高中数学算法初步知识点与题型总结

第十一章算法初步及框图

※知识回顾

1．算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构．

4.算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言．

5.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续；③有限性：算法必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；④通用性：算法应能解决某一类问题.

※典例精析

例1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示的功能是

解析：首先要理解各程序框的含义,输入a,b,c三个数之后,接着判断a,b的大小,若b小，则把b 赋给a,否则执行下一步，即判断a及c的大小，若c小，则把c赋给a, 否则执行下一步，这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值.

评注: 求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程序框图来表示.

例2.下列程序框图表示的算法功能是（）

（1）计算小于100的奇数的连乘积

（2）计算从1开始的连续奇数的连乘积

（3）计算从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数

（4）计算≥

1×3×5××n100成立时n的最小值

解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结果.可以看出程

序框图中含有当型的循环结构,故分析每一次循环的情况,列表如下:

第一次:13,5

S i

=?=；

第二次:135,7

S i

=??=；

第三次:1357,9

S i

=???=,此时100

S<不成立,输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求使算

法

初

步

算法与程序框图

算法语句

算法案例

算法概念

框图的逻辑结构

输入语句

赋值语句

循环语句

条件语句

输出语句

顺序结构

循环结构

条件结构

≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值. 选D.

评注:通过列表,我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运行的本质所在.本题若要求编写求使

≥1×3×5××n 100成立时n 的最小值的程序框图或程序时,很容易弄错输出的结果，应注意.

例3.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元，顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，则按九折收费，如果购买10张以上（含10张）唱片，则按八折收费，请设计算法步骤并画出程序框图，要求输入张数x ，输出实际收费y(元). 分析:先写出

y 及x 之间的函数关系式，有，再利用条件结构画程序框图．

解： 算法步骤如下: 第一步，输入购买的张数x ,

第二步，判断

x 是否小于5，若是，计算25y x =；

否则，判断x 是否小于10，若是，计算22.5y x =；否则，计算

20y x =.

第三步，输出

y .

程序框图如下:

评注:凡必须先根据条件做出判断，然后再决定进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判断框，采用条件结构设计算法.如果变量分三级(或以上)时,就需要用到条件结构的嵌套,不能忽视结果中“是”、“否”的书写，

否则不知道执行哪一条路径.一般地,分n 段的分段函数,需要引入1n -个判断框.条件结构有以下两种基本类型.

例4.画出求的值的程序框图.

分析:这是一个有规律的数列求和问题,每次都进行了相同的运算,故应用循环结构进行算法设计. 解:程序框图如下:

(1)当型循环 (2)直到型循环

评注: (1) 解题关键是选择好计数变量i 和累加变量S 的初始值,并写出用i 表示的数列的通项公式是 ；

(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和,累乘求积等问题.在循环结构中,要注意根据条件,设计合理的计数变量、累加(积)变量以及它们的初始值等,特别要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环. （3）循环结构分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示；另一类是直到型循环结构，如下右图所示.

变式训练画出求的值的程序框图. 解：程序框图如下:

27?

x = 否

是 输出X

1

i i =+

11?

i >

否

例5.某工厂2005年的生产总值为200万元，技术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图，输出预期年生产总值超过300万元的最早年份及2005年到此年份之前(不包此年份)的年生产总值的和.

分析:本例可用循环结构来实现. (1) 确定“循环体”:设a 为某年的年生产总值,n 为年份,S 为年产值的总和,则循环体为 (2)初始化变量:n 的初始值为2005,a 的初始值为200,S 的初始值为0. (3)设定循环控制条件:300a > 解: 程序框图如下:

评注:本问题的关健是设计好循环体,注意S

S a =+及n 之间的对应关系.本题若将S S a =+放在1n n =+之后,则输出时

须重新赋值1n n =-，否则n 的值为超过300万的年份的下一年.本题也可用当型循环结构来表示.

变式训练：设计一个程序框图，求使1235000S n =????>的最小n 的值，并输出此时S 的值. 解：程序框图如下：

※基础自测 一、选择题

1．下列说法正确的是（ ）

A ．算法就是某个问题的解题过程；

B ．算法执行后可以产生不同的结果；

C ．解决某一个具体问题算法不同结果不同；

D ．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．

1．解析：选项A ，算法不能等同于解法；选项B ，例如：判断一个正整数是否为质数，结果为“是质数”和“不是质数”两种；选项C ，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D ，算法可以为很多次，但不可以无限次． 2、如图所示的程序框图中，则第3个输出的数是( ) A ．1 B.

