山东省2020年高三高考模拟数学试题

山东新高考2020年高三数学模拟试题

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.

2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的． 1.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ?，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为

A. 11,2??

????

B. 11,2??-????

C. 11,0,2??-????

D. 10,1,2??????

2.若1iz i =+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 3．已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为

4.《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是

A.甲付的税钱最多

B.乙、丙两人付的税钱超过甲

C.乙应出的税钱约为32

D.丙付的税钱最少 5. 若()

2sin 753

α?+=

，则()

cos 302α?

-= A. 59- B. 49-

C. 59

D. 49 6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；

丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁 7.若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则

A. c a b <<

B. b c a <<

C. a b c <<

D. c b a <<

8.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为12,F F ，圆222x y b +=与双曲线

在第一象限内的交点为M ，若12||3||MF MF =，则双曲线的离心率为

A.3

B.2

C.3

D.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类

冰箱类

小家电类

其它类

营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比

95.80%

0.48%-

3.82%

0.86%

则下列判断中正确的是

A. 该公司2019年度冰箱类电器营销亏损

B. 该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C. 该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供

D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低

10.已知函数sin ,4

()cos ,4x x f x x x ππ?

≤??=??>??

，则下列结论正确的是

A. ()f x 不是周期函数

B. ()f x 奇函数

C. ()f x 的图象关于直线4

x π

=

对称

D. ()f x 在52

x π

=

处取得最大值 11.设A,B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是 A. 若OA OB ⊥，则||||2OA OB ≥

B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)

C. 若OA OB ⊥， O 到直线AB 的距离不大于1

D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1

||3

AF =，则||1BF = 12.如图，矩形

中，为

的中点，将

沿直线

翻折成

，连结

，为

的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 A.存在某个位置，使得；

B.翻折过程中，的长是定值；

C.若，则

；

D.若

，当三棱锥

的体积最大时，三棱锥

的外接球的表面积是

.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知两个单位向量,a b r r 的夹角为30o ，(1)c ma m b =+-r r r

，0b c ?=r r

，则m =______．

14.已知曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(2,6)，则该双曲线的

离心率为 .

15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________．

16. 已知函数()22,,x x a f x x x a ?≤=?>?

，

①若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________；

②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①(

)

2

22

316 3c S b a =+-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设ABC V 的面积为S ,已知 . (1)求tan B 的值;

(2)若42,10S a ==,求b 的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18. （12分）已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，1

2

AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ?是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ； （Ⅱ）求二面角P AG C --的余弦值.

19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-()

*n ∈N ，数列{}n b 满足

16b =，1

4n n n

b S a =+

+()

*n ∈N . （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ???

???

的前n 项和为n T ，证明：1

2n T <.

20．（12分）某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A 、B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：

销售件数 8 9 10 11 频数

20

40

20

20

以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数. （1）求X 的分布列；

（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n =与n 20=之中选其一，应选哪个？

21. （12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2

，椭圆C 截直线1y =所

得的线段的长度为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若

OA OB OD +=uu r uur uuu r

，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，

请说明理由.

22.（12分）已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a e e

≥()()21f x f x -的最大值.

高三数学模拟题二参考答案

一、CDBB ABAC

二、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD

三、13. 423+ 14. 2 15. 8π 16. (1). (,2]-∞ (2). (,2)(4,)-∞?+∞ 17.解: 17.解: (1)选择条件①.

由題意得()2

2

2

8 3acsin B a c b =+-.即222

4sin 32a c b B ac

+-=g

整理可得344 cosB sinB sin B -=，…………4分 又 0sin B >.所以 0cos B >,所以sin 3

cos 4

B tan B B ==.…………5分 选择条件②.

因为5cos 45b C c a +=，

由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，

5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，

即sin (45cos )0C B -=，…………3分 在ABC V 中，sin 0C ≠，所以4cos 5

B =

， 23sin 1cos 5B B =-=,所以3

tan 4

B =.…………5分

(2)由3 4tan B =，得3

5sin B =,又42, 10S a ==，

则113

1042225

S acsin B c ==??=,解得14c =.…………7分

将42, 10,14S a c ===代入()

222261636c S c a =++-中， 得()

2222614164231410b ?=?++-， 解得62b =.…………10分

18.（Ⅰ）证明：取AD 的中点为O ，连结OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH . 因为//AD BC ，1

2

AB BC CD AD ===

， 四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形，

OB AC ∴⊥，//OB CD ，CD AC ⊥，…………2分

因为PAD V 为等边三角形，O 为AD 中点，

PO AD ∴⊥，

因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ?平面ABCD AD =.

PO ?平面PAD 且PO AD ⊥，

PO ∴⊥平面ABCD ，…………4分

因为CD ?平面ABCD ，

PO CD ∴⊥，

因为H ，G 分别为OB ， PB 的中点， //GH PO ∴，

GH CD ∴⊥.………………5分

又因为GH AC H ?= ，

,AC GH ?平面GAC ，

CD \^平面GAC .…………6分

（Ⅱ）取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以,,OE OD OP uu u r uuu r uur

的方向为x 轴、y 轴、

z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.

设4=AD ，则()

0,0,23P ，()0,2,0A -，(

)

3,1,0C

，()0,2,0D ，31,,322G ??

- ? ???

.

