第1章力和约束习题解答0808014

第一章 力和约束

本章要点：

一、 三个概念：力、力矩和力偶

1 力： 力的定义、力的三要素、集中力、分布力；

力的投影：直接投影法和二次投影法；力在平行轴上的投影都相等； 力的合成：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则； 合力投影定理

2 力矩：力对点之矩的定义、力对点之矩的三要素、对点的合力矩定理； 力对轴之矩的定义、力对轴之矩和对点之矩的关系、对轴的合力矩定理；

3 力偶：力偶的定义、力偶的三要素、力偶的等效条件；

力偶系的合力偶等于分力偶的矢量和.

二、五种约束 柔索约束、光滑面约束、光滑铰链约束、辊轴约束、固定端约束. 约束力的方向总是与约束所能阻碍的运动方向相反.，大小未知. 三、受力分析与受力图

解题要领：

1 用合力投影定理计算汇交力系的合力；

2 用合力矩定理计算力对点（轴）的力矩，也可以用力对轴之矩和对点之矩的关系计算力

对轴之矩。

3 画受力图先明确研究对象，取分离体，画出主动力后再根据约束的性质画出约束力，注

意二力杆和三力平衡汇交定理的应用。不能凭主观想象画约束力。画出的都是外力，内力不画。

第一章力和约束 习题解答

1-1 求图示空间汇交力系的合力。已知N 1001=F ，N 2002=F ，N 3003=F ，

N 4004=F ,方向如图示。如果仅改变力4F 的方向，能否使此力系成为平衡力系？为什么？

解：按合力投影定理计算合力在z y x ,,轴上的投影：

);

N (1.11130sin cos sin cos 2422211=-+=

F F F F Rx ?γ?

);

N (1.60130cos 30sin sin sin 43222=++=

F F F F Ry ?γ

);

N (7.20530cos sin cos sin 422211=+--=

F F F F Rz ?γ?

其中：13133cos 1=

?，11

22cos 2=γ；

452=?。 合力的大小为：

)N (6452

22=++=Rz Ry Rx R F F F F ；

方向余弦为：

172.0c o s ==R Rx F F α

，932.0cos ==R Ry F F β，319.0cos ==R

Rz F F

γ

又，除作用点外，力的大小和方向共有3个因素，其中力的方向包含2个因素。因此，仅改变4F 的方向，不能使此力系成为平衡力系。

1-2 圆盘半径为r ，可绕与其垂直的轴z 转动。在圆盘边缘C 处作用一力F ，此力位于与z 轴平行、与圆盘在C 处相切的平面内，尺寸如图示。计算力F 对z y x ,,轴的力矩。

解：

()r h F r F h F M x 34

1

30cos 60sin 60cos 2

-=

-=

；

()r h F r F h F M y +=+=4

330sin 60sin 60sin 60cos

；

Fr r F M z 2

1

60cos -=-=

1-3计算题1-1中合力对ξ轴的力矩，图中长度单位为m 。 解：ξ轴与y 轴的交点为B ，合力对B 点的力矩为 i k M 33Rz Rx B F F -= ；

ξ轴方向的单位向量为：()k i ξ2313

1

?-=

。 利用力对点吱矩与力对轴之矩的关系有：

)N (4.513?-=?=ξM B M ξ。

1-4图示平面∏在各坐标轴上的截矩分别为c b a ,,，且b a =。计算图示力F 和力偶M 对z y x ,,轴的力矩和，以及对坐标原点O 的力矩和。

题1-2图

解：平面abc 的法向量为 k j i n c b a 1

11++=

，力偶矢为 0

n M M =, 其中0,n k j,i,依次为,,,z y x n 方向的单位向量。力F 表为 0ξF F =

其中0ξ为()k j i ξc b a -+=2

1

方向的单位向量。

()j i caF

c o -=?-=ξ

F k F M )(。 得到 ()aF M k c M x 2+=

，()

aF M k c M y 2-=，M k

a M z = 其中：222c a k += 。

1-5 力F 沿长方体的对角线AB 作用，如图示。试计算力F 对y 轴及CD 轴的力矩。

解：向量AB 为 ck bj ai AB +--=r , 力F 表为 AB AB

F

r r F =，对O 点的力矩为 ()()j i F F M a b F r c

AB

O -=?=， ∴ ()F r ac AB

y -

=F M . CD 方向的单位向量为2

2

c

b c bj ++=

k τ, 从而求得：

F c

b r ab

c M AB 2

2

+=

?=τM τ

1-6试画出图示物体的受力图。除注明的外，物体的自重都不计。

解：分别以指定的物体为研究对象，解除物体所受的全部约束，根据约束的性质画上约束力，如图示。

题1-4图

题1-5图

（a ） （ｂ） （ｃ） （d ）

（e）（ｆ）

题1-6图

1-7图示三铰拱。试画出AC、BC及整体的受力图，自重都不计。

解：（a）图示三铰拱，BC半拱为二力构件，约束力一定是沿BC连线作用，铰链A处的约束力方向由三力平衡汇交定理确定。

题1-7（a）图

（b）图示三铰拱，铰链A、B和C三处的约束力方向都不能确定，因此用两个分力力表示。

题1-7（b）图

（半拱为二力构件，约束力一定是沿BC连线作用，AC半拱上除约束力外仅有力偶作用，因力偶只能与力偶平衡，因此A、C处的约束力必互相平行并组成力偶。

题1-7（c）图

的受力图。

解：图（a）中的构件ABD，图（b）和（c）中的杆AB都是受三力作用而平衡的构件，因此，可以应用三力平衡汇交定理确定铰链A处的约束力方向。

（a）（b）（c）

题1-8图

1-9试画出图示物体系统以及标字母构件的受力图。除注明的外，物体的自重都不计。

解：（a）图示物体系统由多个物体组成，为确定约束力的方向，要考虑先后次序。我们按以下次序进行受力分析：轮D、杆EB、杆DC、结构ABCDE、杆AB。

题1-9(a)图

（b）按三力平衡汇交定理画出整体的受力图，然后依次画出杆CD 、杆AB、轮D的受力图。

题1-9（b）图

（c）折杆BC为二力构件，约束力方向一定是沿着BC连线。因力偶只能与力偶平衡，所以，铰链A和B处的约束力一定互相平行而组成力偶。

题1-9（c）图

（d）图示结构中，杆CE为二力杆，其余杆件的受力按力偶平衡理论确定。

题1-9（d）图