32 C.2 D. 52

2.解析：前3个分别输出的数是1，

3

2

，2.故选C .

3．如图给出的是求的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A.i>10? B.i<10? C.i>20? D.i<20?

第二次:,…依此可知循环的条件是i>10？．选Ａ

4.阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2550，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2500 D ．2500，2550 4.解析：依据框图可得1009896...22550S

=++++=，999795...12500T =++++=.选A.

5．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元

当工资薪金所得不超过元，计算个人所得税的一个算法框图如图. 则输出①、输出②分别为( )． A ．0.05;

0.1x x B ．0.05;0.1185x x - C ． 0.0580;0.1;x x - D ．0.0580;

0.1185x x --

5．解析: 设全月总收入金额为x 元, 所得税额为y 元,则y 及x 之间的函数关系为 0(01600)(1600)5%(16002100)25(2100)10%(21003600)x y x x x x <≤??

=-<≤??+-<≤?

选D.

二、填空题

6．执行右边的程序框图，若p =0.8,则输出的n =________..

6.解析:第一次循环后，，此时n =2；第二次循环后，，此时n =3；第三次循环后，，此时4n =，输出，故填4.

8.如果执行右面的程序框图，那么输出的S

=

8．解析：2461002550S

=++++=

三、解答题

9．请阅读下面程序框图，说明此程序的功能

解：程序功能是求s 的值.

26122...2s =++++,并输出s

10．已知函数，请画出程序框图，要求输入自变量x 的值， 输出函数值y . 10.解:

11．画出一个计算151015100?????的程序框图.

11解：程序框图如下

第二节 算法的基本语句及算法案例

※知识回顾 1．们是输入语句 ， 输出语句， 赋值语句，条件语句，循环语句

般格式是"";INPUT 提示内容变量;

2.输入语句的一般格式是"";PRINT

提示内容表达式；

输出语句的一一般格式是=变量表达式；

赋值语句的

条件语句的一 循环语句的一般格式是和, .

输入语句、 输出语句、 赋值语句基本对应于程序框图中的顺序结构；条件语句、循环语句分别用来表达程序框图中的条件结构和循环结构. 3.常用符号

运算符号：加_+_，减-__，乘*__，除/__，乘方a^b ，整数取商\，求余数MOD.

逻辑符号：且AND ，或OR ，大于>，等于=，小于<，大于等于>=，小于等于<=，不等于<>. 常用函数：绝对值ABS ，平方根SQR ，取整INT . 4.算法案例

（1）辗转相除法和更相减损术

辗转相除法和更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的方法.

（1）辗转相除法就是对于给定的两个正整数，用大数除以小数，若余数不为0，则将小数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执行此步骤，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.

（22(假设进行了k 次)是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新数，继续上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数再乘以原来约简的2k

即为所求两数的最大公约数. （2）秦九韶算法

秦九韶算法是求多项式值的优秀算法. 设

1110()n n n n f x a x a x a x a --=++

++，

()f x =1210(())).n n n a x a x a x

a x a --++++

设0101n n v -=

这样求n 次多项式

()f x 的值就转化为求n 个一次多项式的值.当多项式中有些项不存在时，可将这几项看做0n x ?，补齐后再

利用秦九韶算法进行计算.对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法运算即可. （3）进位制

K 进制数的基数为k ，k 进制数是由0

1k -之间的数字构成的.

将十进制的数转化为k 进制数的方法是除k 取余法.

10(0)k a a a a k 把进制数化为十进制数的方法为

11

10()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=++

++.

例1．写出用循环语句描述求111111234

99100

S =-+-+

+

-的值的算法程序. 解：算法程序如下：

（1）当型循环 （2）直到型循环

12

100

(1)^(1)/S i WHILE i S S i i

==<==+-- 12(1)^(1)/S i DO S S i i ===+--

评注: 在编写算法的程序时，可先画出程序框图，抓住程序框图表示算法这个核心.注意分别用当型循环和直到型循环语句编写的程序中，循环条件的区别及联系.

