数值分析复习题及答案

数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案

数值分析复习题

一、选择题

1. 和分别作为的近似数具有()和()位有效数字.

A.4和3 B.3和2 C.3和4 D.4和4

2. 已知求积公式,则=()

A.B. C. D.

3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足()

A.=0, B.=0,

C.=1, D.=1,

4. 设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有()敛速。

A.超线性 B.平方 C.线性 D.三次

5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程().

A. B. C.D.

二、填空

1. 设,取5位有效数字,则所得的近似值x= .

2.设一阶差商,

则二阶差商

3. 设, 则,。

4.求方程的近似根,用迭代公式,取初始值,那么

5.解初始值问题近似解的梯形公式是

6、,则A的谱半径=。

7、设,则和。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代

都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为。

10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写

成。

11. 设, 则,.

12. 一阶均差

13. 已知时,科茨系数,那么

14. 因为方程在区间上满足,所以在区间内有根。

15. 取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式 .

16.设是真值的近似值,则有位有效数字。

17. 对, 差商( )。

18. 设, 则。

19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和。

20. 若a=是的近似值,则a有( )位有效数字.

21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数,则( ).

22. 设f (x)可微,则求方程的牛顿迭代格式是( ).

23. 迭代公式收敛的充要条件是。

24. 解线性方程组A x=b (其中A非奇异,b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组,

解此方程组的雅可比迭代格式为( )。

25、数值计算中主要研究的误差有和。

26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则;。

27、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数;且。

28、辛普生求积公式具有次代数精度,其余项表达式

为。

29、则。

30.设x* = 是真值x = 的近似值,则x*有位有效数字。

31. ,。

32.求方程根的牛顿迭代格式是。

33.已知,则, 。

34. 方程求根的二分法的局限性是。

三、计算题

1.设

(1)试求在上的三次Hermite插值多项式使满足,以升幂形式给出。

(2)写出余项的表达式

2.已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数,使 0,1…收敛?

3.推导常微分方程的初值问题的数值解公式:

(提示:利用Simpson求积公式。)

4.利用矩阵的LU分解法解方程组

5. 已知函数的一组数据:

求分段线性插值函数,并计算的近似值.

6. 已知线性方程组(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;(2)于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字).

7. 用牛顿法求方程在之间的近似根

(1)请指出为什么初值应取2?(2)请用牛顿法求出近似根,精确到.

8. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分.

9.用二次拉格朗日插值多项式的值。

插值节点和相应的函数值是(0,0),(,),(,)。

10.用二分法求方程区间内的一个根,误差限。

11.用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

12.求系数

13. 对方程组试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由

14. 确定求积公式的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.

15. 设初值问题 . (1) 写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式;

(2)写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=解上述初值问题数值解的公式,并求解,保留两位小数。16. 取节点,求函数在区间上的二次插值多项式,并估计误差。

17、已知函数的相关数据

由牛顿插值公式求三次插值多项式,并计算的近似值。

18、利用尤拉公式求解初值问题,其中步长,。

19.确定求积公式。

中待定参数的值,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度

20、已知一组试验数据如下:

求它的拟合曲线(直线)。用列主元消去法解线性方程组22. 已知

(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式;(2)求,使。

确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度

24、用Gauss消去法求解下列方程组

. 试求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。. 取步长h=, 用梯形法解常微分方程初值问题

. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=, 计算三次,保留五位小数。29、已知数据如下:

求形如拟合函数。

30、用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。

31、利用改进的尤拉方法求解初值问题,其中步长

32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组A x=b的收敛性,如果收敛,比较哪种方法收敛快。其中.简述题:叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么?

数值分析复习题答案

一、选择题

二、填空1、 2、 3、6 和 4、

5、 6、 7、;8、收敛 9、 10、 11. 9和;12. 13. 14. 15. ;16、3 ;17、1 ;18、7 ;19、1;20.3;21.;22.;23. ;24、.迭代矩阵,;

25.相对误差绝对误差 26. 1;27. 至少是n ,b-a ;28. 3 ;29. 1 0;

30、4;31、1,0;32、;33、 7, 6;34、收敛速度慢,不能求偶重根。

三、计算题

1.解:(1)

(2)

2.解:由,可得,

3..解:数值积分方法构造该数值解公式:对方程在区间上积分,

得,记步长为h, 对积分用Simpson求积公式得

所以得数值解公式:

