2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合A={x∈Z|?2?x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()

A. {0,2,4}

B. {0,2}

C. {0,1,2}

D. ?

2.已知函数f(x)=lg(x?1)+x?3，则函数f(x)的零点所在的区间是()

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

3.已知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=?x2+x，则不等式xf(x)<0的解集为()

A. (?∞,?1)∪(0,1)

B. (?1,0)∪(1,+∞)

C. (?1,0)∪(0,1)

D. (?∞,?1)∪(1,+∞)

4.关于函数f(x)=log3x，下列说法正确的是()

A. 在上单调递增

B. 在上单调递减

C. 图象关于x轴对称

D. 图象关于点对称

5.已知幂函数f(x)=(m2?2m?2)?x2?m在上单调递增，则m的值为()

A. ?1

B. ?1或3

C. 1或?3

D. ?3

6.下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递增的是()

A. f(x)=?x3

B. f(x)=√x

C. f(x)=x+1

x D. f(x)=ln1?x

1+x

7.常见的三阶魔方约有4.3×1019种不同的状态，将这个数记为A，二阶魔方有560×38种不同的

状态，将这个数记为B，则下列各数与A

B 最接近的是()(参考数据：log310≈2.1，4.3

560

≈0.6×3?4)

A. 0.6×3?28

B. 0.6×1028

C. 0.6×328

D. 0.6×332

8.已知函数f(x)=lnx+(a?2)x?a+3，(a>0)，若f(x)>0有且只有一个整数解，则a的取

值范围是()

A. (0,1?ln2)

B. (0,1?ln2]

C. [1?ln2,2)

D. (1?ln2,2)

9.已知x>0，函数f(x)=(e x?a)2+(e?x+a)2

e x?e?x

的最小值为6，则a=()

A. ?2

B. ?1或7

C. 1或?7

D. 2

10.若f(x)是偶函数，则f(x)=f(?x)=f(|x|).()

A. 正确

B. 错误

二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.计算：_______ ；e0+√(1?√2)2?816=_______．

12.函数f(x)=x?4

3?x

的值域为______ ．

13.函数f(x)=log a(6?ax)在[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是______。

14.若函数f(x)=2x

x2+1

?a有零点，则实数a的值范围是_________．

15.函数f(x)=1

x

，x∈[2,3]的最大值为__________．

16.函数f(x)=x?3

x+3

，g(x)=x+3，则f(x)?g(x)=______ ．

)=x+√1+x2(x<0)，则函数f(x)的解析式为__________．

17.已知函数f(1

x

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

18.已知全集U=R，集合A={x|9x?14?x2≥0}，B={x|0

2a}．

(I)求A∪B，(?U A)∩B；

(II)如果A∩C=?，求实数a的取值范围．

19.有两个投资项目A、B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B

项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.(注：利润与投资单位：万元)

(1)分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；

(2)现将x(0≤x≤10)万元投资A项目，10?x万元投资B项目.?(x)表示投资A项目所得利润

与投资B项目所得利润之和.求?(x)的最大值，并指出x为何值时，?(x)取得最大值．

20.用单调性定义证明函数f(x)=x+2

在(1,+∞)上单调递减．

x?1

21.已知f(x)=(|x?1|?3)2．

(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)?ax?2有三个零点，求实数a的值；

(Ⅱ)若对任意x∈[?1,1]，均有f(2x)?2k?2x≤0恒成立，求实数k的取值范围．

22.已知函数f(x)=|x2?ax|(a∈R)．

(1)当a=2

时，写出函数f(x)的单调区间；(不要求写出过程)

