数学建模与人才培养--浙江大学杨启航
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下面证明猜想 k R
l
猜测证明如下： （方法一）显然， 由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F′B围成 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点，若不然，设 Γ为最短路径，Γ过R外的一点M，则 必存在直 线l分离M与R，由于路径Γ是连续曲线，由A沿Γ 到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。这样，直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度，与Γ是A到B的 最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。 不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又 直线段AE是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短 路径，猜测得证。 M M2 l M
（三）尽量多选有启发性、学生感兴趣的案例
为什么要用三级火箭发射人造卫星（为什 么不能走微型化道路，卫星为什么要很快 进入轨道，卫星的最优结构设计） 通讯卫星的频道与转换开关的设计（双随 机矩阵空间及其维数，矩阵分解等） 幻方的构造及研究（线性空间及基底、欧 拉方与正交试验等） 信息论的建立及应用举例等
一般的双种群系统
仍用x1(t)和x2(t)记t时刻的种群量（也可以是种群密度）， 设
dxi dt K i x i (i 1,2) Ki为种群i的净相对增长率。
Ki随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同， 即Ki应为x1、x2的函数。Ki究竟是一个怎样的函数，我们没 有更多的信息。不妨再次采用一下工程师们的原则，采用线 性化方法。这样，得到下面的微分方程组：
l2
D B
（二）在模型讲解中介绍建模方法与技巧
（初等方法）经验公式的建立、量纲分析 法建模、冲量分析、比例关系的利用等 （微分方程方法建模）房室系统方法、集 中参数法与分布参数法建模、工程师原 则、统计筹算率等 （逻辑模型）公理化方法、奇偶性校验、 对称性利用等
例5（希尔密码） 目的：改变字母出现的频率 工具：应用矩阵乘法 困难：逆变换的实现有困难 解决办法：以逆元素乘法代替除法（需 要附一些条件）。使学生认识到有时要 创造性地运用知识和技能。 例6 从p-p模型到一般双种群系统模型到 无圈定理（统计筹算率-工程师原则-生态 系统的三种极本类型-平衡点稳定性研究
数学建模与人才培养
浙江大学数学系杨启帆
为什么要开设数学建模和数学实验课 学校应当培养什么样的学生？ 浙大老校长竺可桢教授曾对学生提出过这样的 要求：求是创新 用今天的话说，就是：学习新知识，提高综合素 质与能力 新知识：数学知识、专业知识、计算机知识、 外语知识、文学艺术知识等等等等 能力：收集处理数据的能力、观察能力、想 象能力、分析能力、逻辑推理能力、应用数学 知识解决实际问题的能力、计算机使用与编程 等能力、外语能力、写作能力、与人合作能力 等。
浙江大学数学建模教学情况简介 （一）教材建设（教学内容选取）
在案例选取时要有一定的目的，如： 开拓学生的视野（案例涉及面要广） 建模技巧、方法的引入、说明某一道理等 尽量避免为建模而建模，避免类似方法和 模型的重叠，避免模型罗列。（这样做 可以保护和激发学生的学习积极性）
例1
交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 多久。（引导学生培养观察能力、学会找到研究 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 问题的突破口）
（用数学建模解决实际问题即用数学思想实现某种思想）
例3 山崖高度的估算 （研究问题的步步深入）
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
x1 ( a0 a1 x1 a 2 x2 ) x1 （3.33） x2 (b0 b1 x1 b2 x2 ) x2
（3.33）不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相 互间存在其他关系的种群系统。
（3.33）式的一些说明
式中a1、b2为本种群的亲疏系数，a2、b1为两种群间的 交叉亲疏系数。a2b1≠0时，两种群间存在着相互影响，此时 又可分为以下几类情况： （i）a2>0，b1>0，共栖系统。 （ii）a2<0，b1>0（ 或a2>0，b1<0 ），捕食系统。 （iii）a2<0，b1<0，竞争系统。 （i）—（iii）构成了生态学中三个最基本的类型，种群 间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。
将湖想象成凸出地面的木桩， 在AB间拉一根软线，当 线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、 可以如下得到最短路径： 过A作圆的切线切圆于E，过 B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 B作圆的切线切圆 于F。最短路径为由线 段AE、弧EF 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，AE′，弧 制下，问怎样的路径最近。 E′F′，F′B连接而成的连续曲线也是）。 E F
司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 马上要转红灯了，假如你能停住，请 律计算出来 （ 留作习题）。 立即停车。停车是需要时间的，在这 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 一步，先计算出离 L。这就是说，在离街口距离为 L L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 处存在着一条停车线（尽管它没被画 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D） 在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮 /v。 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
