材料力学复习提纲

材料力学复习提纲（二）

弯曲变形的基本理论：

一、弯曲内力

1、基本概念：平面弯曲、纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、惯性矩、极惯性矩、主轴、主矩、形心主轴、形心主矩、抗弯截面模

2、弯曲内力：剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图。 符号规定

3、剪力方程、弯矩方程

1、首先求出支反力，并按实际方向标注结构图中。

2、根据受力情况分成若干段。 ~

3、在段内任取一截面，设该截面到坐标原点的距离为x ，则截面一侧所有竖向外力的代数和即为该截面的剪力方程，截面左侧向上的外力为正，向下的外力为负，右侧反之。

4、在段内任取一截面，设该截面到坐标原点的距离为x ，则截面一侧所有竖向外力对该截面形心之矩的代数和即为该截面的弯矩方程，截面左侧顺时针的力偶为正，逆时针的力偶为负，右侧反之。

对所有各段均应写出剪力方程和弯矩方程

4、作剪力图和弯矩图

1、根据剪力方程和弯矩方程作图。剪力正值在坐标轴的上侧，弯矩正值在坐标轴的下侧，要逐段画出。

2、利用微积分关系画图。

二、弯曲应力

1、正应力及其分布规律

()()

max max max

3

2

4

3

41

1-12

6

64

32

z

z Z

z z z z z

z I M

E

M M M y y y

W EI

I I W y bh bh d d I W I W σσσρ

ρ

ππα==

=

=

===

=

=

=

?抗弯截面模量矩形

圆形

空心

2、剪应力及其分布规律

一般公式 z z

QS EI τ*

=

3、强度有条件

正应力强度条件 [][][]

max z

z z

M

M

M W W W σσσσ=

≤≤≥

剪应力强度条件

[]

max

max max

z maz z QS Q

I EI

E S τττ**

≤=

=

工字型 4、提高强度和刚度的措施

1、改变载荷作用方式，降低追大弯矩。

;

2、选择合理截面，尽量提高

z

W A

的比值。 3、减少中性轴附近的材料。 4、采用变截面梁或等强度两。

三、弯曲变形

1、挠曲线近似微分方程： ()EIy M x ''=-

掌握边界条件和连续条件的确定法

2、叠加法计算梁的变形 掌握六种常用挠度和转角的数据

3、梁的刚度条件 ；

[]max

y f l

≤

]

max 1.5

Q A

τ=

max 43Q A

τ=

max 2

Q A

=max max z z

QS EI *=

压杆的稳定问题的基本理论。

1、基本概念：

稳定、理想压杆和实际压杆、临界力、欧拉公式、柔度λ、柔度界限值P λ、 临界应力cr σ、杆长系数μ（1、2、、）

、惯性半径mix i =

2、临界应力总图

3、稳定校核

）

压杆稳定校核的方法有两种：

1、安全系数法 在工程中，根据压杆的工作情况规定了不同的安全系数st n ，如在金属结构中 1.8 3.0st n =。其他可在有关设计手册中查到。设压杆临界力为cr P ，工作压力

为P ，则：cr cr P n n p σσ??

=

= ??

?

或，式中 n 为工作安全系数，则稳定条件为： st n n ≥

2、折减系数法 这种方法是将工程中的压杆稳定问题，转换成轴向压缩问题，用折

()

22

cr EI P l πμ=

l

i μλ=

P

λ=S S a b

σλ-=mix i b =

矩形短边

4

i d =

圆形直径

mix

i 工字型查表

22

1234235304 1.1229.30.19P P S S S P cr S P cr l i E a

E

b a b Q a MPa

b MPa

a MPa

b MPa μλ

σλσπσλλλσλ

λλλσλ

→→?→?=-?=

≥?=≤≤?=-====计算程序：比较：钢

松木

减系数φ将材料的许用压应力[]σ打一个较大的折扣。φ是柔度λ的函数，根据大量的实验和工程实践已将它们之间的关系制成了表格、图像和公式，只要算出压杆的柔度λ，就可在有关的资料中查到相应的φ值，不分细长杆，中长杆和短粗杆。其稳定表达式为：

