角恒等变换知识总结

三角恒等变换知识点总结

2014/10/24

一、基本内容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

; ;

对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

. .

.

要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝

⎭

()sin cos a x b x x ρ+=+.

4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常用知识点：

（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα

+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；

（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；

（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =r r r r r r g

， 1212a b x x y y =+r r g ，12120a b x x y y ⊥⇔+=r r 1221//0a b x y x y ⇔-=r r ；

二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、的值等于（ ）

2、若，，则等于（ ）

3、若3,4

παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=L _______________.

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

5、coscos 的值等于（ ） (提示:构造分子分母)

6、cos 20cos 40cos60cos80=o o o o （ ）

7、 已知322

A ππ<<，且，那么等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

8、已知则的值等于（ ）

9、已知则值等于（）

10、函数是（ ）

（A ）周期为的奇函数

（B ）周期为的偶函数 （C ）周期为的奇函数 （D ）周期为的偶函数

4、常见题型及解题技巧（另外总结）

（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.

其中cos ϕϕ==

）

如：1.

若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________.

2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.

7．若2tan(),45

π

α+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值 [例1] 1.00

00cos15sin15cos15sin15

-+；

2.00sin 50(1)+;

3. 求值;

4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ••=++

（三）三角函数给值求值问题

1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6

)的值是_____________; 2. 已知 3.33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<

<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求的值．

（四） 三角函数给值求角问题

1.若10

,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 2.已知，且是方程的两个根，求．

3.已知均为锐角，且，，，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6 Ｂ． Ｃ．π3 Ｄ．

4.已知1tan 7α=,1tan 3

β=,并且,αβ均为锐角，求2αβ+的值. （五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等） 1.(2010·北京)已知函数2()2cos 2sin f x x x =+.

(1)求()3

f π

的值；(2)求()f x 的最大值和最小值． 2.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.

(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62

ππ-

上的最大值和最小值；（3）求函数在(,)ππ-的单调区间。

三、解题方法分析

1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正

的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

例1设则有（ ）

【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：

sincos=，cos=，，，，，，，tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)等。另外，三角函数

式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）

是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±cosx ，要熟练掌握其变形

结论。

2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口

（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`

【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，

应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。

例2． 已知＜β＜α＜，cos （α－β）=，sin （α+β）=－，求sin2α的值．（－

（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2α=（α－β）+（α+β））