dt ds dr dt
，故ds=2dr
dθ
dr
A1
ds
( 图3-2可看出，ds ) 2 ( dr ) 2 ( rd ) 2
B
θ 图3-2
A
故有: 3( dr ) 2 r 2 ( d ) 2 即:
dr r 3
3
d
（3.3） （3.4）
解为：r Ae
追赶方法如下：
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按 （3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。
O
A
E′
r
B
F′
以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此， 先介绍一下凸集与凸集的性质。 定义2.1（凸集）称集合 R为凸集，若x1、x2∈R及λ∈[0， 1]，总有λx1+（1+λ）x2∈R。即若x1、x2∈R，则x1、x2 的连线必整个地落 在R中。 定理2.2（分离定理）对平面中的凸 集R与R外的一点K， 存在直线 l , l 分离R与K，即R与K分别位于 l 的两侧（注： 对一般的凸 集R与R外的一点K，则存在超平面分 离R与 K），见图。
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组： g 1 kt1 g h k ( t1 k e ) k 2 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， h 340t 2 为了估算崖高 t t 3.9 竟要去解一个 1 2 非线性主程组 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 似乎不合情理 用方法二先求一次 h，令t =h/340，校正t，求石
F m
令k=K/m，解得
v ce
v g k
dt
mg Kv
kt
g k
代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
g
再积分一次，得：
k g g kt h t 2 e c k k
e kt
代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
h
g k
t
g k
数学建模和数学实验系列教学活动能较好 地实现上述目标，它至少具有以下特征：
能培养学习兴趣（没有兴趣的学习是被动的） 数学建模课鼓励学生多动脑脑筋，（不能光老 师讲学生听，要提倡让学生主动学习…） 数学建模注重知识更新，让学生多接触前沿学 科知识，接触科研实际。 数学建模为学生提供了参与科研实践的机会 学习数学建模、参加数学建模实践和数学建模 竞赛能使学生增长知识，得到全方位的锻炼
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
h
1 2
gt 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv
2
e
kt
g k
2
g k
(t
1 k
e
kt
)Baidu Nhomakorabea
g k
2
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑 进一步深入考虑
D L
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 （数学建模要引导学生应用数学知识去实现某种想法）
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
假设潜艇发现自己目标已暴露，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 程为r=r(θ)，见图3-2。 由题意， 2
1
E
F
O
Γ
A
E′
r
B
若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组 成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域 的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定 相切。 根据猜测不难看出， 例5中的条件可以大大放 还可用微积分方法求弧长，根据计算证 到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中， 松，可以不必 设AB过圆心，甚至可不必设湖 明满足限止条件的其他连续曲线必具有 其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间 是圆形的。例如对 下图，我们可断定由A至B 更大的长度；此外，本猜测也可用平面 中去。1973年，J.W.Craggs证明了以上结果： 的最短路径必 为l1与l2之一，其证明也不难类 几何知识加以证明等。 似给出。 A l1
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
2
学生在三道竞赛题中的发挥
小行星撞击地球
污染物的扩散（略） 卫星开关的设计（见后）
例4（最短路径）数学是一种重要工具，数学
学得越好、基础越扎实、认识越深入
（例7）2004年浙江大学数学建模竞赛 （B题）通讯卫星上的开关设置
地面上存在着n个接收站与n个发送站，而在通 讯卫星上则设置了若干种开关模式。开关模式可用 矩P=(pij)表示，若卫星可接收发送站i发射的信息 并将信息送回地面的接收站j，矩阵中的元素pij =1，否则pij =0。通讯卫星上的接收发送任务也 可以用一个矩阵T=（tij）来表示，其元素tij为需 经通讯卫星传递的由i发点发送到j接收点的信息量 的传送时间长度。由于技术原因，当发送站i在发送 给接收站j信息时，它不能同时发送给别的接收站 信息；同样，当接收站j在接收发送站i的信息时， 也不能同时接收其他发送站发送的信息。你的任务 是：
l
猜测证明如下： （方法一）显然， 由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F′B围成 的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R 外的点，若不然，设 Γ为最短路径，Γ过R外的一点M，则 必存在直 线l分离M与R，由于路径Γ是连续曲线，由A沿Γ 到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。这样，直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度，与Γ是A到B的 最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。 不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又 直线段AE是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短 路径，猜测得证。 M M2 l M