[]P

A

σφσ=

≤

复习题

一、是非题 （在题后的括号内正确的画“√” ；错误的画“×”）

[

1、平面图形对过形心轴的静矩等于零，惯性矩也等于零。（ × ）。

2、梁横截面上各点剪应力的大小与该点到中性轴的距离成反比。（ × ）

3、矩形截面梁上、下边缘的正应力最大，剪应力为零。（ √ ）

4、剪应力互等定理一定要在弹性范围内使用。（ × ）

5、所有压杆的临界力都可以用欧拉公式计算。（ × ）

6、梁横截面上各点正应力大小与该点到中性轴的距离成正比。（ √ ）

7、细长压杆的承载能力主要取决于强度条件。 （ × ）

8、形状不同但截面面积相等的梁，在相同的弯矩下最大正应力相同。（ × ）

9、欧拉公式只适用于大柔度压杆的稳定性计算。( √ ) -

10、细长压杆的临界力只与压杆的材料、长度、截面尺寸和形状有关。（ × ） 11、梁横截面中性轴上的正应力等于零，剪应力最大。（ × ） 12、矩形截面梁上、下边缘的正应力最大，剪应力为零。（ √ ） 13、横截面只有弯矩而无剪力的弯曲称为纯弯曲。（ √ ） 14、均布荷载作用下的悬臂梁，其最大挠度与杆长三次方成正比。（ √ ） 15、无论是压杆、还是拉杆都需考虑稳定性问题。 （ × ） 16、若某段梁的弯矩等于零，该段梁变形后仍为直线。（ √ ） 17、均布荷载下梁的弯矩图为抛物线，抛物线顶点所对截面的剪力等于零。（ √ ） 18、中性轴将梁的横截面分为受拉、受压两个部分。 （ √ ） 19、压杆的柔度与材料的性质无关。（ √ ） ~

20、某段梁上无外力作用，该段梁的剪力为常数。（ √ ） 21、梁的中性轴处应力等于零。（ × ） 22、材料不同、但其它条件相同两压杆的柔度相同。（ √ ） 24、平面图形对其对称轴的静矩为零。（ √ ） 25、截面面积相等、形状不同的梁，其承载能力相同。（ × ） 26、竖向荷载作用下，梁横截面上最大剪应力发生在截面的上下边缘。（ × ） 27、压杆的柔度λ不仅与压杆的长度、支座情况和截面形状有关

而且还与压杆的横截面积有关。（ √ ） 28、在匀质材料的变截面梁中，最大正应力σ

max

不一定出现在弯矩值绝对值

最大的截上（ √ ）

:

二、选择题（备选答案中只有一个是正确的，将你所选项前字母填入题后的括号内。）

1、 矩形截面里梁在横力弯曲时，在横截面的中性轴处（ B ）

A 正应力最大，剪应力为零。；

B 正应力为零，剪应力最大 ；

C 正应力和剪应力均最大；

D 正应力和剪应力均为零

2、圆形截面抗扭截面模量W P 与抗弯截面模量W z

:

A W P ＝W Z ；B

W P ＝2W Z ；C 2W P ＝W Z 。

3、图示梁1、2截面剪力与弯矩的关系为

（ A ）

A Q 1＝Q 2，M 1＝M 2；

B Q 1≠Q 2，M 1≠M 2；

C Q 1＝Q 2，M 1≠M 2；

D Q 1≠Q 2，M 1＝M 2。

4、图示细长压杆长为l 、抗弯刚度为EI ，该压杆的临界力为：

（ A ） A 2

2

4l

EI

P cr π=

； B 2

2

l

EI

P cr π=

C 2249.0l EI

P cr π=； D 2

24l

EI

P cr π=

5、两根梁尺寸、受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为1E 和2E

217E E =，则两根梁的挠度之比21/y y 为：（ B ）

A ﹒4/1

B ﹒7/1

C ﹒49/1

D ﹒7/1

6、圆形截面对圆心C 的极惯性矩z 的惯性矩间的关系为

（ A ）

《

A ﹒I P ＝I Z ；

B ﹒I P ＝2I Z ；

|

C ﹒2I P ＝I Z 。

7它们在纸面内失稳的先后次序有以下四种， 正确的是（ A ）

A （a ），（b ），（c

），（d ）；B （d ），（a ），（b ），（c ）；C （c ），（d ），（a ），（b ）；D （b ），（c ），（d ），（a ）；8、图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应力强度观点，'