4.解

5. 解,

所以分段线性插值函数为

6. 解:原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯-塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯-塞德尔迭代公式得

7. 解:,,

,,,故取作初始值

迭代公式为

,,

方程的根

8.解梯形公式

应用梯形公式得

辛卜生公式为

应用辛卜生公式得

9.解

10.用二分法求方程区间内的一个根,误差限。

11.解迭代公式

12.解:

13. 解:调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

取,经7步迭代可得:

14.4. 解

15. 解

16.解:

=

1+2(

17、解:差商表

由牛顿插值公式:

18、解:

19.解:分别将,代入求积公式,可得。

令时求积公式成立,而时公式不成立,从而精度为3。

20、解:设则可得

于是,即。解:

22. 解:

解令代入公式精确成立,得

解得,得求积公式

对;故求积公式具有2次代数精确度。

24、解:本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

. 解:由等式对精确成立得:,

解此方程组得

又当时左边右边

此公式的代数精度为2. 解:梯形法为即

迭代得

. 解:先选列主元,2行与1行交换得消元;

3行与2行交换;消元;

回代得解;行列式得

解:是的正根,,牛顿迭代公式为,即

取x0=, 列表如下:29、已知数据如下:

求形如拟合函数。

解:

30、解:过点的二次拉格朗日插值多项式为

代值并计算得。

31、解:

32、解:

简述题:解:数值运算中常用的误差分析的方法有:概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原则有:1)要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2)要避免两近数相减;3)要防止大数吃掉小数:4)注意简化计算步骤,减少运算次数。

一、 选择题(共30分,每小题3分)

1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是( )。 (A )方法收敛性; (B )方法的稳定性; (C )方法的计算量; (D )方法的误差估计。

2、已知方程3x 3

?2x ?5=0在区间[2,3]存在唯一正根,若用二分法计算,至少迭代( )次可以保证误差

不超过3102

1-?。

(A) 5; (B) 7; (C) 10; (D) 12。 3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是( )

(A )调换方程位置; (B )选主元; (C )直接求解; (D )化简方程组。

4、设1039)(48++=x x x f ,则]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f 和]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 的值分别为( )

(A )1,1; (B )9×8!,0; (C )9,0; (D )9,1。

5、若用复化的辛浦生公式计算积分?

π

sin xdx ,问积分区间要( )等分才能保证误差不超过5102-??

(A )10; (B )15; (C )20; (D )25。

6、用一般迭代法g Bx x k k +=+)()1( 求解方程组Ax =b 的解,则当( )时,迭代收敛。 (A )方程组系数矩阵A 对称正定; (B )方程组系数矩阵A 严格对角占优; (C )迭代矩阵B 严格对角占优; (D )迭代矩阵B 的谱半径ρ(B )<1。

7、在区间[0,1] 上满足y (0)=,y (1)= 的0 次拟合多项式曲线是( ) (A) y = 2; (B) y = ; (C) y = ; (D) y = 4 。

8、复相关系数的取值区间为: ( )

(A) 10≤≤R ; (B) 11≤≤-R ; (C)1≤≤∞-R ; (D)∞≤≤-R 1 9、方差分析主要用于分析( )

(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量

(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量,因变量是数值变量

10、方差分析中在由样本推断总体性质时,零假设是( )

(A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等

(C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等 二、填空题(共30分,每小题3分)

1、数值计算中主要研究的误差

有 和 。

2、*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 倍。

3. 方程求根的二分法的局限性是 。 4、求方程根的割线法的收敛阶为_ ___ 。 5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。 6、若用高斯-赛德尔法解方程组?

?

?-=+=+324

2121x ax ax x ,其中a 为实数,则该方法收敛的充要条件是a 应满足_ _。

7、线性代数方程组Ax =b 相容的充要条件是___ _ __。 8、单纯形算法的基本思路是: 。 9、参数假设检验的含义是 。 10、假设检验的基本思想的根据是 三、(7 分)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高。

)()()(1101

1

x f A x f A

dx x f +≈?-

四、(8 分)已知方程组???

??-=-+==-+=+-3

51110288321

321321x x x b Ax x x x x x x 或分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代

法的分量形式。

五、(9分)设步长为h ,分别用Euler 方法、隐式Euler 方法和梯形方法写出微分方程??

?=+-='1

)0(1

y y x y 的求解公式。

六、(8分)设总体 X 在区间 [a , b ] 上服从均匀分布,其中a 、b 未知,n X X X ,,,21Λ为总体 X 的样本,求a 、

b 的极大似然估计量.