（三）尽量多选有启发性、学生感兴趣的案例
为什么要用三级火箭发射人造卫星（为什 么不能走微型化道路，卫星为什么要很快 进入轨道，卫星的最优结构设计） 通讯卫星的频道与转换开关的设计（双随 机矩阵空间及其维数，矩阵分解等） 幻方的构造及研究（线性空间及基底、欧 拉方与正交试验等） 信息论的建立及应用举例等
一般的双种群系统
仍用x1(t)和x2(t)记t时刻的种群量（也可以是种群密度）， 设
dxi dt K i x i (i 1,2) Ki为种群i的净相对增长率。
Ki随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同， 即Ki应为x1、x2的函数。Ki究竟是一个怎样的函数，我们没 有更多的信息。不妨再次采用一下工程师们的原则，采用线 性化方法。这样，得到下面的微分方程组：
l2
D B
（二）在模型讲解中介绍建模方法与技巧
（初等方法）经验公式的建立、量纲分析 法建模、冲量分析、比例关系的利用等 （微分方程方法建模）房室系统方法、集 中参数法与分布参数法建模、工程师原 则、统计筹算率等 （逻辑模型）公理化方法、奇偶性校验、 对称性利用等
例5（希尔密码） 目的：改变字母出现的频率 工具：应用矩阵乘法 困难：逆变换的实现有困难 解决办法：以逆元素乘法代替除法（需 要附一些条件）。使学生认识到有时要 创造性地运用知识和技能。 例6 从p-p模型到一般双种群系统模型到 无圈定理（统计筹算率-工程师原则-生态 系统的三种极本类型-平衡点稳定性研究
数学建模与人才培养
浙江大学数学系杨启帆
为什么要开设数学建模和数学实验课 学校应当培养什么样的学生？ 浙大老校长竺可桢教授曾对学生提出过这样的 要求：求是创新 用今天的话说，就是：学习新知识，提高综合素 质与能力 新知识：数学知识、专业知识、计算机知识、 外语知识、文学艺术知识等等等等 能力：收集处理数据的能力、观察能力、想 象能力、分析能力、逻辑推理能力、应用数学 知识解决实际问题的能力、计算机使用与编程 等能力、外语能力、写作能力、与人合作能力 等。
浙江大学数学建模教学情况简介 （一）教材建设（教学内容选取）
在案例选取时要有一定的目的，如： 开拓学生的视野（案例涉及面要广） 建模技巧、方法的引入、说明某一道理等 尽量避免为建模而建模，避免类似方法和 模型的重叠，避免模型罗列。（这样做 可以保护和激发学生的学习积极性）
例1
交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 多久。（引导学生培养观察能力、学会找到研究 刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动 后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对 问题的突破口）
（用数学建模解决实际问题即用数学思想实现某种思想）
例3 山崖高度的估算 （研究问题的步步深入）
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
我有一只具有跑 表功能的计算器。
x1 ( a0 a1 x1 a 2 x2 ) x1 （3.33） x2 (b0 b1 x1 b2 x2 ) x2
（3.33）不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相 互间存在其他关系的种群系统。
（3.33）式的一些说明
式中a1、b2为本种群的亲疏系数，a2、b1为两种群间的 交叉亲疏系数。a2b1≠0时，两种群间存在着相互影响，此时 又可分为以下几类情况： （i）a2>0，b1>0，共栖系统。 （ii）a2<0，b1>0（ 或a2>0，b1<0 ），捕食系统。 （iii）a2<0，b1<0，竞争系统。 （i）—（iii）构成了生态学中三个最基本的类型，种群 间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成。
将湖想象成凸出地面的木桩， 在AB间拉一根软线，当 线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、 可以如下得到最短路径： 过A作圆的切线切圆于E，过 B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 B作圆的切线切圆 于F。最短路径为由线 段AE、弧EF 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，AE′，弧 制下，问怎样的路径最近。 E′F′，F′B连接而成的连续曲线也是）。 E F
司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过 长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也 是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 马上要转红灯了，假如你能停住，请 律计算出来 （ 留作习题）。 立即停车。停车是需要时间的，在这 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 一步，先计算出离 L。这就是说，在离街口距离为 L L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 处存在着一条停车线（尽管它没被画 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D） 在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮 /v。 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
dt ds dr dt
，故ds=2dr
dθ
dr
A1
ds
( 图3-2可看出，ds ) 2 ( dr ) 2 ( rd ) 2
B
θ 图3-2
A
故有: 3( dr ) 2 r 2 ( d ) 2 即:
dr r 3
3
d
（3.3） （3.4）
解为：r Ae
追赶方法如下：
