2014年北京市高考试题集锦理科数学

2014年北京高考数学(理科)试题

一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)

1.已知集合2

{|20},{0,1,2}A x x x B =-==,则A B =I ( )

.{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D

2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )

.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+

3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+??=+?(θ为参数)的对称中心( )

.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上

4.当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )

.7A .42B .210C .840D

5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的( )

.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件

.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件

6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??

-+≥??≥?

且z y x =-的最小值为-4,则k 的值为( )

.2A .2B - 1.2C 1

.2

D -

7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,(D ,若 1S ,2S ,3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积,则( )

(A)123S S S == (B)12S S =且 31S S ≠ (C)13S S =且 32S S ≠ (D)23S S =且 13S S ≠

8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不

低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)

9.复数2

11i i +??= ?-??

________.

10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ,()2,1b =r ,且()0a b R λλ+=∈r r

,则λ=________.

11.设双曲线C 经过点()2,2,且与2

214

y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________.

12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.

13.把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14.设函数)sin()(?ω+=x x f ,0,0>>ωA ,若)(x f 在区间]2

,6[π

π上具有单调性,且 ??

? ??-=??? ??=???

??6322πππf f f ,则)(x f 的最小正周期为________. 三.解答题(共6题,满分80分)

15.(本小题13分)如图,在ABC ?中,8,3

==

∠AB B π

,点D 在BC 边上,且

7

1

cos ,2=

∠=ADC CD

(1)求BAD ∠sin (2)求AC BD ,的长

16.(本小题13分).

李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立):

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过6.0,一 场不超过6.0的概率.

（3）记x 是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较)(X E 与x 的大小(只需写出结论)

17.(本小题14分)

如图,正方形AMDE 的边长为2,C B ,分别为MD AM ,的中点,在五棱锥ABCDE P - 中,F 为棱PE 的中点,平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. (1)求证:FG AB //;

(2)若⊥PA 底面ABCDE ,且PE AF ⊥,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并 求线段PH 的长.

18.(本小题13分) 已知函数

()cos sin ,[0,]2

f x x x x x π

=-∈,

（1）求证:

()0f x ≤;

（2）若sin x a b x

<

<在(0,)2π

上恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.

19.(本小题14分) 已知椭圆2

2:24C x

y +=,

（1）求椭圆C 的离心率.

（2）设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y

=上,且OA OB ⊥,求直线AB 与圆

222x y +=的位置关系,并证明你的结论.

20.(本小题13分)

对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L

,记111()T P a b =+,

112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ,其中

112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数,

（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ,求12(),()T P T P 的值.

（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值,对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列

(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ,试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.

(3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使5()T P 最小,并写出5()T P 的值.(只需写出结论).

2014年高考试题

数学(理)【北京市试题卷】参考答案

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)

(1)C (2)A (3)B (4)C

(5)D (6)D (7)D (8)B

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)

(9)-1

(10)5

(11)

22

1 3

12

x y

-=2

y x

=±(12)8

(13)36 (14)π

三、解答题(共6小题,共80分)

(15)(共13分)

解:(I)在ADC

?中,因为

1

7

COS ADC

∠=,所以

43

sin

7

ADC

∠=。

所以sin sin()

BAD ADC B

∠=∠-∠

sin cos cos sin

ADC B ADC B

=∠-∠

(Ⅱ)在ABD

?中,由正弦定理得

33

8

sin14

3

sin43

7

AB BAD

BD

ADB

?

?∠

===

∠

,

在ABC

?中,由余弦定理得

2222cos

AC AB BC AB BC B

=+-??

22

1

8528549

2

=+-???=

所以7

AC=

所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.

(Ⅱ)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,

事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”, 事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场

超过0.6,一场不超过0.6”。

则C ＝AB AB U ,A,B 独立。

根据投篮统计数据,32

(),()55

P A P B ==.

()()()P C P AB P AB =+

3322

5555=

?+? 13

25

=

所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过

0.6,一场不超过0.6的概率为13

25

.

(Ⅲ)EX x =.

