导 数 专题训练

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导 数 专题训练

1.定积分ʃ10x (2-x )d x 的值为( )

A.π4

B.π

2

C .π

D .2π 2.已知函数f (x )=(x 2-2x )e x -a ln x (a ∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a 的最大值是( )

A .-e

B .e

C .-e 2

2 D .4e 2

3.已知函数f (x )=

f ′(1)e e x +f (0)2

x 2

-x ,若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2-n 成立,则实数n 的取值范围为( )

A.⎝⎛⎦⎤-∞,-12∪[1,+∞) B .(-∞,-1]∪⎣⎡⎭⎫1

2,+∞ C.(]-∞,0∪⎣⎡⎭⎫12,+∞ D.⎝⎛⎦⎤-∞,-1

2∪[0,+∞) 4.已知函数f (x )=x 2+(ln 3x )2-2a (x +3ln 3x )+10a 2,若存在x 0使得f (x 0)≤1

10

成立,则实数a 的值为( )

A.110

B.25

C.15

D.1

30

5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧

ln (x +1),x >0,12x +1,x ≤0,若m

A .[3-2ln 2,2)

B .[3-2ln 2,2]

C .[e -1,2)

D .[e -1,2]

6.已知函数f (x )=a ln(x +2)-x 2,在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ,且p >q ,若不等式f (p +1)-f (q +1)

p -q

>2恒成立,则实数a 的取值范围是( )

A.()12,+∞

B.[)12,+∞

C.()24,+∞

D.[)24,+∞ 7.y =f (x )的导函数满足:当x ≠2时,(x -2)(f (x )+2f ′(x )-xf ′(x ))>0,则( ) A .f (4)>(25+4)f (5)>2f (3) B .f (4)>2f (3)>(25+4)f (5) C .(25+4)f (5)>2f (3)>f (4) D .2f (3)>f (4)>(25+4)f (5)

8.若曲线C 1:y =ax 2(a >0)与曲线C 2:y =e x 存在公共切线,则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0,e 2

8 B.⎝⎛⎦⎤0,e 2

4 C.⎣⎡⎭⎫e 2

8,+∞ D.⎣⎡⎭

⎫e

2

4,+∞ 9.已知函数f (x )=e 2 018x +mx 3-m (m >0),当x 1+x 2=1时,对于任意的实数θ,都有不等式f (x 1)+f (sin 2θ)>f (x 2)+f (cos 2θ)成立,则实数x 1的取值范围是( )

A .[1,+∞)

B .[1,2] C.(]1,2 D .(1,+∞)

10.已知函数f (x )=e x

|x |,关于x 的方程f 2(x )-2af (x )+a -1=0(a ∈R)有3个相异的实数根,

则a 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2-12e -1,+∞

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,e 2-12e -1

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,e 2-12e -1

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫e 2-12e -1 11.已知函数f (x )=⎩

⎪⎨⎪⎧

-x 2-2x +1,-2≤x <0,

e x ,x ≥0,若函数g (x )=

f (x )-ax +a 存在零点,则实

数a 的取值范围为( )

A.⎣⎡⎦⎤-13,e 2

B.⎝⎛⎦⎤-∞,-1

3∪[e 2,+∞) C.⎣⎡⎦⎤-13,1e D.⎝

⎛⎦⎤-∞,-1

3∪[e ,+∞) 12. 已知函数f (x )=ln x +ax 2+(2+a )x (a ∈R),g (x )=x

e x -2,对任意的x 0∈(0,2],关于x

的方程f (x )=g (x 0)在(]0,e 上有两个不同的实数根,则实数a 的取值范围(其中e =2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝

⎛⎭⎪⎫-2e ,-3+2e e 2+e B.⎝

⎛⎦⎤-2e ,-e e 2+2 C.⎝

⎛⎦⎥⎤-e ,-3+2e e 2+e D.⎝⎛⎭

⎫-e ,-e

e 2+2

13.若f (x )=3xf ′(1)-2x 2,则f ′(0)=________.

14.若直线y =2x +b 是曲线y =e x -2的切线,则实数b =________.

15.若存在两个正实数x ,y 使等式2x +m (y -2e x )(ln y -ln x )=0成立(其中e =2.718 28…),则实数m 的取值范围是_____________.

16.已知函数f (x )=ln x +(e -a )x -b ,其中e 为自然对数的底数.若不等式f (x )≤0恒成立,则b

a 的最小值为________. 所以

b a 的最小值为-1e

.

导 数 专题训练答案

1.定积分ʃ10x (2-x )d x 的值为( )

A.π4

B.π

2 C .π D .2π 答案 A 解析 ∵y =

x (2-x ),

∴(x -1)2+y 2=1表示以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,

∴定积分ʃ10

x (2-x )d x 等于该圆的面积的四分之一, ∴定积分ʃ1

x (2-x )d x =π

4

.

2.已知函数f (x )=(x 2-2x )e x -a ln x (a ∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a 的最大值是( ) A .-e B .e C .-e 2

2 D .4e 2

答案 A

解析 因为函数f (x )=(x 2-2x )e x -a ln x (a ∈R), 所以f ′(x )=e x (x 2-2x )+e x (2x -2)-a

x =e x (x 2-2)-a

x

(x >0).

因为函数f (x )=(x 2-2x )e x -a ln x (a ∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,

所以f ′(x )=e x (x 2-2)-a x ≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a

x ≤e x (x 2-2)在区间(0,+∞)上恒

成立,

亦即a ≤e x (x 3-2x )在区间(0,+∞)上恒成立, 令h (x )=e x (x 3-2x ),x >0,则 h ′(x )=e x (x 3-2x )+e x (3x 2-2)

=e x (x 3-2x +3x 2-2)=e x (x -1)(x 2+4x +2),x >0, 因为x ∈(0,+∞),所以x 2+4x +2>0. 因为e x >0,令h ′(x )>0,可得x >1, 令h ′(x )<0,可得0

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