承载能力（b ）是（a ）的多少倍 （ A

）

A ﹒2；

B ﹒4；

C ﹒6；

D ﹒8。

9、图示梁欲使C 点挠度为零，则P 与q 的关系为 （ B ） A ﹒2/ql P = B ﹒8/5ql P = C ﹒6/5ql P =

}

D ﹒5/3ql P =

10、长方形截面细长压杆，2/1/=h b ；如果将b 改为h 后仍为细长杆，

临界力cr P 是原来多少倍 A ﹒2 B ﹒4 C ﹒6 D ﹒8 "

11、图示梁支座B 两侧截面剪力与弯矩的关系为 : （ D ）

A ﹒Q 1＝

Q 2，M 1＝M 2；

B ﹒Q 1≠Q 2，M 1≠M 2；

C ﹒Q 1＝Q 2，M 1≠M 2；

D ﹒Q 1≠Q 2，M 1＝M 2。

12、材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。下列关于它们的挠度的结论

正确的为（A ）

…

A ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的4/1倍

B ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2/1倍

C ﹒I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍

D ﹒I 、Ⅱ梁最大挠度相等

13．截面形状不同、但面积相同，其它条件也相同的梁， 其承载能力的大小关系为（ A ）

A ﹒矩形＞方形＞圆形；

B ﹒方形＞圆形＞矩形； @

C ﹒圆形＞方形＞矩形；

D ﹒方形＞矩形＞圆形。

14．T 形截面梁，横截面上a 、b 、c 三点正应力的大小关系为 （ B ） A ﹒σa ＝σb ＝σc ；

B ﹒σa ＝σb ，σc ＝0；

C ﹒σa >σb ，σc ＝0；

D ﹒σa <σb ，σc ＝0。

!

15．梁受力如图，在B 截面处，正确答案是( D )

(A) 剪力图有突变，弯矩图连续光滑； (B) 剪力图有尖角，弯矩图连续光滑； (C) 剪力图、弯矩图都有尖角；

(D) 剪力图有突变，弯矩图有尖角。

16．抗弯刚度相同的悬臂梁I 、Ⅱ如图所示。下列关于它们的挠度的结论正确的为；（ C ）

、

()A I 、Ⅱ梁最大挠度相等 ()B I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2/1倍

矩形方形圆形

z

()C I 梁最大挠度是Ⅱ梁的4/1倍 ()D I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍

17、如图所示的悬臂梁，自由端受力偶M 的作用， 梁中性层上正应力σ及剪应力τ正确的是： ( C )

()A 0,0=≠τσ ()B 0,0≠=τσ

()C 0,0==τσ

()

D 0,0≠≠τσ

·

三、填空题（将答案填在题后的划线中）

1、图示圆截面压杆长m l 5.0=、直径mm d 20=，该压杆的柔度为：

λ＝

2、用积分法求图示梁的变形，试写出确定积分常数的边界条件和变形连续条件： 边界条件为：111212

000x y x x l y y ======； 变形连续条件：1212x x l

θθ===；

3、图示圆截面悬臂梁，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正应力是原来截面上最大正应力的 1/8 倍。

4、图示简支等截面梁C 处的挠度为 0 。

~

5、试画出矩形截面梁横截面沿高度的正应力分布规律，若截面弯矩为M , 则A 、C 两点的正

： z

应力分别为：

=A σ ；

=C σ ；

6、用积分法求图示梁的变形，试写出确定积分常数的边界条件和变形连续条件： *

7、图示梁支座B 左侧Ⅰ—Ⅰ截面的剪力和弯矩分别为：

、

Q 1

＝ ；

M 1＝ ；

8、图示悬臂梁自由端C 的转角和挠度分别为：

=C θ ；=C y ；

9．图示悬臂梁自由端C 的转角和挠度分别为：

…

=C θ ；

=C y ；

10、梁在弯曲时，横截面上正应力沿高度是按 分布的，中性轴上的正应力

为 ；矩形截面梁横截面上剪应力沿高度是按 分布的，

(a)(b)(c)

中性轴上的剪应力为。

"

11、图示矩形对

C

Z轴的惯性矩

ZC

I＝，

对y轴的惯性矩y I＝

12、利用叠加法计算杆件组合变形的条件是：(1)变形为小变形；(2)材料处于线弹性。

13、按图示钢结构()a变换成()b的形式，若两种情形下CD为细长杆，

结构承载能力将：降低。

|

14、图示三种截面的截面积相等，高度相同，则图_____所示截面的

z

W最大，图_____所

示截面的

z

W最小。

15、图示荷载，支座的四种布置中，从强度考虑，最佳方案为。

?

