成都市高二数学零诊复习

零诊复习资料（仅供7班使用） 第2讲 函数的性质

【知识梳理】

一、单调性

1.定义：设D 是函数()f x 定义域的子区间，对任意12,x x D ∈，当12x x <时： (1) 都有()()12f x f x ?()f x 在区间D 上是减函数.

2.判定：(1) 定义法；(2) 图象法：(3) 结论法(所学初等函数的单调性) ； (4) 复合函数的单调性：同增异减，小心范围.

3. 用定义证单调性的步骤：任取——作差——变形——定号——结论. 二、奇偶性

1.定义：对函数()f x 定义域内的任意x ： (1)都有()()f x f x -=-?()f x 为奇函数； (2)都有()()f x f x -=?()f x 为偶函数.

点拨：奇、偶函数的定义域关于原点对称.

2.性质：(1) 奇函数()f x ?图象关于原点对称；若()0f 有意义，则()00f =； （2）偶函数()f x ?图象关于y 轴对称()()f x f x ?=；

(3) 在关于原点对称的两个区间上：奇函数同单调；偶函数异单调.

3.用定义判奇偶性的步骤：求定义域——定()f x -与()f x 的关系——下结论. 三、对称性:轴对称,中心对称.

对函数()f x 的定义域内的任何一个自变量x ：

1.若都有()()f a x f a x -=+，则()f x 的图象关于直线x a =对称；

若都有()()f a x f b x -=+，则()f x 的图象关于直线2

a b

x +=

对称。 2.若都有()()f a x f a x -=-+，则()f x 的图象关于点(),0a 对称；

若都有()()f a x f b x -=-+，则()f x 的图象关于点,02a b +??

???

对称。 若都有()()22f x f a x b +-=,则()y f x =的图象关于点(),a b 对称.

四、周期性

1. 定义：如果存在非零常数T ，对函数()f x 定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是周期函数，T 是它的一个周期.

2.性质：(1) 若T 是()f x 的一个周期, 则(),0kT k Z k ∈≠也是()f x 的周期； (2) 若T 是()f x 的一个周期，则()f x ω ()0ω≠是周期函数，且一个周期是

|

|ωT

.

3. 结论：(1)若()y f x =图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

(2)若()y f x =图象有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

(3)如果函数()y f x =的图象有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；

(4)若函数()f x 满足下列条件之一, 则()f x 是周期函数,且一个周期为2T a =()0a ≠：

①()()f a x f x +=-；②1()()

f x a f x +=

；③1()()f x a f x +=-.

例2．(1) 若定义在R 上的奇函数()f x 以T 为周期，则函数()f x 在区间[,]T T -上至少有 5 个零点.

(2)函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +和()1f x -都是奇函数，则函数()()g x f x =，

{}1,1,3,5x ∈-的值域是 {}0.

(3)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在[6,4]--上是增函数，在锐角ABC ?中，令(sin sin )m f A B =+，(cos cos )n f A C =+，则m 和n 的大小关系为_______ m n <.

(4)函数()1

2sin 1

f x x x π=+-在区间[]2,4-上的所有零点之和等于 8 .

(5) 设()f x 是连续的偶函数，且在()0,+∞是单调函数，则方程()34x f x f x +??

= ?+??

所有根之

和为 8-.

第3讲 初等函数

【知识梳理】

1．指数与对数的运算性质： （1）指数式与对数式的互化：

log (0,1,0)b a a N b N a a N =?=>≠>。 （2）对数的运算性质()0,1,0,0a a M N >≠>>：

①恒等式：N a N a =log ；log b a a b =。 ②()log log log a a a MN M N =+； log log log a a a M

M N N

=-； log log n a a M n M =。 ③换底公式及推论：

log log log c a c b b a =

；log log n m a a m

b b n

=； log log n n a a b b =； 1log log a b b a =。 2．

x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)y x a a =>≠的图象和性质：

点拨：y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，其图象关于y x =对称。

3.

y x α

=（Q α∈）

例1. （1）若,518,9log 18==b

a 用a 和

b 表示45log 36=

（2）已知2(3)4log 3233.5x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++=L _______

(3)已知函数()lg ,010,16,10.2

x x f x x x ?<≤?

=?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==,

则abc 的取值范围是 ()10,12.

解：（1）18185log 5b

b =?=，又18log 9a =，

()1818183618181818

log 45log 9log 5

log 4518

log 36log 92log 2

2122log 9

a b

a b a b

a a a

a ++++∴=

==

=

=++--+。

（2）令23k x =，则222log 3log 34log 34x

k x x k ==?=

故8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++=L ()412388233.52012++

+++?=L （3）设0a b c <<<,如图有：

例5. 已知函数)32(log )(22

1+-=ax x x f

（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a （2）若()f x 的值域为R ，求实数a （3）若()f x 在]1,(-∞内为增函数，求实数a 解：令223u x ax =-+，12

log y u =。

（1）()f x 的定义域为R 2230x ax ?-+>恒成立。

(24120a a a ∴?=-

（2）()f x 的值域为R 223u x ax ?=-+能取()0,+∞的一切值()0,u ?+∞?的值域，

()

24120,a a a ∴?=-≥?∈-∞+∞U 。

（3）()f x 在]1,(-∞内为增函数223u x ax ?=-+在]1,(-∞内递减且恒正，

[)min

111,24202a a a u a a ≥≥??∴??∈??=->

【知识梳理】

1．函数零点的定义:对于函数()y f x =()x D ∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数

()y f x =()x D ∈的零点．

2．等价关系:方程()0f x =有实数根函数()y f x =的图像与x 轴有交点函数()y f x =有零点．

3．零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是()0f x =的根．

（定理之逆不成立） 推论：若()y f x =在区间[],a b 上是连续的单调函数，并且有()()0f a f b ?<，则函数

()y f x =在区间(),a b 内有唯一零点。

4.二分法：对于在区间[],a b 上连续不断，且()()0f a f b ?<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

口 诀： 定区间，找中点，中值计算两边看；

同号去，异号算，零点落在异号间； 周而复始怎么办 精确度上来判断.