七、(8 分)将如下线性规划问题化成标准型:

???

??

?

?≥=++-≥+-≤++-+-=无限制321321321321321,0,)

3(523)2(2)1(7

.

.32x x x x x x x x x x x x t s x x x Z Min

参加答案

一、 选择题(共30分,每小题3分)

1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是( C )。 (A )方法收敛性; (B )方法的稳定性; (C )方法的计算量; (D )方法的误差估计。

2、已知方程3x 3

?2x ?5=0在区间[2,3]存在唯一正根,若用二分法计算,至少迭代( C )次可以保证误差不

超过3102

1-?。

(A) 5; (B) 7; (C) 10; (D) 12。 3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是( )

(A )调换方程位置; (B )选主元; (C )直接求解; (D )化简方程组。

4、设1039)(48++=x x x f ,则]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f 和]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 的值分别为( B )

(A )1,1; (B )9×8!,0; (C )9,0; (D )9,1。

5、若用复化的辛浦生公式计算积分?

π

sin xdx ,问积分区间要( A )等分才能保证误差不

超过5102-??

(A )10; (B )15; (C )20; (D )25。 6、用一般迭代法g Bx x k k +=+)()1( 求解方程组Ax =b 的解,则当( D )时,迭代收敛。 (A )方程组系数矩阵A 对称正定; (B )方程组系数矩阵A 严格对角占优; (C )迭代矩阵B 严格对角占优; (D )迭代矩阵B 的谱半径ρ(B )<1。

7、在区间[0,1] 上满足y (0)=,y (1)= 的0 次拟合多项式曲线是( A )

(A) y = 2; (B) y = ; (C) y = ; (D) y = 4 。 8、复相关系数的取值区间为: ( A )

(A) 10≤≤R ; (B) 11≤≤-R ; (C)1≤≤∞-R ; (D)∞≤≤-R 1 9、方差分析主要用于分析( D )

(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量

(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量,因变量是数值变量

11、方差分析中在由样本推断总体性质时,零假设是( B )

(A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等

(C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等

二、填空题(共30分,每小题3分)

1、数值计算中主要研究的误差有 和 。

2、*x 的相对误差约是*x 的相对误差的

2

1

倍。 3. 方程求根的二分法的局限性是 。收敛速度慢,不能求偶重根。 4、求方程根的割线法的收敛阶为_ ___ 。618.1或

2

5

1+ 5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。5

6、若用高斯-赛德尔法解方程组?

?

?-=+=+324

2121x ax ax x ,其中a 为实数,则该方法收敛的充要条件是a 应满足____ _

_。2

2<

a 7、线性代数方程组Ax =

b 相容的充要条件是___ _ __。

rank (A )= rank (A ,b )

8、单纯形算法的基本思路是: 根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解 (顶点)开始,转换到另一个基本可

行解(顶点),并使得每次的转换,目标函数值均有所改善,最终达到最大值时就得到最优解。 9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。

10、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理:“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。” 三、(7 分)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高。

)()()(1101

1

x f A x f A

dx x f +≈?-

四、(8 分)已知方程组???

??-=-+==-+=+-3

51110288321

321321x x x b Ax x x x x x x 或分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代

法的分量形式。

五、(9分)设步长为h ,分别用Euler 方法、隐式Euler 方法和梯形方法写出下列微分方程的求解公式:

?

?

?=+-='1)0(1

y y x y 。 六、(8分)设总体 X 在区间 [a , b ] 上服从均匀分布,其中a 、b 未知,n X X X ,,,21Λ为总体 X 的样本,求a 、

b 的极大似然估计量.

七、(8 分)将如下线性规划问题化成标准型:

???

??

?

?≥=++-≥+-≤++-+-=无限制321321321321321,0,)

3(523)2(2)1(7

.

.32x x x x x x x x x x x x t s x x x Z Min

试题

一. 填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -??

??=--??

??-??

,233x ????=??????,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)

1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定?

2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于

()x ?的不动点?

3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥L ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件:

并估计误差。(10分)

四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1

01

1I dx x

=+?

(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组:

12325610413191963630x x x -??????

??????-=??????

??????----??????

(10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231

23202324

812231530

x x x x x x x x x ++=??

++=??-+=? 的迭代格式,并判断其是否收敛?

