2020年上海卷数学真题答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷

（上海卷）

一、

填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每

题5分）

1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______ 【分值】4分

【答案】{}2,4

2. 1

lim

31

n n n →∞+=-________

【分值】4分

【答案】1

3

3. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______ 【分值】4分

4. 已知行列式126300a c

d b =，则行列式a c d b

=_______

【分值】4分 【答案】2

5. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______ 【分值】4分 【答案】()13

x

x R ∈

6. 已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】36

7.已知20230x y y x y +≥??

≥??+-≤?，则2z y x =-的最大值为

【分值】5分 【答案】-1

8. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129

10

a a a a ++???=

【分值】5分 【答案】

278

9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有 种排法。 【分值】5分 【答案】180

10. 椭圆22

143

x y +

=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为 【分值】5分 【答案】10x y +-=

11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的

值为2

0x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为

【分值】5分

【答案】()()(),00,11,-∞??+∞

【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x

满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，

又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；

()2,,x x a f x x x a ≠?=?=?，则方程()f x a =

只有0,1两个实数解。 12、已知

是平面内两两互不平等的向量，满足

，且

(其中1,21,2,...i j k ==，，)，则K 的最大值为

【分值】5分 【答案】6

【解析】根据向量减法的运算规律，

可转化为以向量

终点为圆心，作半径11r =和22r =的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，k 的最大值为6.

二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分） 13、下列不等式恒成立的是（） A 、222a b ab +≤ B 、22-2a b ab +≥ C 、2a b ab +≥- D 、2a b ab +≤ 【分值】5分 【答案】B 【解析】无

14、已知直线l 的解析式为3410x y -+=，则下列各式是l 的参数方程的是（ ）

A 、4334x t y t =+??=-?

B 、4334x t y t

=+??=+?

C 、1413x t y t =-??=+?

D 、1413x t y t =+??=+?

【分值】5分 【答案】D 【解析】无

15、在棱长为10的正方体. 1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面11ADD A 上一点，已知点P 到11A D 的距离为3，点P 到1AA 的距离为2，则过点P 且与1A C 平行的直线交正方体于P 、Q 两点，则Q 点所在的平面是（ ） A. 11AA B B B. 11BB C C C. 11CC D D D. ABCD 【分值】5分 【答案】D 【解析】

延长BC 至M 点，使得=2CM 延长1C C 至N 点，使得3CN =,

以C M N 、、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H ， 连接1A P PH HC 、、，则易得四边形1A PHC 为平行四边形， 因为点P 在平面11ADD A 内，点H 在平面11BCC B 内，

且点P 在平面ABCD 的上方，点H 在平面ABCD 下方， 所以线段PH 必定会在和平面ABCD 相交， 即点Q 在平面ABCD 内

16.、若存在a R ∈≠且a 0,对任意的x R ∈，均有

()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：()1:q f x 单调

递减，且()0f x ＞恒成立；()2q f x ：单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是

()f x 具有性质P 的充分条件是（）

A 、只有1q

B 、只有2q

C 、12q q 和

D 、12q q 和都不是 【分值】5分 【答案】C

【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在a R ∈≠且a 0， 则对于10q a ，＞时，易得函数()f x 具有性质P ；

对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+＜，()()00f a f x ==，

所以()()()()()0=f x a f x x f x f x f a +=++＜，所以此时函数()f x 具有性质P .

三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割

17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。 （1）求圆柱体的表面积； （2）正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转2

π

到11A BCD ，求1A D 与平面ABCD 所成的角。 【分值】

【答案】（1）4π； （2

）arcsin 3

综合题分割

18、已知f(x)=sin (0)x ωω>.

（1）若f(x)的周期是4π，求ω，并求此时1

f ()2

x =

的解集； （2）已知=1ω

，2g()()()()2x f x x f x π=--，x 0,4π??

∈????

，求g(x)的值域.

【分值】

【答案】（1）1=2ω，5x x|x=4x 4,33k k k Z ππππ??

∈+=

+∈????

或; （2）1-,02??

????

综合题分割

19、已知：=x q ν，x (0,80]∈，且80

1100-135(),(0,40)

=(0)3

(40)85,[40,80]

x x k k x x ν?∈?>??--+∈?， （1）若v>95，求x 的取值范围；

（2）已知x=80时，v=50，求x 为多少时，q 可以取得最大值，并求出该最大值。 【分值】

【答案】（1）80

x (0,

)3

∈； （2）480x 7=时，max 28800

q =7

综合题分割

20、双曲线22

122:14x y C b

-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，

(,)A A A x y ，曲线22

22221,44,A A x y x x b x y b x x ?-=>?