例2、某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量m 吨收取的污水处理费y 元，运行程序如下所示：

请写出y 及m 的函数关系，并求排放污水150吨的污水处理费用. 解： 这个程序反映的是一个分段函数

因为150100,m =>所以15025(150100)1400y =+-=，故该厂应缴纳污水处理费1400元.

评注: 解决分段函数要用条件语句来处理.本题可画出程序框图帮助理解. 数的最大公约数的方法,要理解和掌握它数的算法程序.

13(50)

5015(50)(50100)

15025(100)(100)

m m y m m m m ≤??=+-<≤??+->?1005015*(501315025(100)

50)

IF m THEN INPUT m IF m THEN

y m

ELSE

ELSE

y m END IF

E y ND IF

EN m D

<==+-<==*=+*-

例4.用秦九韶算法求多项式

5432()23456f x x x x x x =+++++在2x =时的值.

分析：先改写多项式，再由内向外计算.

5432:()

23456

((((2)3)4)5)6f x x x x x x x x x x x =+++++=+++++解

010*********,24

3114265576120

v v v x v v x v v x v v x v v x ==+==+==+==+==+=

评注: 用秦九韶算法求多项式值,关健是正确将多项式改写,然后由内向外计算求得. 本题也可简写为下式：

123456

2

282252114

4112657120

例5.完成下列进制的转化

解:

420(3)(10)(1)10202132323101=?+?+?=

(2)用8反复去除101,直到商为0止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的 8进制表示 所以(10)

(8)101145=

评注:将k 进制的数转化为k '进制的数的方法是先将k 进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化为k '进制的数.

变式训练：下面是把二进制数(2)11111化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条件是 ( )

.5?

.4?.4?.5?A i B i C i D i >≤>≤

解:

432(2)11111121212121=?+?+?+?+,故判断框内应填入的条件4i >.选C.

※ 基础自测 一、选择题

1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ） A

4M = B M M =- C 3B A == D 0x y +=

1. 解析:赋值语句的功能.选 B 2 当2=x

时，下面的程序输出的结果是 ( )

(3)(10)(10)__________(8)

(1)10202____(2)101==10

411i s WHILE i s s x i i I U x

T NP ==<==*+=+

A 3

B 7

C 15

D 17

3．运行下列程序：

当输入56，42时，输出的结果是

Ａ．56 Ｂ．42 Ｃ．84 Ｄ．14 3.解析:该程序的功能是用辗转相除法求正整数,()m n m n >的最大公约数，故选D 4下边程序运行后输出的结果为( )

A 50

B 5

C 25 D

4.解析:

1,1;2,3;3,1;4,0;5,0j a j a j a j a j a ==========.选 D

二、填空题

5 三个数324,243,135的最大公约数是_________________

15()51

a j WHILE j a a j MOD j j WEND

PRINT a

END

==<==+=+ ,0INPUT m n DO

r m MOD n m n n r

LOOP UNTIL r PRINT m END

====

1001000\100

(100)\1010

10010INPUT x

IF x AND x THEN a x b x a c x MOD x c b a PRINT x END IF ><==-*==*+*+

当程序输入x 值为123时,问运行的结果是_____________.

6.解析:算术运算符\和MOD 分别用取商和余数.该程序的功能是把一个三位数各位上的数字颠倒过来.所以运行的结果是321. 7．已知n 次多项式1011()

n n n n n P x a x a x a x a --=++++，如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需

要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算100()P x 的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算100()P x 的值共需要 次运算.

7．解析：秦九韶算法适用一般的多项式1011()

n n n n n P x a x a x a x a --=++

++的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到

达，加法最多n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次，加法最多n 次.答案：65；20. 8．下面程序运行后输出的结果为_______________

8．解析: 22，-22 三、解答题

9.用秦九韶算法求多项式

5432()34157678f x x x x x x =+-+++在2x =-时的值.

543201021324354:()34157678

((((34)15)76)7)83,421511769871898386

f x x x x x x x x x x x v v v x v v x v v x v v x v v x =+-+++=+-+++==+=-=-=-=+==+=-=+=9.解

10．设计程序，求出满足的最小的正整数n. 10．解：

11 若(2)(6)(9)111111,210,85a

b c ===,试判断,,a b c 的大小关系，并将c 化为7进制的数.

6.解析: (10)(10)(10)63,78,77a b c b c a ===∴>>

52003

3

,x y IF x THEN

x y ELSE

y y END IF

PRINT x y y x END ==-<=-=+--