(10分)

八.就初值问题0

(0)y y

y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分)

参考答案

一. 填空题(每小题3分,共12分) 1. ()1200102()()

()()

x x x x l x x x x x --=

--; ;3. 3,8; 4. 2n+1。

二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)

1. 解:系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 (4分)

对于对称正定阵 A ,从2

1

i

ii ik k a l ==

可知对任意k i 有||ik ii l a ≤。即 L 的元素不会增大,误差可控,不需选主元,所以稳定。 (4分) 2. 解:(1)若()*

*x

x ?=,则称*x 为函数()x ?的不动点。 (2分)

(2)()x ?必须满足下列三个条件,才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点: 1)()x ?是在其定义域内是连续函数; (2分) 2)()x ?的值域是定义域的子集; (2分) 3)()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 (2分)

3.解:参照幂法求解主特征值的流程 (8分)

步1:输入矩阵A ,初始向量v0,误差限,最大迭代次数N; 步2:置k:=1,μ:=0,u0=v0/||v0||∞; 步3:计算vk=Auk-1; 步4:计算

并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;

步5:若|mk- μ |< ,计算,输出mk,uk ;否则,转6; 步6:若k

2376,p x x x =-+(3分)

再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- (3分) 2K = (1分) ()3

2

329156p x x x x =-+- (1分)

(2)()()()()()()2

4311234!

R x f x x x ξ=

--- (2分) 四.解:应用梯形公式得()()11

012

I I f f ≈=+???? (2分) 0.75= (1分)

应用辛普森公式得:()()21104162I I f f f ?

???

≈=

++ ???

????

(2分) 0.69444444= (1分)

应用科特斯公式得:

()()41113703212327190424I I f f f f f ?

???

??

??

≈=

++++ ? ? ???????????

(2分) 0.6931746= (2分) 五.解:由零点定理,cos 0x x -=在(0,

)2

π内有根。 (2分)

由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n

n n n

x x x x n x +-=-=+ (4分)

取04

x π=

得,

12340.73936133;0.739085178

0.7390851330.739085133

x x x x ==== (3分)

故取*

40.739085133x x ≈= (1分)

六.解:对系数矩阵做三角分解:

1112

1321222331323325610041319106361u u u l u u l l u -??????

??????-=????????????---??????

(2分) 125621373414A LU -????

????=-=????

????-????

(4分)

若Ly b =,则12310,1,4y y y ==-=; (2分) 若Ux y =,则(3,2,1)T

x =。 (2分)

七.解:(1)对于方程组,雅可比方法的迭代矩阵为

00.50.51010.50.50B -??

??=--??????

(2分)

其特征多项式为()2

det() 1.25I B λλ

λ

-=+,且特征值为

1230,,λλλ=== (2分) 故有() 1.251B ρ=>,因而雅可比迭代法不收敛。 (1分) (2)对于方程组,Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为

00.50.500.50.5000.5B -????=--????-??

(2分) 其特征值为1230,0.5λλλ=== (2分) 故有()0.51B ρ=<,因而Gauss-Seidel 迭代法收敛。 (1分) 八.证明题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

1. 证:该问题的精确解为0()x

y x y e λ= (2分)

欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ (2分) 对任意固定的i x x ih ==, 有/1/00(1)[(1)]i i x h

x h i y y h y h λλλλ=+=+, (2分)

则0()i

x i y e

y x λ= (1分)

2.证:牛顿迭代格式为125,0,1,2,66n n n

x a

x n x +=

+=L (3分)

因迭代函数为()25,66x a x x ?=+而()35,63a

x x

?'=+

又*x =, (2分) 则

()

3

51

062

3a

?'

=

+

=

≠。 故此迭代格式是线性收敛的。 (2分)

试题

一、填空题(本题24分,每小题3分) 1. 若方程0)(=x f ,可以表成)(x x ?=,那么)(x ?满足 ;则由

迭代公式)(1n n x x ?=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程0)(=x f 的根。

4.区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x 是满足: ; 5.设总体2

~(,)

,X N μσμσ未知,写出μ的95%的置信区间: ;

6.正交表()p q

N L n m ?中各字母代表的含义为 ;

7.取步长2.0=h ,解]1,0[,1

)0(2'∈???=-=x y y

x y 的Euler 法公式为: ;

8.对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有: ;

7. 已知二元非线性函数 221122120()+-2+4,(1,2)T

f x x x x x x x X =+=,该函数从X 0 出发的最速下降方向

为: ;

