《复变函数与积分变换》考试大纲

《复变函数与积分变换》课程考试大纲

课程性质/学时:自然基础/48 适用专业:电子信息及自动化

一、考试的目的和性质

本课程是高等学校工科本科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。通过本课程的学习,使初步学生掌握复变函数与积分变换的理论和方法，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

本课程的考试既是对学生学习成果的认定,也是对教学质量的一项检查.本考试大纲是根据相应教学大纲制定的.

二、考试的内容和范围

考试内容: 复数与复变函数、解析函数、复积分、复变函数的级数理论、留数、共形映射、富里叶变换、拉普拉斯变换

考试范围:

第一章复数与复变函数

考核知识点:复数的概念，复数的四则运算及共轭运算；复平面、模与辐角的概念，复数的各种表示法。乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。

考核要求:熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念。熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；理解复变函数以及映射的概念，了解复变函数与而二元实函数的关系；了解复变函数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系。

第二章解析函数

考核知识点:复变函数的导数以及解析函数的概念，连续、可导、解析之间的关系及求导方法。函数可导与解析的判别法，灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数及它们的主要性质。

考核要求:理解复变函数的导数以及解析函数的概念，掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数，了解它们的主要性质。

第三章复积分

考核知识点:复积分计算的一般方法；柯西-古萨定理，变上限函数的性质，复不定积分与原函数的概念，牛顿莱不尼茨公式。复合闭路原理，柯西积分公式及高阶导数公式，共轭调和函数的求法。

考核要求:了解复积分定义，掌握复积分计算的一般方法；理解柯西-古萨定理，了解变上限函数的性质，复不定积分与原函数的概念，牛顿莱不尼茨公式。掌握复合闭路原理，熟

练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解平面调和函数理论，掌握共轭调和函数的求法。

第四章 复变函数的级数理论

考核知识点:复数列的极限概念，复数列收敛的充分必要条件；级数理论、级数的性质，

阿贝尔定理，收敛半径的求法；泰勒展开定理，()()α

z z z z e z ++1,1ln ,cos ,sin ,的泰勒展开式，函数展开成泰勒级数的方法，把一些解析函数展开成泰勒级数。罗朗级数的概念、性质，罗朗展开定理，把一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数。

考核要求:了解复数列的极限概念，熟悉复数列收敛的充分必要条件；了解级数理论、级数的性质，理解阿贝尔定理，掌握收敛半径的求法；理解泰勒展开定理，熟练掌握()()α

z z z z e z ++1,1ln ,cos ,sin ,的泰勒展开式，掌握函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。掌握罗朗级数的概念、性质，理解罗朗展开定理，能比较熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展开成罗朗级数。

第五章 留数

考核知识点:孤立奇点的概念及其分类，零点与极点的关系。理解留数的概念，计算留数的一般方法，极点处留数的求法。利用留数定理计算闭路积分，应用留数计算()θθθπ

d R ?20sin ,cos 、()()?∞

+∞-dx x Q x P 及()()?∞+∞-dx e x Q x P iax 型积分 。 考核要求:理解孤立奇点的概念及其分类，掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征，熟悉零点与极点的关系。理解留数的概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法。掌握利用留数定理计算闭路积分的方法，熟练掌握应用留数计算()θθθπ

d R ?20sin ,cos 、()()?∞

+∞-dx x Q x P 及()()?∞+∞-dx e x Q x P iax 型积分 。了解应用留数定理计算实积分的围道积分法。

第六章 共形映射

考核知识点: 分式线性映射的性质,几个初等函数所构成的映射,会求一些简单区域之间的共形映射.

考核要求: 掌握共形映射的概念和特性,掌握分式线性映射的性质,了解几个初等函数所构成的映射,会求一些简单区域之间的共形映射.

第七章 富里叶变换

考核知识点:富氏积分定理，傅氏变换及其逆变换的概念；()t δ的概念和性质， 傅氏变换的线性、位移、积分以及微分性质，运用傅氏变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换；卷积的概念并能运用卷积定理。

考核要求:了解周期函数的傅里叶级数极其复数形式，熟悉富氏积分定理，理解傅氏变换及其逆变换的概念；理解()t δ的概念和性质， 掌握傅氏变换的线性、位移、积分以及微

分性质，熟练运用傅氏变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换；理解卷积的概念，掌握并能运用卷积定理。

第八章拉普拉斯变换

考核知识点:拉氏变换及其逆变换的概念及拉氏变换的存在定理。拉氏变换的线性、微分、积分、位移以及延迟性质，运用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换及其逆变换。复反演积分公式，应用留数计算像原函数。卷积的概念并能运用卷积定理；常系数线性微分方程（组）的拉氏变换解法。

考核要求:理解拉氏变换及其逆变换的概念，了解拉氏变换与傅氏变换的区别，熟悉拉氏变换的存在定理。掌握拉氏变换的线性、相似、积分、位移以及延迟性质，熟练运用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换及其逆变换。了解复反演积分公式，熟练掌握应用留数计算像原函数的方法。理解卷积的概念，掌握并能运用卷积定理；熟练掌握常系数线性微分方程（组）的拉氏变换解法。

三、考试的形式和方法

试题比例：基本概念20％左右，基本计算技能50％左右，综合应用类20％左右逻辑证明10％左右。

题型比例：客观性题40％左右,主观性题60％左右，计算题、证明题等。

难度等级：分为简单,中等难度,较难或难三个等级,大致的比例55:30:15.

考试教材：（1）《复变函数》西安交大编高教出版社1996年

（2）《积分变换》南京工学院编高教出版社1995年

参考教材：《解析函数与积分变换》田申主编东北林大出版1995年

考试形式：期末闭卷,考试成绩占100﹪

四、样题

一填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

1．在复数域内，方程cosz=0的全部解为＿＿＿

二、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

1．复数z=1的模为（）

A 5

B 4 C3 D 1

三计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

1设z=x+iy，满足Re(z2+3)=4，求x与y的关系式.

2设u=ax3-3xy2，v=3x2y-y3，z=x+iy.问当a取何值时，v是u的共轭调和函数，并求出以u为实部的解析函数f(z).

四证明题（本大题共10分）

证明. f(z)=z-1为解析函数.

五解答题（本大题共10分）

将函数f(z)= 在区域2<|z-i|<+4内展开成为罗朗级数.