(0,2,23)AP =u u u r ，33

(,,3)22

AG =uuu r ，…………8分

设平面PAG 的一法向量(),,n x y z →

=.

由00

n AP n AG ??=?

??=??r uu u r r uuu r 223033302

2y z x y z ?+=???++=?? 3y z x z ?=-???=??.令1z =，则(1,3,1)n =-r . 由（Ⅰ）可知，平面AGC 的一个法向量(3,1,0)CD =-u u u r

，…………10分 15

cos ,||||

n CD n CD n CD ?<>==-r uu u r r uu u r r uu u r

∴二面角P AG C --的平面角的余弦值为15-.…………12分

19.解析：（I ）由12n n S a a =-， 当2n ≥时，1112n n S a a --=-， 两式相减得12n n a a -=，…………3分 因为1

4n n n

b S a =+

+， 所以11

1

64a a =+

+，解得11a =，……4分 所以数列{}n a 是公比为2，11a =的等比数列，

{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………6分

（Ⅱ）由1221n

n n S a a =-=-，

得1

1

232n

n n b -=+

+，……7分 即()()11122121n n n n b --=++1112121

n n -=-

++，………………9分 所以011211

111111212121212121n n n T --??????=-+-++-

? ? ?++++++??????

L 1112212

n =

-<+. ……………………12分 20.解：（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为12115555

，，， .

X 取值为16，17，18，19，20，21，22. ………………1分

()111165525P X ==?=，()1241725525P X ==??=；

()22116182555525P X ==?+??=； ()12116

1922555525P X ==??+??=；

()11215202555525P X ==?+??=； ()112

2125525P X ==??=

()111

225525

P X ==?=，………………5分

所以X 的分布列为

X

16 17 18 19 20 21 22

P

125 425 625 625 525 252 125

………………6分

（2） 当19n =时，记1Y 为A B ，销售该食品利润，则1Y 的分布列为

1Y

1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050

P

125 425 625 625 525 252 125

()11466521145016001750190019502000205025252525252525

E Y =?

+?+?+?+?+?+?1822=. ………………9分

当20n =时，记2Y 为,A B 销售该食品利润，则2Y 的分布列为

2Y

1400

155

1700

[来源学§科§网]

1850 2000 2050 2100 P

1

25 425 6

25 625 525 252 125

()21466521140015501700185020002050210025252525252525

E Y =?

+?+?+?+?+?+?1804=.因为()()12E Y E Y > ，故应选19n =. ………………12分

21. 解：(Ⅰ)由222222

22

11c a a b a b c ?=?

??+=??=+???,解得2,2a b c === ………………3分

得椭圆C 的方程为22

142

x y +=. ………………4分

（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =， 此时四边形OADB 6．………………5分

当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程

22

14

2y kx m x y =+???+=?? ()222

124240k x kmx m ?+++-= (

)

22

8420k m

?=+->，2121222

424

,1212km m x x x x k k

--+==++ , ………………7分 ()12122

2212m y y k x x m k +=++=

+

AB =,

点O 到直线AB

的距离是d =

………………9分

由OA OB OD +=uu r uur uuu r 得，22

42,1212D D km m

x y k k

-==++， 因为点D 在曲线C 上，所以有22

22421212142

km m k k -????

? ?++????+=，

整理得22122k m +=，………………11分

由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为

OADB

S AB d === 由22122k m +=

得OADB S =, 故四边形OADB

．

………………12分

22.解：（1）由2

()2ln f x x ax x =-+得2

()2f x x a x

'=-+

； 因为0x >，所以2

24x x

+

≥； 因此，当4a ≤时，2

()20f x x a x

'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………2分

当4a >时，由2()20f x x a x '=-+>得2

220x ax -+>

，解得4

a x +>

或04a x <<；由2()20f x x a x '=-+<

得44

a a x +<<

；

所以()f x 在2160,

a a ??-- ? ??，216,a a ??

+-+∞ ????上单调递增；在221616,44a a a a ??--+- ? ???

上单调递减；………………4分

综上，当4a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；

当4a >时，()f x 在2160,

4a a ??-- ? ???，216,4a a ??

+-+∞ ? ???上单调递增；在221616,44a a a a ??--+- ? ???

上单调递减. ………………5分

（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，

由（1）可得， 12,x x 是方程2220x ax -+=的两不等实根， 所以122

a

x x +=

，121x x =，………………6分 因此()()2

2

21222111(2ln )(2ln )f x f x x ax x x ax x -=-+--+

2222222112121222222

1121

2()()2ln

2ln 2ln x x x x x x x x x x x x x x x -++=-+=-+=+-，…7分 令2

2t x =，则2222222111()()2ln 2ln f x f x t t x x x t

-=

-+=-+； 由（1）可知2

216a a x +-=，

当2a e e

≥+

时，

2224246

1681e x e

e a a e e +

+++-+-=≥

=， 所以[

)2

2,e t x ∈=+∞，………………10分 令1()2ln g t t t t

=-+，[

),t e ∈+∞，

则22

222

1221(1)()10t t t g t t t t t

-+-'=--+=-=-<在[),t e ∈+∞上恒成立；

所以1()2ln g t t t t

=-+在[

),t e ∈+∞上单调递减， 故max 1

()()2g t g e e e

==

-+. 即()()21f x f x -的最大值为1

2e e

-+.………………12分