信号)t (f 1的波形如图所示 （1）求其傅立叶变换)(F ω1；（5分）

（2）试用有关性质求信号)t cos()t (f )t (f 0122

ωτ

-=的傅立叶变换)(F ω2。（5分）

解：（1）对三角脉冲信号求导可得：1()22[()()][()()]22

df t E E u t u t u t u t dt ττ

ττ=

+---- 21()18[][sin ()]4

df t E F dt j ωτ

ωτ=-，可以得到21()()24E F Sa τωτω=

。 （2）因为)t cos()t (f )t (f 0122

ωτ-=

22[()]()224j E F f t e Sa τ

ωττωτ

--=

2

τ-

(t)f 12τ-t

O E

00()()220022

0()()11[()cos()]2224224

j j E E F f t t e Sa e Sa ττ

ωωωωωωωωτ

ττωττ---+-+-=+

5.电路如图所示，若激励信号)t (u )e e ()t (e t

t 3223--+=，求响应)t (v 2并指出响应中的强迫分

量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。（10分）

解：由S 域模型可以得到系统函数为

221()2()2()22

2V s s s H s E s s s

+

+==

=++ 由)t (u )e e ()t (e t t 3223--+=，可以得到

32

()23

E s s s =+++ ，在此信号激励下，系统的输出为

21

2323

2()()()()222313s V s H s E s s s s s s +==+=++++++

则 ()321

v (2)()2

t t t e e u t --=+

强迫响应分量：31

()2

t e u t -

自由响应分量：2()t e u t -

瞬态响应分量：()321

v (2)()2

t t t e e u t --=+

稳态响应分量：0

6.若离散系统的差分方程为

)1(31

)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y

（1）求系统函数和单位样值响应；（4分） （2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性；（4分） （3）画出系统的零、极点分布图；（3分）

（4）定性地画出幅频响应特性曲线；（4分）

解：（1）利用Z 变换的性质可得系统函数为：

112111071()3333()3111111()()482424

z z z z z

H z z z z z z z ---++-===+-+---- 12z >，则单位样值响应为

10171

()[()()]()3234

n n h n u n =-

（2）因果系统z 变换存在的收敛域是1

2

z >

，由于()H z 的两个极点都在z 平面的单位圆内，所以该系统是稳定的。

（3）系统的零极点分布图

z

（4）系统的频率响应为

21()

3()3148j j j j j e e H e e e ω

ω

ωωω+=

-+ 13()1124

j j j j e H e e e ωωωω+=--

当0ω=时，32

()9j H e ω=

当ωπ=时，16

()45

j H e ω=

四、简答题（1、2二题中任选一题解答，两题都做只计第1题的分数，

共10分）

1. 利用已经具备的知识，简述如何由周期信号的傅立叶级数出发，推导出非周期信号的傅立叶变换。（10分）

2. 利用已经具备的知识，简述LTI 连续时间系统卷积积分的物理意义。（10分）

1.解：从周期信号FS 推导非周期信号的FT 11

()().jn t

n f t F n e

ωωω∞

=-

=

∑

对于非周期信号,T1→∞,则重复频率10ω→,谱线间隔1(n )d ωω?→，离散频率变成连续频率

ω。

1

2112

111()()..T T jn t F n f t e dt T ωω--=?

在这种极限情况下1()0F n ω→，但11

2().

F n π

ωω可望不趋于零，而趋于一个有限值，且变成一个连续函数。 111

111111

1

22

2()().

().()()lim lim lim T T jn t T T j t F F n F n T f t e dt

f t e dt

ωωωπ

ωωωω→→--→∞∞

--∞

====?

?

考察函数111

1).(或2).

(T n F n F ωωπ

ω,并定义一个新的函数F(w) 傅立叶变换：

()()j t F f t e dt ωω∞--∞

=?

F(w)称为原函数f(t)的频谱密度函数(简称频谱函数).

傅立叶逆变换 11()().j n t

n f t F n e

ωω

ω∞

=-

=

∑ 1111

()

()..jn t n F n f t e ωωωω∞

=-∞

=

∑

1()()

F n F ωω→n ω

∞

∞-∞

=-→∑?

111()..()2jn t

n F e n ωωωωπ

∞

=-∞=

?∑ 1()().d 2j t f t F e ωωωπ

∞

-∞

=

?

11110

()T n n d ωωωωω→∞

→→?→

2.解：线性系统在单位冲激信号的作用下，系统的零状态的响应为单位冲激响应：

()()t h t δ→

利用线性系统的时不变特性：

()()t h t δττ-→-

利用线性系统的均匀性：

()()()()e t e h t τδτττ-→-

利用信号的分解，任意信号可以分解成冲激信号的线性组合：

()()()e t e t d τδττ∞

-∞

=

-?

利用线性系统的叠加定理：

()()()()()()e t e t d r t e h t d τδτττττ∞

∞

-∞

-∞

=

-→=-??