西交大复变函数考查课习题及答案

西安交通大学现代远程教育考试卷及答案

课 程：复变函数（A ）

专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中

期末

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ）

A ．在有限个点可导

B ．存在任意阶导数

C ．在无穷多个点可导

D ．存在有限个点不可导

2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么 ()()Re ,0s f z =（ ）

A ．2i π

B ．2i π-

C ．1

D ．-1

3、函数()()()411

++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=（

）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4、下列命题正确的是（ ）

A ．i i 2<

B ．零的辐角是零

C ．仅存在一个数z,使得z z -=1

D ．iz z i =1

5、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）

A ．()∑∞

=+-02121n n n n z （z <1） B ．()∑∞=+-01

221n n n n

z （z <1）

C ．()∑∞=++-012121n n n n z （z <1）

D ．()∑∞=-0221n n

n n z

（z <1）

6、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ）

A ．()21z

e z

f z -= B ．()z z z z f 1sin -= C ．()z z z z f cos sin += D ．()z

e z

f z 111--= 7、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-?dz i a z z C 2cos （ ）

A ．0

B ．

2i e π C ．2ie π D ．icosi

8、下列函数是解析函数的为（ ）

A ．xyi y x 222--

B ．xyi x +2

C ．)2()1(222x x y i y x +-+-

D ．33iy x +

9、下列命题中，不正确的是（ ）

A ．如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点，那么()()

Re ,0s f z ∞=

B ．若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数，则()f z 在D 内解析

C ．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数

D ．函数22e i e i

ω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()()

2222f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 A ．全平面 B ．2x =

C ．2y =

D ．处处不可导

二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×）

1、对任意的z ，()

()2Ln z 2Ln z =.（ ） 2、在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈.（ ）

3、区域()0Im z ＞是无界的单连通的闭区域。（ ）

4、若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点。（ ）

5、若(),u x y 与(),v x y 都是调和函数，则()()(),,f z u x y iv x y =+是解析函数。（ ）

6、解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+的(),u x y 与(),v x y 互为共轭调和函数。（ ）

7、如果()f z 在0z 连续，那么()0f z '存在。（ ）

8、解析函数的导函数仍为解析函数。（ ）

9、如果()f z 在0z 解析，那么()f z 在0z 连续。（ ）

10、解析函数的零点是孤立的。（ ）

11、单位脉冲函数()t δ与常数1构成一个傅氏变换对。（ ）

12、如果(),u x y ，(),v x y 的偏导数存在，那么()f z u iv =+可导。（ ）

13、因为sin 1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。（ ）

14、在0z 处可导的函数，一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。（ ）

15、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ）

三、解答题（每题5分，共50分）

1、己知F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换。

2、求拉普拉斯逆变换1L -]5

4[2++s s s . 3、?=13z dz z z cos （积分曲线取正向）

4、求幂级数∑∞=-0

2!)1(n n

n z 的和函数，并注明其收敛域。 5、设)]()([)(00ωωδωωδπω+--?=i F ，求其像原函数)(t f .

6、求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3sin )(z

z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11e )(-=z z z f . 7、应用傅代变换解微分方程：)()()(t t H t H δ=+' +∞<<∞-t

8、请指出指数函数z e w =、对数函数z w ln =、正切函数z w tan =的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。

9、求以()222

121y x y x v +-=,为虚部的解析函数()z f ，使()00=f . 10、计算积分：

?+-C n z z z 10)(d ，其中C 为以0z 为圆心，r 为半径的正向圆周，n 为正

整数。 复变函数

一、1B 2B 3C 4B 5B 6C 7B 8B 9A 10A

二、1╳ 2╳ 3╳ 4√ 5√ 6、╳ 7、╳ 8、√ 9、√ 10、╳ 11、╳

12、╳ 13、╳ 14、╳ 15、╳

三、1、

2、

3、解：

4、解：

．

5、解：

6、解：（1）为的可去奇点,

;

（2）为的三阶极点, 为的一阶极点。

,

;

（3）为的本性奇点,

,

.

7、解：∵F=F

∴ F [H(t)]+F[H(t)]=1

∴F[H(t)]=

∵衰减函数 F[f(t)]=

∴H(t)=

8、答：（1）指数函数的解析域为：整个复平面，解析域是无界开区域；（2）对数函数的解析域为：除去原点及负半实轴，解析域是无界开区域；

（3）正切函数的解析域为：除去点，解析域是无界开区域。

9、解：

由得

10解：设的方程为,则

所以：（当时）；（当时）。