8.已知二元非线性函数 221122120()+-2+4,(1,2)T

f x x x x x x x X =+=,该函数从X 0 出发的Newton 方向

为: ;。

二、(本题8分)某商场决定营业员每周连续工作5天后连续休息2天,轮流休息。根据统计,商场每天需要的营业员数如下表:

(1) 为商场人力资源部建立线性优化模型安排每天的上班人数,使商场总的营业员数最少。(不要求计算出结果);

(2) 写出所建立的模型的对偶形式。 三、(本题8分)已知)(x f 的数据如表:

试求三次插值多项式P(x),给出相应的误差估计式,并求f (2)的估计值。

四、(本题12分)为了改进录音效果,今比较三种不同磁粉的录音带的放音效果,用这三种不同的磁粉(记为

,,A A A )的录音带录音,假设2~(,)A N μσ,1,2,3i =,得到的数据已汇总成方差分析表如下

(2)问这三种磁粉的平均放音效果有无显著差异?(取0.05α=,0.05(2,12) 3.89F =) 五、(本题10分)利用单纯形方法求解下面的线性规划(要求写出计算过程):

12121212max 4045..3502 2.5700,

Z x x s t

x x x x x x =++≤+≤≥≥

六、(本题10分)试确定求积公式?--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(中的待定系数,使其代数精度尽量

高。

七、(本题12分)为研究家庭收入(元)和食品支出(元)关系,随机抽取

假设Y 与X 之间符合一元线回归模型,(1)试用上表数据建立线性回归方程;(2)检验回归效果是否显著();(3)试解释回归方程的经济意义。(0.0250.05(10) 2.2281,(10) 1.8125t t ==) 八、(本题16分)设方程组为

?????=--=+-=+-7

98978321

3121x x x x x x x

(1)对方程组进行适当调整,使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛;

(2)写出对应的高斯-塞德尔迭代格式; (3)取初始向量T x )0,0,0()

0(=,求迭代次数k 使得3)

()1(10-∞

+≤-k k x x 。

答案

一、填空题(本题24分,每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x x

?=,且在[,]a b 内有唯一根*x ,那么)(x ?满足

,则由迭代公式)(1

n n x x ?=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。

()(x ?满足:1()[,]x C a b ?∈,且[,]x a b ?∈有()[,]x a b ?∈, '()1x L ?≤<;)

2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T

f x x x x x x x X =-++-=,该函数从X 0 出发的最速下降方向为

(最速下降方向为:()4,2T

p =-)

3.已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T

f x x x x x x x X =-++-=,该函数从X 0 出发的Newton 方向为

(Newton 方向为: ()2,0T

p =-)

; 4.已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ,则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ((1)在每个小区间是次数不超过3次的多项式,(2)在区间[,]a b 上二阶导数连续,(3)满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L );

5.设某个假设检验问题的拒绝域为W ,且当原假设H 0成立时,样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为________() ;

6.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信水平愈 大 愈好,而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 变长 ; 7

2

.0=h ,解

]1,0[,1

)0(2'∈??

?=-=x y y

x y 的Euler 法公式为:

(1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L );

8.对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有: (模型误差,观测误差,方法误差,舍入误差。) 。 二、(本题8分)某钢铁公司生产一种合金,要求的成分是:锡不少于28%,锌不多于15%,铅恰好10%,镍介于35%到55%之间,不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼,每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃,并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

(1)建立线性优化模型,安排最优矿物冶炼方案,使每吨合金产品成本最低。(不要求计算出结果); (2)写出所建立的模型的对偶形式。

(1)设 ,1,2,5)j x j =L (

是第j 种矿石的数量,目标是使成本最低,得线性规划模型如下:

123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1

0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s t

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,

1,2,5

j x x x x x j +++=≥=L 4分

(2)上述线性规划模型的对偶形式如下:

1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.7260

0.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.8230

0.080.050.1f y y y y y y s t

y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+345611

12453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈ 4分

三、(本题8分)已知)(x f 的数据如表:

试求三次插值多项式P(x),求(4)f 的近似值,并给出相应的误差估计式。 解:

用Newton 插值法求)(x f 的插值多项式,由所给数据如表可得差商表如下:

由差商表得出)(x f 的三次插值多项式为:

30.25 1.375

()0.5(1)(1)(3)342

N x x x x x x x =+

---- 3分 于是有

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x )

