小学数学解题方法解题技巧之最值问题

第一章小学数学解题方法解题技巧之最值问题

【最小值问题】

例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。

（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）

讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。

由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。

例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？

（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）

讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。

我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。

所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。

故，O点即为三只蚂蚁会面之处。

【最大值问题】

例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？

（全国第二届“华杯赛”初赛试题）

讲析：三个图的面积分别是：

三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。

故图（3）的面积最大。

例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。

（台北市数学竞赛试题）

讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。

现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。

所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。

因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。42、最值规律

【积最大的规律】

（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是

如果a1+a2+…+a n=b（b为一常数），

那么，当a1=a2=…=a n时，a1×a2×…×a n有最大值。

例如，a1+a2=10，

…………→…………；

1+9=10→1×9=9；

2+8=10→2×8=16；

3+7=10→3×7=21；

4+6=10→4×6=24；

4.5+

5.5=10→4.5×5.5=24.75；

5+5=10→5×5=25；

5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；

…………→…………；

9+1=10→9×1=9；

…………→…………

由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。

三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。

由“积最大规律”，可以推出以下的结论：

结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。

例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。

例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？

解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得

（a+b）×2=24

即 a+b=12

由积最大规律，得a=b=6（厘米）时，面积最大为

6×6=36（平方厘米）。

（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。）

结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。

例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？

解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得

（a+b+c）×4=12

即a+b+c=3

由积最大规律，得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大。最大体积为

1×1×1=1（立方米）。

（2）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。

例如，将自然数8拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？

我们可将各种拆法详述如下：

分拆成8个数，则只能是8个“1”，其积为1。

分拆成7个数，则只能是6个“1”，1个“2”，其积为2。

分拆成6个数，可得两组数：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它们的积分别是3和4。

分拆成5个数，可得三组数：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它们的积分别为4，6，8。

分拆成4个数，可得5组数：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它们的积分别为5，8，9，12，16。

分拆成3个数，可得5组数：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它们的积分别为6，10，12，16，18。

分拆成2个数，可得4组数：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它们的积分别为7，12，15，16。

分拆成一个数，就是这个8。

从上面可以看出，积最大的是

18=3×3×2。

可见，它符合上面所述规律。

用同样的方法，将6、7、14、25分拆成若干个自然数的和，可发现

6=3+3时，其积3×3=9为最大；

7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；

14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；

由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。

【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×a n=c（c为常数），

那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+a n有最小值。

例如，a1×a2=9，

…………→…………

1×9=9→1+9=10；

3×3=9→3+3=6；

…………→…………

由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。

例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？

解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。

要使材料最省，则长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律”，取

a=b=4（分米）

时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。

推论由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。

例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而

的周长小于正方形的周长。

【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。

为0.433×6=2.598（平方分米）。

方形的面积。

推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：

在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。

例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，

于和它周长相等的正方形面积。

【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。

例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米

长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。

推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：

在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。

例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。

【排序不等式】对于两个有序数组：

a1≤a2≤…≤a n及b1≤b2≤…≤b n，

则a1b1+a2b2+……+a n b抇n（同序）

T≥a1b抇1+a2b抇2+……+a n b抇n（乱序）≥a1b

n+a2b n-1+……+a>n b1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n

为b1、b2、……、b n的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=a n，或b1=b2=…=b n时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？

解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。

打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成

1，2，3，……，9，10。

根据排序不等式，最小积的和为倒序，即

1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1

=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2

=（10+18+24+28+30）×2

=220（分钟）

其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。

43、最优方案与最佳策略

【最优方案】

例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？

（中国台北第一届小学数学竞赛试题）

讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12。

又（a＋2b）不超过8，

4a不超过16，

4b不超过12。

由以上四个条件知，

当b取1时，a可取1、2、3、4；

当b取2时，a可取1、2、3、4；

当b取3时，a可取1、2。

这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。可列表如下：

所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。

例2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月

联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。

（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。

如果甲厂全月生产裤子，则可生产

如果乙厂全月生产上衣，则可生产

把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣

故现在比过去每月可以多生产60套。

【最佳策略】

例1 A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？

（《中华电力杯》少年数学竞赛试题）

讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。

当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。

例2 桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？

（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）

讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。

谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。

后者获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3。

例3 有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。问：若要先取者为获胜，应如何取？

（上海市数学竞赛试题）

讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。

44、直接思路

“直接思路”是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。

【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。

例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？

分析（按顺向综合思路探索）：

（1）根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？

可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。

（2）根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？

可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。

（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？

可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。

（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？

狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。

（5）已知狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？

可以求出这时狗总共跑了多少距离？

这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。

例2 下面图形（图2.2）中有多少条线段？

分析（仍可用综合思路考虑）：

我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。

（1）左端点是A的线段有哪些？

有 AB AC AD AE AF AG共 6条。

（2）左端点是B的线段有哪些？

有 BC、BD、BE、BF、BG共5条。

（3）左端点是C的线段有哪些？

有CD、CE、CF、CG共4条。

（4）左端点是D的线段有哪些？

有DE、DF、DG共3条。

（5）左端点是E的线段有哪些？

有EF、EG共2条。

（6）左端点是F的线段有哪些？

有FG共1条。

然后把这些线段加起来就是所要求的线段。

【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。

例1 两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离。

分析（用分析思路考虑）：

（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？

需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。

（2）要求两船的速度和，必要什么条件？

两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，

逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）

（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？

两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米，由此可知两船相遇的时间为60÷30=2（小时）。

此分析思路可以用下图（图2.3）表示：

例2 五环图由内径为4，外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4），已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）

分析（仍用逆向分析思路探索）：

（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？

曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道8个小曲边四边形的总面积，则只要用8个曲边四边形总面积除以8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。

（2）要求8个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？

8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。

（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？

求出一个圆环的面积，然后乘以5，就是五个圆环的总面积。

（4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？

已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。

圆环面积公式为：

S圆环=π（R2-r2）

=π（R＋r）（R－r）

其思路可用下图（图2.5）表示：

【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。

例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份？

分析（用一步倒推思路考虑）：

（1）逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？

因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2千克水。

（2）按条件顺推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，这时10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，这时7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，这时10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，这时7千克桶里无水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因为原有2千克水，这时也正好是5千克水了。

其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示：

问题：

例2 今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？

分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：

（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？

根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。

（2）从条件顺推。

①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+……

②当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。