中职数学拓展模块教学设计：正态分布(公共基础类数学)

【课题】 3．5正态分布

【教学目标】

知识目标：

理解正态分布的概念、会利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率． 能力目标：

学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．

【教学重点】

正态分布的概念．

【教学难点】

服从二项分布的随机变量的概率的计算．

【教学设计】

从统计中职学校学生的身高，画出频率分布直方图等学生已经掌握的知识入手，对直方图进行分析，直观地引入概率密度曲线与概率密度函数的概念． “ξ在区间(,)a b 内取值的概率恰好为图中阴影部分图形的面积”是非常重要的，它是后面计算的基础．研究正态曲线形状的时候，结合参数为,μσ的课件进行，帮助学生认识正态曲线的三个特征． 0,1μσ==的正态分布叫做标准正态分布，即~(0,1)N ξ．相应的曲线叫做标准正态分布曲线．利用图形，介绍标准正态分布的概率的关系式．例1、例2和例3都是利用“标准正态分布表”求概率的基本题．要注意合理选择公式与正确查“标准正态分布表”．这里都是近似计算，一般要求保留4个有效数字．正态随机变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率小于4.6%，在区间(3,3)μσμσ-+以外取值的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件为小概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的．例4就是应用这个原理来制定质量控制指标的题目．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

过程行为行为意图间

图3－2

15

*动脑思考探索新知

由频率直方图可以看出，该校16岁女生的身高的分布状况

具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm

的人数最多，越往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边

近似对称．

样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中

的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距

无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地

接近于一条光滑曲线y＝f（x），我们把这条曲线叫做概率密度

曲线（如图3－3）．

图3－3

概率密度曲线精确地反映了随机变量ξ在各个范围内取值的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做ξ的概率密度函数．总结

归纳

思考

引导

学生

发现

解决

问题

方法

过程行为行为意图间可以证明，如图3－3所示，ξ在区间（a，b）内取值的概

率()

P a b

ξ

<<恰好为图中阴影部分图形的面积，ξ在区间

（—∞，a）取值的概率()

P a

ξ<恰好是位于曲线与x轴之间，

直线x＝a左侧部分图形的面积．

一般的，如果随机变量ξ的概率密度函数是

2

2

()

2

1

(),()

2π

x

f x e x

μ

σ

σ

-

-

=-∞<<+∞，

其中,μσ是常数，且σ＞0，那么称ξ服从参数为2

,μσ的

正态分布，简记为2

~(,),

N

ξμσ此时ξ的密度曲线称为正态曲

线，ξ称为正态随机变量．

图3－4

正态曲线具有以下性质（如图3－4所示）：

（1）曲线在x轴的上方，并且关于直线xμ

=对称；

（2）曲线在时处于最高点，由这点此向左、右两边延伸

时，曲线逐渐降低，呈现"中间高，两边低"的形状；

（3）曲线的对称轴位置由μ的值确定，曲线形状由σ的

值确定，σ越大，曲线越"矮胖"；σ越小，曲线越"高瘦"．

可以证明（证明略）在参数为,μσ的正态分布中，μ为

随机变量ξ的均值，2

σ为随机变量ξ的方差，σ为随机变量ξ

分析

关键

词语

理解

记忆

过程行为行为意图间的标准差．

0,1

μσ

==的正态分布叫做标准正态分布，即

~(0,1)

N

ξ．标准正态分布的密度函数为

2

2

1

(),()

2π

x

f x e x

-

=-∞<<+∞

相应的曲线叫做标准正态分布曲线（如图3－5）．

图3－5

设随机变量~(0,1)

N

ξ．由概率密度曲线的定义知道，任

给区间（—∞，a），()

P a

ξ<的值为图3－5中阴影部分的面

积．()

P a b

ξ

<<的值为图3－6中阴影部分的面积．因此，

()

P a b P b P a

ξξξ

<<=<-<

（）（）．

图3－6

P x

ξ<

（）可以通过教材附录中“标准正态分布表”求

出．表中与

x相对应的值

()

x

φ就是随机变量ξ小于

x的概

率．即

00

()()

x P x

φξ

=<．

过程行为行为意图间因此当随机变量~(0,1)

N

ξ时，

()()()

P a b b a

ξφφ

<<=-．

【说明】

概率密度曲线的定义知道，()

P a b

ξ

<<的值等于图3－6

中阴影部分所表示的图形的面积．因此

()()()

P a b P a b P a b

ξξξ

<<==<

≤≤≤

()()()

P a b b a

ξφφ

=<=-

≤，

由图3－5看到，标准正态曲线是关于y轴对称的．因此在

标准正态分布表中只给出了非负值

x的对应值

()

x

φ．在实际

计算中，如果

x＜，那么由标准正态曲线的性质可知，图3

－7中两个阴影部分的面积是相等的．

图3－7

由此可知，

00

()1()

x x

φφ

=--．

可以证明（证明略），当2

~(,)

N

ξμσ时，有

()()

x

P x

μ

ξφ

σ

-

<=．

因此

()()()

b a

P a b

μμ

ξφφ

σσ

--

<<=-．

在实际问题中，经常会遇到正态分布．例如，测量的误差，

炮弹的落点，产品的某项质量指标等都服从正态分布．

30 *巩固知识典型例题

过程行为行为意图间概率如图3－8所示．

图3－8

由图中可以看出，正态随机变量在区间(2,2)

μσμσ

-+

以外取值的概率小于4.6%，在区间(3,3)

μσμσ

-+以外取值

的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件为小

概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能

发生的．

由此得到企业管理质量控制的主要规则——“3σ规则”．

根据这个规则，产品的质量指标应落在上、下管理限

3

μσ

-和3

μσ

+之间．可以通过抽样检查来判断生产过程是

否出现异常．

例如，假设一个工人加工出的轴的直径尺寸2

~(,)

N

ξμσ，

那么轴的直径尺寸在区间(3,3)

μσμσ

-+内取值的概率为

99.7%．而落在区间(3,3)

μσμσ

-+以外的概率只有0.3%．这

种小概率事件一旦发生，说明生产中可能出现了异常情况，应

该停止生产查明原因，及时采取措施使生产恢复正常．

总结

归纳

仔细

分析

讲解

关键

词语

思考

理解

记忆

启发

引导

学生

发现

解决

问题

的方

法

学生

自我

发现

归纳

55 *巩固知识典型例题

例4某灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为ξ（单位：小时），

已知~(1000,30),

N

ξ要保证灯泡的平均寿命为1000小时的概

率不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在多少小时以上？

解

引领

讲解

观察

思考

注意

观察

学生

是否

理解

【教师教学后记】