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解,并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证:非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则 故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有 从而有 故,,, 故,,, 4设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数 证明(1)因A正定对称,故当时,,而当时, (2)对任何实数,有 (3)因A正定,故有分解,则 故对任意向量和,总有 综上可知,是一种向量范数。 5 设,,已知方程组的精确解为 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余; (3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解(1) (2)

(3)由事后误差估计式,右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值 证明设,则 又 故 从而当时,即时,有最小值,且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方法收敛较快,其中 解对雅可比方法,迭代矩阵 , 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法,迭代矩阵 ,故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 , 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 , 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为,其中,求证:若,则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵,故 又,故, 即,故故系数矩阵A按行严格对角占优,从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵,考虑迭代格式 求证:(1)对任意初始向量,收敛; (2)收敛到的解。 证明(1)所给格式可化为 这里存在是因为,由A对称正定,,故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为,为相应的特征向量,则与做内积,有 因正定,故,从而,格式收敛。

数值分析试卷及其答案

1、(本题5分)试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ; 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为

数值分析第4章答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解: 求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1012h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =,则

最新应用数值分析第四版第一章课后作业答案

第一章 1、 在下列各对数中,x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解:(1)0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π (2)0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r (3)0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π (4)001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数:x 1=26.3,x 2=0.0250, x 3= 134.25,x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限,并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解:x 1=26.3 n=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 n=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 n=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 n=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式:e r (μ)= e (μ)/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r (μ1)≦1/∣μ1∣[x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3] =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r (μ2)≦1/∣μ2∣[x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4] =0.501937 3、设精确数a>0,x 是a的近似值,x 的相对误差限是0.2,求㏑x 的相对误差限。 解:设=()u f x , ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==

数值分析试卷及答案

二 1求A的LU分解,并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证:非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则 故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。

3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有 从而有 故,,, 故,,,

4设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数 证明(1)因A正定对称,故当时,,而当时, (2)对任何实数,有 (3)因A正定,故有分解,则 故对任意向量和,总有 综上可知,是一种向量范数。 5 设,,已知方程组的精确解为 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余; (3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解(1) (2) (3)由事后误差估计式,右端为 而左端

这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值 证明设,则 又 故 从而当时,即时,有最小值,且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方 法收敛较快,其中 解对雅可比方法,迭代矩阵 , 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法,迭代矩阵

,故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 , 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ,

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1)k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ (2)一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解: 求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1012h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =,则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时, 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 (2)若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1014h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章

第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解:,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,若i x x =∞, 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解:,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量,迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解:y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11,特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量,迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解:y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (0,1……)产生的序列{}k x 收敛于 2 解: ①迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组,其中:?? ?=13A ?? ?2 2,?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(0,1……)求解,问取什么实数α ,可使 迭代收敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2%,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析试卷及其答案2

1、(本题5分)试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ; 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1) 故所求二次拉格朗日插值多项式为 (2)一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为

011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ,经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011 6 a = 故,所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,这样,有 所以,法方程为 解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解: (1)用4n =的复合梯形公式 由于2h =,( )f x =()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式 由于2h =,( )f x =()121,2,3k x k k =+=,()12 220,1,2,3k x k k + =+=,所以,有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解:先消元 再回代,得到33x =,22x =,11x = 所以,线性方程组的解为11x =,22x =,33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解: 设 则由A LU =的对应元素相等,有 1114u = ,1215u =,1316u =, 2111211433l u l =?=,3111311 22 l u l =?=, 2112222211460l u u u +=?=-,2113232311 545l u u u +=?=-,

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第四版习题及答案

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能

使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析试题及答案

一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . ()00l x =0, ()111l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1,()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . 232 x x -+= B .232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题(每小题3分,共15分)

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数()()() 33301213,88C C C ===,那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据: 求分 段线性插值函数,并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈, ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值计算第四章课后习题答案

()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得:将解: 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解: 位有效数字求出这些根,精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ

500 .0105.0102.0||3412≈*?

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ,拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有()和()位有效数字. A.4和3 B.3和2 C.3和4 D.4和4 2. 已知求积公式,则=() A. B.C.D. 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足() A.=0,B.=0, C.=1,D.=1, 4. 设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有()敛速。 A.超线性B.平方C.线性D.三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程(). A.B. C.D. 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则, . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数,那么 4. 因为方程在区间上满足,所以在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数的一组数据:求分段线性插值函数,并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解, , 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 (1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式; (2)对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字). 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯-塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯-塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 (1)请指出为什么初值应取2? (2)请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001. 计算题3.答案

相关文档
最新文档