3

(2)当a=?2时，记函数g(x)=f(x)?t,(t∈R)，讨论函数g(x)的零点个数；

(3)记函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式，并求g(a)的最小值。

-------- 答案与解析 --------1.答案：B

解析：

【分析】

本题考查集合的交集运算，属于基础题

【解答】

解：集合A={?2,?1,0,1,2}，B={0,2,4}，

所以A∩B={0,2}．

故选B．

2.答案：C

解析：

【分析】

本题考查零点存在性定理，根据零点存在性定理逐项判断即可，属基础题．【解答】

解：∵函数f(x)=lg(x?1)+x?3，

∴函数定义域为(1,+∞)，排除A，

f(2)=lg(2?1)+2?3=?1<0，f(3)=lg(3?1)+3?3=lg2>0，∴f(2)f(3)<0，

∴函数零点所在区间为(2,3)．

故选C．

3.答案：D

解析：解：当x≥0时，f(x)=?x2+x<0得，

x>1；

∵f(x)是奇函数，

则当x<0时，f(x)>0的解为

x

故不等式xf(x)<0的解集为

(?∞,?1)∪(1,+∞)；

故选D．

由题意讨论x≥0及x<0讨论f(x)的取值范围，从而求解．

本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．

4.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查对数函数及其性质，属于基础题．

【解答】

解：∵函数，

∴f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)在(0,+∞)上单调递增，

故A正确，B错误，

对数函数没有对称性，故C，D错误，

故选A．

5.答案：A

解析：

【分析】

本题考查幂函数的定义及性质，属于基础题．

由函数是幂函数，系数为1得m=3或?1，再由单调性即可得解．

【解答】

解：因为f(x)=(m2?2m?2)?x2?m是幂函数，

故m2?2m?2=1，解得m=3或?1，

又因为函数在上单调递增，则m=?1．

故选A．

6.答案：C

解析：解：函数f(x)=?x3是奇函数，但在区间(1,+∞)上单调递减；

函数f(x)=√x是非奇非偶函数；

函数f(x)=x+1

x

是奇函数，

f′(x)=1?1

x2

>0在区间(1,+∞)上恒成立，

故函数在区间(1,+∞)上单调递增；

函数f(x)=ln1?x

1+x

是定义在(?1,1)上的奇函数；

故选：C．

分析给定函数的奇偶性及单调性，可得答案．

本题考查的知识是函数的单调性，函数的奇偶性，难度不大，属于基础题．

7.答案：C

解析：

【分析】

本题考查指、对数的运算以及对数的应用，考查了计算能力，属于基础题．

由题意，log310≈2.1，从而A=4.3×1019≈4.3×32.1×19≈4.3×340，进而可求A

B

的近似值．【解答】

解：因为log310≈2.1，

所以A=4.3×1019≈4.3×32.1×19≈4.3×340，

所以A

B =4.3×340

560×38

≈0.6×3?4×332=0.6×328．

故选C．8.答案：B

解析：解：∵f(x)=lnx+(a?2)x?a+3，令lnx+(a?2)x?

a+3=0，

∴lnx=(2?a)x+a?3，

∵y=(2?a)x+a?3，

∴2x?y?3+(1?x)a=0，

∴{2x?y?3=0

1?x=0，

解得x=1，y=?1，

即直线y=(2?a)x+a?3恒过点，(1,?1)，ln1=0，

可知f(1)=lnx+(a?2)x?a+3=1>0，

f(x)>0有且只有一个整数解，必须f(2)≤0，

分别画出y=lnx，与y=(2?a)x+a?3的图象，

如图所示：

即ln2+2(a?2)?a+3≤0，

解得a≤1?ln2，

∵a>0，

∴0

故选：B．

由f(x)=lnx+(a?2)x?a+3=0，可得lnx=(2?a)x+a?3，分别画出y=lnx，与y=(2?a)x+a?3的图象，f(x)>0有且只有一个整数解，x1解使得f(x1)>0，则f(2)≤0，解得即可

本题考查了函数图象和函数零点的问题，考查了数形结合思想、转化思想，是一道中档题．

9.答案：B

解析：解：∵x>0，

∴e x?e?x>0

∴f(x)=(e x?a)2+(e?x+a)2

e x?e?x =(e x?e?x)2?2a(e x?e x)+2a2+2

e x?e?x

=(e x?e?x)+2a2+2

e x?e?x

?2a≥2√2a2+2?2a，

∵函数f(x)=(e x?a)2+(e?x+a)2

e x?e?x

的最小值为6，

∴2√2a2+2?2a=6，

解得a=?1或7，

故选：B．

根据基本不等式即可求出函数的最值．

本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题

10.答案：A

解析：

【分析】

本题考查偶函数的定义及性质，若f(x)是偶函数，则f(x)=f(?x)=f(|x|).属于基础题．【解答】

解：因为f(x)是偶函数，所以f(?x)=f(x)=f(|x|)．

故选A．

11.答案：2 ；0

解析：

【分析】

本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．

利用对数、指数性质、运算法则直接求解．

【解答】

解：log69+2log62=log69+log64=log636=2；

e0+√(1?√2)2?816=1+√2?1?√2=0．

故答案为2；0．

12.答案：(?∞,?1)∪(?1,+∞)