Γ??+=+>?。

（1）若6A x =，求b ；

（2）若b 5=，2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足

18PF =，求∠12F PF ；

（3）过点2

(0,2)2b S +且斜率为2b -的直线l 交

曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示，并求出

的取值范围。

【分值】 【答案】（1）2； （2）

11

16

； （3）(625,)++∞；

【解析】（1）若6A x =，因为点A 为曲线1C 与曲线2C 的交点，

∵22

2222

144A A x y b x y b ?-=???+=+?，解得2

2y b ?=??=??，

∴2b =

（2）方法一：由题意易得12F F 、为曲线的两焦点，

由双曲线定义知：212PF PF a =-，

18,24PF a ==，∴24PF =

又∵b =126F F = 在12PF F ?中由余弦定理可得：

2

2

2

1212

1212

11cos 216

PF PF F F F PF PF PF +-∠=

=

??

方法二：∵b =22

22145(3)64x y x y ?-=?

??++=?

，解得P ，

（3）设直线24

:22

b b l y x +=-+

可得原点O 到直线l

的距离d =

=

=所以直线l 是圆的切线，切点为M, 所以2OM k b =

，并设2:OM l y x b =，与圆2224x y b +=+联立可得222244x x b b

+=+， 所以得,2x b y ==，即(,2)M b ，

注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2A y ?时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，

由22

2222

144A

x y b x y b ?-=???+=+?，得42

2

A b y a b =+， 所以有4

2

44b b

?+

，解得22b ?+

，或22b ?-

又因为由

上的投影可知：

所以

21.有限数列{}n a ，若满足12131||||...||m a a a a a a -≤-≤≤-，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .

（1） 判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p ，请说明理由.

（2） 若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围. （3） 若n a 是1,2,...,m 的一个排列1(4),(1,2...1),{},{}k k n n m b a k m a b +≥==-都具

有性质p ，求所有满足条件的{}n a . 【分值】

【答案】（1）对于第一个数列有|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=，

满足题意，该数列满足性质p

对于第二个数列有|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=不满足题意，该数列不满足性质p .

（2）由题意可得，{}111,2,3,...,9n n q q n ---∈≥ 两边平方得： 2-2-1212+1n n n n q q q q -+-≥

整理得：()11

(1)120n n q q q q --??-+-??≥

当1q ≥时，得1(1)20n q q -+-≥， 此时关于n 恒成立， 所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以(2)(1)0q q +-≥， 所以q ≤-2或者q ≥l ，所以取q ≥1.

当01q ＜≤时，得1(1)2n q q -+-≤0, 此时关于n 恒成立，

所以等价于2n =时(1)20q q +-≤，所以(2)(1)0q q +-≤，

所以21q -≤≤,所以取01q ＜≤。

当10q -≤＜时，得11

(1)20n n q q q --??+-??≤。

当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤, 很明显成立， 当n 为偶数的时候，得1(1)20n q q -+-≥， 很明显不成立， 故当10q -≤＜时，矛盾，舍去。

当1q -＜时，得11(1)20n n q q q --??+-??≤。

当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤, 很明显成立， 当n 为偶数的时候，要使1(1)20n q q -+-≥恒成立， 所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以()()021q q +-≥， 所以q ≤-2或者q ≥1，所以取q ≤-2。

综上可得，(]

(),20,q ∈-∞-+∞。

（3）设1=a p {}3,4,32p m m ∈--…,，

因为1a p =，2a 可以取1p -或者1p +，3a 可以取2p -或者+2p 。 如果2a 或者3a 取了3p -或者3p +，将使{}n a 不满足性质p 所以，{}n a 的前五项有以下组合：

①1a p =，21a p =-，31a p =+，42a p =-，52a p =+， ②1a p =，21a p =-，31a p =+，42a p =+，52a p =-， ③1a p =，2+1a p =，31

a p =-，

42a p =-，52a p =+，

④1a p =，2+1a p =，31a p =-，42a p =+，52a p =-，

对于①，11b p =-，212b b -=，311b b -=，与{}n b 满足性质p 矛盾，舍去。 对于②，11b p =-，212b b -=，313b b -=，412b b -=与{}n b 满足性质p 矛盾，舍去。

对于③，1+1b p =，212b b -=，313b b -=，411b b -=与{}n b 满足性质p 矛盾，舍去。

对于④，1+1b p =，212b b -=，311b b -=，与{}n b 满足性质p 矛盾，舍去。 所以{}3,4,32p m m ∈--…,，均不能同时使{}n a ，{}n b 都具有性质p 。 当=1p 时，有数列{}n a ：1,23,1,m m -，…,满足题意。

当=p m 时，时有数列{}n a ：,1,321m m -…,,,满足题意。

当=2p 时，有数列{}n a ：21,3,1,m m -，…,满足题意。

当=p m 时，有数列{}n a ：1,,2,3,321m m m m ---…,,,满足题意。 故满足题意的数列只有上面四种。