(17)(共14分)

解:(I)在正方形中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE 。

又因为AB ?平面PDE, 所以AB ∥平面PDE,

因为AB ?平面ABF,且平面ABF I 平面PDF FG =,

所以AB ∥FG 。

(Ⅱ)因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥,PA AE ⊥. 如图建立空间直角坐标系Axyz ,则

(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F ,

BC uuu r

(1,1,0)=.

设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =,则

0,0,n AB n AF ??=???=??u u u r u u u

r 即0,

0.x y z =??+=?

令1,z =,则1y =-。所以(0,1,1)n =-,设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则

1

sin cos ,2n BC a n BC n BC

?===u u u r

u u u r u u u r 。

设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上,所以可设(01),PH PC λλ=u u u r u u u r

p p ,

即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量,所以0n AB ?=u u u r

,即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-?-=。

解得23λ=

,所以点H 的坐标为422

(,,).333

。 所以222424

()()()2333

PH =++-=

(18)(共13分)

解:(I)由()cos sin f x x x x =-得

'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。

因为在区间(0,

)2π

上'()f x sin 0x x =-p ,所以()f x 在区间0,2π??

????

上单调递减。

从而()f x (0)0f ≤=。

(Ⅱ)当0x f 时,“sin x a x f ”等价于“sin 0x ax -f ”“sin x

b x

p ”等价于

“sin 0x bx -p ”。

令()g x sin x cx =-,则'()g x cos x c =-, 当0c ≤时,()0g x f 对任意(0,)2

x π

∈恒成立。

当1c ≥时,因为对任意(0,)2

x π

∈,'()g x cos x c =-0p ,所以()g x 在区间

0,2π??

????

上单调递减。从而()g x (0)0g =p 对任意(0,)2x π∈恒成立。 当01c p p 时,存在唯一的0(0,

)2

x π

∈使得0'()g x 0cos x c =-0=。

()g x 与'()g x 在区间(0,)2

π上的情况如下:

因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数,所以0()(0)0g x g =f 。进一步,“()0g x f 对

任意(0,

)2x π

∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥,即2

0c π

≤p , 综上所述,当且仅当2c π≤时,()0g x f 对任意(0,)2

x π

∈恒成立;当且仅当1

c ≥时,

()0g x p 对任意(0,)2

x

π

∈恒成立。

所以,若sin x a b x

p p 对任意(0,)2x π∈恒成立,则a 最大值为2

π

,b 的最小值为1.

(19)

解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为22

142

x y +

=。 所以224,2a b ==,从而2222c a b =-=。因此2,a c == 故椭圆C 的离心率2

c e a =

=。 (Ⅱ) 直线AB 与圆222x y

+=相切。证明如下:

设点A,B 的坐标分别为00(,)x y

,(,2)t ,其中00x ≠。

因为OA

OB ⊥,所以0OA OB ?=u u u r u u u r ,即0020tx y +=,解得00

2y

t x =-。

当0x t =时,2

02

t y =,代入椭圆C 的方程,得t =,

故直线AB 的方程为x =O 到直线AB 的距离d =

此时直线AB 与圆222x y +=相切。 当0x t ≠时,直线AB 的方程为002

2()y y x t x t

--=

--, 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=, 圆心0到直线AB 的距离

d =

又220024x y +=,0

2y t x =-

故

d =

=

= 此时直线AB 与圆222x y +=相切。 (20)

解:(I)1()257T P =+=

{}11()1max (),24T P T P =++{}1max 7,6=+＝8

(Ⅱ)2()T P {}max ,a b d a c d =++++ 2(')T P ={}max ,c d b c a b ++++.

当m ＝a 时,2(')T P ＝{}max ,c d b c a b ++++＝c d b ++

因为c d b c b d ++≤++,且a c d c b d ++≤++,所以2()T P ≤2(')T P 当m ＝d 时,2(')T P {}max ,c d b c a b =++++c a b =++

因为a b d ++≤c a b ++,且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2(')T P 。 所以无论m ＝a 还是m ＝d,2()T P ≤2(')T P 都成立。 (Ⅲ)数对序列:P (4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的5()T P 值最小,

1()

T P＝10,

2()

T P＝26,

3()

T P＝42,

4()

T P＝50,

5()

T P＝52