先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按 （3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。
O
A
E′
r
B
F′
以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此， 先介绍一下凸集与凸集的性质。 定义2.1（凸集）称集合 R为凸集，若x1、x2∈R及λ∈[0， 1]，总有λx1+（1+λ）x2∈R。即若x1、x2∈R，则x1、x2 的连线必整个地落 在R中。 定理2.2（分离定理）对平面中的凸 集R与R外的一点K， 存在直线 l , l 分离R与K，即R与K分别位于 l 的两侧（注： 对一般的凸 集R与R外的一点K，则存在超平面分 离R与 K），见图。
还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个 方程组： g 1 kt1 g h k ( t1 k e ) k 2 这一方程组是 非线性的，求 解不太容易， h 340t 2 为了估算崖高 t t 3.9 竟要去解一个 1 2 非线性主程组 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 似乎不合情理 用方法二先求一次 h，令t =h/340，校正t，求石
F m
令k=K/m，解得
v ce
v g k
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mg Kv
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代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有
g
再积分一次，得：
k g g kt h t 2 e c k k
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代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：
h
g k
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数学建模和数学实验系列教学活动能较好 地实现上述目标，它至少具有以下特征：
能培养学习兴趣（没有兴趣的学习是被动的） 数学建模课鼓励学生多动脑脑筋，（不能光老 师讲学生听，要提倡让学生主动学习…） 数学建模注重知识更新，让学生多接触前沿学 科知识，接触科研实际。 数学建模为学生提供了参与科研实践的机会 学习数学建模、参加数学建模实践和数学建模 竞赛能使学生增长知识，得到全方位的锻炼
方法一
假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式
h
1 2
gt 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻 力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下 落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可 得： dv
2
e
kt
g k
2
g k
(t
1 k
e
kt
)Baidu Nhomakorabea
g k
2
①
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 多测几次，取平均 值 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可 得出前面不考虑空气阻力时的结果。 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 再一步深入考虑 进一步深入考虑
D L
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了
我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 （数学建模要引导学生应用数学知识去实现某种想法）
这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：
假设潜艇发现自己目标已暴露，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 程为r=r(θ)，见图3-2。 由题意， 2
1
E
F
O
Γ
A
E′
r
B
若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组 成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域 的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定 相切。 根据猜测不难看出， 例5中的条件可以大大放 还可用微积分方法求弧长，根据计算证 到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中， 松，可以不必 设AB过圆心，甚至可不必设湖 明满足限止条件的其他连续曲线必具有 其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间 是圆形的。例如对 下图，我们可断定由A至B 更大的长度；此外，本猜测也可用平面 中去。1973年，J.W.Craggs证明了以上结果： 的最短路径必 为l1与l2之一，其证明也不难类 几何知识加以证明等。 似给出。 A l1
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
2
学生在三道竞赛题中的发挥
小行星撞击地球
污染物的扩散（略） 卫星开关的设计（见后）
例4（最短路径）数学是一种重要工具，数学
学得越好、基础越扎实、认识越深入
（例7）2004年浙江大学数学建模竞赛 （B题）通讯卫星上的开关设置
地面上存在着n个接收站与n个发送站，而在通 讯卫星上则设置了若干种开关模式。开关模式可用 矩P=(pij)表示，若卫星可接收发送站i发射的信息 并将信息送回地面的接收站j，矩阵中的元素pij =1，否则pij =0。通讯卫星上的接收发送任务也 可以用一个矩阵T=（tij）来表示，其元素tij为需 经通讯卫星传递的由i发点发送到j接收点的信息量 的传送时间长度。由于技术原因，当发送站i在发送 给接收站j信息时，它不能同时发送给别的接收站 信息；同样，当接收站j在接收发送站i的信息时， 也不能同时接收其他发送站发送的信息。你的任务 是：