解析：解：∵函数f(x)=x?4

3?x

，

∴函数f(x)=x?4

3?x =?1+1

x?3

，

∵函数y=1

x

的值域为(?∞,0)∪(0,+∞)，

∴函数y=1

x?3

的值域为(?∞,0)∪(0,+∞)，

∴函数f(x)=x?4

3?x =?1+1

x?3

的值域：(?∞,?1)∪(?1,+∞)，

故答案为(?∞,?1)∪(?1,+∞)．

化简函数f(x)=x?4

3?x =?1+1

x?3

，利用函数y=1

x

的值域为(?∞,0)∪(0,+∞)求解．

本题考查了函数的性质，运用求解分式函数的值域问题．

13.答案：(1,2)

解析：

【分析】

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，属于基础题．【解答】

解：∵函数f(x)=log a(6?ax)在[1,3]上单调递减，

∴{a>1

6?1×a>0

6?3a>0

，

解得a的取值范围为(1,2)，

故答案为(1,2)．

14.答案：[?1,1]

解析：

【分析】

本题考查函数的零点与方程根之间的关系，将函数有零点转化为方程有解．【解答】

解：g(x)=2x

x2+1

的定义域为R，

当x=0时，g(x)=2x

x2+1

=0；

当x≠0时，g(x)=

2x

x2+1

=2

x+1

x

，

∵x+1

x ≥2或x+1

x

≤?2，

∴?1≤2

x+1

x <0或0<2

x+1

x

≤1，

∴?1≤g(x)≤1，

∵函数f(x)=2x

x2+1

?a有零点，∴实数a的值范围是[?1,1]．故答案为[?1,1]．

15.答案：1

2

．

解析：f(x)=1

x 在x∈[2,3]上是单调减函数，所以x=2时f(x)有最大值1

2

．

16.答案：x?3，(x∈(?∞,?3)∪(?3,+∞))

解析：解：由题意函数f(x)=x?3

x+3

，g(x)=x+3，

那么：f(x)?g(x)=x?3

x+3

×(x+3)，

∵x≠?3，

∴f(x)?g(x)=x?3

∴答案为x?3，(x∈(?∞,?3)∪(?3,+∞))

由题意函数f(x)=x?3

x+3

，g(x)=x+3，直接求解f(x)?g(x)即可．注意定义域范围．本题考查了函数解析式的求法，化简时要注意到定义域的范围，属于基础题．

17.答案：f(x)=1?√1+x2

x

(x<0)

解析：令1

x =t,(t<0)，则f(t)=1

t

+√1+(1

t

)2=1

t

?√1+t2

t

=1?√1+t2

t

故函数f(x)的解析式为f(x)=

1?√1+x2

x (x<0)，故答案为：f(x)=1?√1+x2

x

(x<0)．

18.答案：解：(I)全集U=R，集合A={x|9x?14?x2≥0}={x|2≤x≤7}，B={x|0

∴A∪B={x|1

?U A={x|x<2或x>7}，

∴(?U A)∩B={x|1

(II)C={x|a?1

当a?1≥2a，即a≤?1时，C=?，满足A∩C=?；

当a?1<2a，即a>?1时，a?1≥7或2a≤2，

解得a≥8或?1

综上，实数a的取值范围是a≤1或a≥8．

解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．

(I)化简集合A、B，根据集合的定义计算即可；

(II)根据交集与空集的定义，讨论a的取值，求出实数a的取值范围．

19.答案：解：(1)投资为x万元，A产品的利润为y1万元，B产品的利润为y2万元，由题设y1=k1?x，y2=k2?√x，

由图知y1=1

4

x，(x≥0)，

y2=5

4

√x，(x≥0)；

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10?x万元，

设企业的利润为w万元，w=y1+y2=x

4+5

4

√10?x，(0≤x≤10)，

令√10?x=t，则w=10?t2

4+5t

4

=?1

4

(t?5

2

)2+25

16

，(0≤t≤√10)

当t=5

2，y有最大值，此时x=10?25

4

=3.75；

∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为65

16

万元．

解析：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．

(1)由于A产品的利润与投资成正比，可设y1=k1?x，从图1可以得到当x=1时，y1=0.25，当x=2时，y1=0.45，从而可以得到k1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，可设y2=k2?√x，当x=4时，y2=2.5，当x=9时，y2=3.75，从而可得到k2；