四、计算题

1、练习作以下各题的Q、M图，要标出各控制点的Q、M值。

（含作业中的题）

2、根据题意计算梁的强度，设计截面或求承载能力。

1、矩形截面梁b=20cm、h=30cm，求梁的最大正应力

m ax

σ

和最大剪应力

m ax

τ。

&

2、求图示矩形截面梁1—1截面的最大正应力和最大剪应力。

A

A

<

单位mm)

3、求图示矩形截面梁D 截面上a 、b 、c 三点的正应力。

C

a

4、16号工字钢截面的尺寸及受力如图所示。[]MPa 160=σ

试校核正应力强度条件。

《

5、图示外伸梁，受均布荷载作用，已知：m KN q /10=，m a 4=，

[]MPa 160=σ，试校核该梁的强度。

6、图示为一铸铁梁，kN P 91=，kN P 42=，许用拉应力[]MPa 30=+σ，许用压

应力[]

MPa 60=-σ，461063.7m I y -?=，试校核此梁的强度。

max max 4628.8MPa MPa σσ-

+==

3、变形计算，练习以下各题，求指定位移。

】

部分答案供参考

1 4

37113246B B qa qa y EI

EI θ=

↓=

2 4

5768C ql y EI =

↓ 6

4

4c B qa y EI

θ=↓

=

7

A

A B C

y y θA

C

7

8

B B

C C

q

A

c B

y θc B

y θc B

q

A

125

6

4

3

472448A B ql ql y EI EI

θ=↓

=

8 3

32C ql y EI

=↓

4、以下为压杆练习题，按要求求解。

1、图示圆截面压杆，已知mm d 100=、

GPa E 200=、MPa P 200=σ。

试求可用欧拉公式计算临界力杆的长度。

2、两端铰支压杆，尺寸如图所示。已知

材料的弹性模量GPa E 200=，

比例极限MPa P 200=σ，

直线经验公式)(12.1304MPa cr λσ-=。 若取稳定安全系数3=w n ，试确定容许压力。 3、图示压杆的GPa E 70=、MPa P 175=σ， 此压杆是否适用于欧拉公式，若能用， 临界力为多少。

4、图示圆截面压杆，已知：m l 1=、

mm d 40=，材料的GPa E 200=， 比例极限MPa P 200=σ，

直线经验公式)(12.1304MPa cr λσ-=。 试求压杆的临界力。

5、图示蒸气机的活塞杆AB ，所受的压力KN P 120=，cm l 180=，截面为圆形，

直径cm d 5.7=，GPa E 210=，MPa p 240=σ。规定8=st n ，两端视为铰接1=μ，试校核该活塞杆的稳定性。

P y z 100

40

l

P

d

6、图示结构，尺寸如图所示，立柱为圆截面，材料的GPa E 200=，MPa p 200=σ。

若稳定安全系数2=st n ，试校核该立柱的稳定性。 2.152st n n =≥=。

7、桁架ABC 由两根具有相同截面形状和尺寸及同样材料的细长杆组成，β已知，

试求使荷载P 为最大时的θ角(设πθ<<0)。2

arctan(cos )θθ=

8、图示结构，力作用线沿竖直方向。AC 和BC 均为圆截面杆，其直径分别

mm d AC 16=，mm d CB 14=，材料为3A 钢，GPa E 206=，直线公式

λσb a cr -=的系数MPa a 310=，MPa b 14.1=。105=p λ，4.61=s λ，稳

定安全系数4.2=st n ，校核该结构的稳定性。（失稳）

9、求图是压杆的临界力。25a mm =，25d mm =，5

210E MPa =?