专题五__函数及其图像

专题五 函数及其图像

专题备考技巧

一．理解四个“一次”之间的关系

一次函数与二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式有着密切的联系，二元一次方程中的未知数,x y 可以看成关于,x y 的一次函数中的两个变量。因此，把满足二元一次方程的,x y 的值分别看成是点的横坐标和纵坐标，那么就可以在直角坐标系中画出二元一次方程的图像，而且每个二元一次方程的图像都是一条直线。

对于同一条直线，从方程的角度看，直线上一个点的坐标就是方程的一个解；从函数的角度看，直线上一个点的横坐标与纵坐标分别是一个函数的自变量与所对函数值。

由两个二元一次方程组成的方程组对应着两条直线，也对应着两个一次函数。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一元一次方程0ax b +=的解相当于直线y ax b =+与x 轴交点的横坐标，或者说函数为零时的自变量的值；一元一次不等式0ax b +>（0a >）的解集相当于函数值大于零时所对应的自变量的所有值的集合。

二．掌握两个“二次”之间的关系

一元二次方程2

0ax bx c ++=的解是抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标。当2

40b ac ->时，一元二次方程2

0ax bx c ++=有两个不相等的实根，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴有两个交点；当

240b ac -=时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实根，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一

个交点；当2

40b ac -<时，一元二次方程2

0ax bx c ++=没有实数根，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴没

有交点。

三．弄清函数图像的平移规律

不论一次函数还是二次函数和反比例函数，图像平移的规律均为“上加下减，左加右减”。 四．在求函数图象与坐标轴所围三角形面积时，尽量把坐标轴上的一边做底，这样易于计算 例：（2007成都中考）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=的图象交于(21)(1)A B n -，

，，两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．

解：（1）∵点(21)

A -，在反比例函数m

y x

=的图象上， (2)12m =-?=-∴．

∴反比例函数的表达式为2y x

=-

． ∵点(1)B n ，也在反比例函数2

y x =-的图象上，

2n =-∴，即(12)B -，．把点(21)A -，，点(12)B -，代入一次函数y kx b =+中，得

212k b k b -+=??

+=-?，，解得11k b =-??=-?

，

．

∴一次函数的表达式为1y x =--．

（2）在1y x =--中，当0y =时，得1x =-．

∴直线1y x =--与x 轴的交点为(10)C -，．

∵线段OC 将AOB △分成AOC △和BOC △，

1113

111212222

AOB AOC BOC S S S =+=??+??=+=△△△∴．

五、数学思想

本专题的主要数学思想有：

1．函数思想：利用变化的，运动的观点来观察问题，分析问题，根据问题的条件及数量关系，借助函数图像性质，常能化难为易。

2．数形结合思想：平面直角坐标系使几何图形和代数问题有机结合起来，使抽象的数直观化，形象化，由数导形，由形索数，以达到解决问题的目的。

3．转化思想：将复杂的问题转化为简单问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将生活中的实际问题转化为具体的函数问题加以解决。

专题热点透析

题型一．函数基础知识的应用

（2009莆田中考）如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2

点

R 应运动到（ ）

A ．N 处

B ．P 处

C ．Q 处

D ．M 处

（2009贵州黔东南州中考）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A 、乙比甲先到终点

B 、乙测试的速度随时间增加而增大

C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇

D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 题型二．函数的实际应用

（2009吉林中考）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN ．准备在形如Rt △AEH 的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt △AEH 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ 内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

设AE 的长为x 米，正方形EFGH 的面积为S 平方米，买花草所需的费用为W 元，解答下列问题： （1）S 与x 之间的函数关系式为S= ；

（2）求W 与x 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元； （3）当买花草所需的费用最低时，求EM 的长．

（图1）

题型三．函数综合创新题

（2006吉林中考）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子.动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→D →C 方向每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A→B 方向以每秒1cm 的速度运动到点B 停止.P 、Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为ycm 2. (1)当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式； (2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；

(3)当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ 的变化范围； (4)当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象.

练习题

1（2009安顺中考）乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。 在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ， 下列图象中最符合故事情景的是：（ ）

2（2009威海中考）如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点B 与点D 重合，点A,B(D),E 在同一条直线上，将△ABC 沿D E →方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B,D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）

3（2009恩施中考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）

4(2009鄂州中考)如图，直线y=mx 与双曲线y=x k

交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,

若ABM S ?=2，则k 的值是（ ）

A ．2

B ．m-2

C ．m

D ．4

5（2009荆门中考）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6（2009黄石中考）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②

1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ． ①③④

C ．①②③⑤

D ．①②③④⑤

7（2009乌鲁木齐中考）要得到二次函数2

22y x x =-+-的图象，需将2

y x =-的图象（ ）

A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位

B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位

C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位

8（2009湖州中考）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

9（2009台州中考）已知二次函数c bx ax y ++=2

的y 与x 的部分对应值如下表：

A ．抛物线开口向上

B ．抛物线与y 轴交于负半轴

C ．当x ＝4时，y ＞0

D ．方程02

=++c bx ax 的正根在3与4之间

10（2009年常德市）一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时，称该函数为偶函数． 那么在下列四个函数，偶函数有 （填出所有偶函数的序号）。 ①2y x =；②31y x =--；③6

y x

=

；④21y x =+ 11（2009年湖北十堰市）已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线x

k

y =

交于点A 、D , 若AB+CD= BC ，则k 的值为 。 12（2009济宁中考）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1

y x

=

的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 13（2009黔东南州中考）二次函数322

--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的

解析式是_________________。

14（2009

包头中考）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2。

B ．

C ．

D ．

15（2009济宁中考）阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行. 解答下面的问题：

（1）求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象；

（2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：

(0)y kx t t =+>与直线l 平行且交x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关

于t 的函数表达式.

16（2009河池中考）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x 如图9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y 与x （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

17（2009武汉中考）如图，抛物线2

4y ax bx a =+-经过(1

0)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；

x

（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．

18（2009 安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请帮助该经销商设计进货和销售方案，使得当日获得利润最大。

）