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10?x万元，设企业的利润为w万元，w=A产品的利润+B 产品的利润．

20.答案：解：?1

则f(x1)?f(x2)=x1+2

x1?1?x2+2

x2?1

=2x1x2+3x2?3x1

(x1?1)(x2?1)

．

∵1

∴x1?1>0，x2?1>0，x1x2>0，x2?x1>0，

∴f(x1)?f(x2)>0．

∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)=在(1,+∞)上是单调减函数．

解析：利用函数单调性定义证明．

熟练掌握函数单调性定义和证明方法是解题的关键．

21.答案：解：(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)?ax?2=0等价于f(x)=ax+2有三个不同的解，

由f(x)={(x ?4)2,x ≥1

(x +2)2,x <1，

可得函数图象如图所示：

联立方程：(x ?4)2=ax +2，

由Δ=(a +8)2?56=0，可得a =?8±2√14， 结合图象可知a =?8+2√14． 同理(x +2)2=ax +2，

由Δ=(4?a)2?8=0，可得a =4±2√2， 因为4+2√2

综上可得：a =?8+2√14或a =4?2√2．

(Ⅱ)设2x =t ∈[1

2,2]，原不等式等价于(|t ?1|?3)2≤2

k

t

，

两边同乘t 2得：[t(|t ?1|?3)]2≤2k ， 设m(t)=t(|t ?1|?3)，t ∈[1

2,2]，

原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，

(1)当t ∈[1,2]时，m(t)=t(t ?4)，易得m(t)∈[?4,?3]， (2)当t ∈[1

2,1)时，m(t)=?t(t +2)，易得m(t)∈(?3,5

4], 所以[m(t)]2的最大值为16，即2k ≥16，故k ≥4．

解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．

(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)?ax ?2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x ?4)2,x ≥1(x +2)2,x <1

，画图，结合图象解方程可得a 的值； (Ⅱ)设2x =t ∈[1

2,2]，原不等式等价于(|t ?1|?3)2≤2

k

t

2，两边同乘t 2得：[t(|t ?1|?3)]2≤2k ，

设m(t)=t(|t ?1|?3)，t ∈[1

2,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，对t 讨论求解即可． 22.答案：

解：(1)当a =2

3时，f(x)的单调递增区间为(0,1

3]和[2

3,+∞)，单调递减区间为(13,2

3)和(?∞,0)； (2)当a =?2时，记函数g(x)=f(x)?t ，(t ∈R)，可得|x 2+2x|=t ，

画出两个函数y =|x 2+2x|，y =t 的图象如图：

t <0时无零点，t =0或t >1时有两个零点，0

(3)当a ≤0时，f(x)=|x 2?ax|=x 2?ax 在区间[0,1]上为增函数， 当x =1时，f(x)取得的最大值为f(1)=1?a ；

当0

x 2?ax,a ≤x <1

在区间(0,a 2)上递增，在[a 2,a]上递减，在(a,1]上递增，

且f(a

2)=

a 24

，f(1)=1?a ，

∵

a 24

?(1?a)=14

(a 2+4a ?4)，

∴当0

<1?a ；

当2√2?2≤a <1时，

a 24

≥1?a ．

当1≤a <2时，f(x)=?x 2+ax 在区间(0,a

2)上递增，在区间(a

2,1)上递减， 当x =a

2时，f(x)取得最大值f(a

2

)=

a 24

；

当a ≥2时，f(x)=?x 2+ax 在区间[0,1]上递增， 当x =1时，f(x)取得最大值f(1)=a ?1．

则g(a)={1?a,a <2√2?2,a 2

4

,2√2?2≤a <2a ?1,a ≥2

．

g(a)在(?∞,2√2?2)上递减，在[2√2?2,+∞)上递增， 即当a =2√2?2时，g(a)有最小值为3?2√2．

解析：本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及基本初等函数的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．

(1)当a =23时，结合图象，写出函数f(x)的单调递增区间为(0,13]和[23,+∞)，单调递减区间为(13,2

3)和(?∞,0)；

(2)通过两个函数的图象，判断t 的范围，得到函数的零点个数．

(3)当a ≤0时，f(x)=|x 2?ax|=x 2?ax 在区间[0,1]上为增函数，求出最大值．当0

当1≤a <2时，当a ≥2时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出g(a)={1?a,a <2√2?2,

a 2

4

,2√2?2≤a <2a ?1,a ≥2

.

然后求解g(a)有最小值为3?2√2．