点拨：连续的异号零点可用二分法求其近似值。

【典例精析】

例6. (1) 已知1x 是函数()25x f x x =+-的零点, 2x 是函数()2log 5g x x x =+-的零点. 则12x x += 5 ；

(2) 已知1x 是()225x f x x =+-函数的零点, 2x 是函数()()22log 125g x x x =-+-的零点.

则12x x +=

72 解：(1) ()()

22250

25log 5log 50x

x f x x x x x g x x x ?=+-=?=-+????=-+=+-=??? 由图(1)知12x x +=5.

(2) ()()()()1

22

522250252log 1250log 12

x x

x f x x g x x x x x -?=-+??=+-=?????=-+-=???-=-+??由图(2)知12x x +=72

第6讲 三角函数

【知识梳理】

1. 象限角与轴线角

2.

定义()

0r => 3.单位圆与三角函数线 思考1：sin 1αα=?= ；sin 1αα=-?= ；

cos 1αα=?= ；cos 1αα=-?=

4.同角关系： (1)平方关系：22sin cos 1αα+=； (2)商数关系：sin tan cos α

αα

=；

5.诱导公式：纵变横不变，符号看象限.

思考2: (1)若()22410,0x y x y +=>>,则22xy u x y =∈+

0,4? ??

(2)若tan 2α=,则

3sin 3cos 2sin cos αααα-=+ 7

25

-

思考3：(1)

2sin 236y x ?

?=-++ ??

?的图象的对称轴为 ；对称中心为

(2)函数sin y x =的图象与直线y x =有多少个公共点？ 7. 图象变换

第7讲 平面向量

【知识梳理】

1.向量的线性运算：加法、减法、数乘.

2.重要结论： (1)任意向量MN u u u u r ：MN MP PN MP =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r (2)若,,O A B 三点不共线，则,,P A B ()()()

sin sin sin sin y x y x y x y A x ?ω?ω?=???→=+???→=+???→=+横移横伸缩纵伸缩

(3)P 为线段AB 的中点2

OA OB

OP +?=u u u r u u u r u u u r ；

(4) 在ABCD Y 中：①()()

a b a b a b +⊥-?r r r r r r

｜｜=｜｜；②a b a b a b ⊥?-r r r r r r ｜+｜=｜｜。

③()

2222

2a b a b a b ++-=+r r r r r r 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

(5)a b a b r r r r ｜｜-｜｜｜+｜｜，a b a b a b ≤-≤r r r r r r ｜｜-｜｜｜｜｜｜+｜｜.

3. 向量的数量积： (1) 定义：||||cos a b a b θ?=r r r r .规定0r 与任何向量的数量积为0.

(2) 投影：||cos ||

a b

b a θ?=r r

r r 叫做向量b ρ在a ρ方向上的投影(可正可负可为零)

点拨：(1)2a a r r ２＝｜

｜；(2)()2222a b a a b b ±=±?+r r r r r r ；(3)()()

22

a b a b a b +?-=-r r r r r r ； (4) ·,

0a c b c c a b ?=≠?=r r r r r r r r

；(5) ()()

·a b c a b c ?≠r r r r r r 。 4.向量的坐标运算：

（1）若11(,)a x y =r

，22(,)b x y =r ，则： a b +r r ),(2121y y x x ++=；

a b -r r ),(2121y y x x --=；12(,)a x y λλλ=r

；1212a b x x y y ?=+r r 。

（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()2121,AB x x y y =--u u u r ，()()22

2121AB x x y y =-+-u u u r 5.重要定理、公式：

(1)基本定理：若 21,e e ρρ不共线，则任一向量2211e e a ρ?

?λλ+=(12,λλ是唯一的)。

(2)平行条件：若0b ≠r r ，则1221//0a b a b x y x y λ?=?-=r r r r

。

(3)垂直条件：121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r

(4)夹角公式：12122222

1122

cos ||||x x y y a b

a b x y x y θ+?==++r r

r r 。

【典例精析】

例1. 若点G 、O 、H 分别是ABC ?的重心、外心、垂心，有下列向量等式： ①0=++GC GB GA ；②)(3

1AC AB AG +=；③OC OB OA OH ++=； ④0=++OC OB OA 。其中正确有_________①②③

例2. (1)在正ABC ?所在平面上有两点P 、Q ，满足：1()2CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，()CQ QB R λλ=∈u u u r u u u r

，

()||||

PC PB

PQ PC PB μ=+u u u r u u u r

u u u r u u u

r u u u r 。则λ=______3 点C 在以O 为圆心的圆弧?

AB 上变动,若 OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,其中,x y ∈R ,则xy 的范围是________.1[0,]2

解：令cos ,sin 02x y πθθθ??==≤≤ ???，则11sin 20,22xy θ??

=∈????

例3．O 是ABC ?所在平面上的一定点,动点P 满足条件: (1))(AC AB OA OP +λ+=，则点P 的轨迹过ABC ?的( C )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

共线同向取等反向取等反向取等同向取等O a r A θ

(2)(OA OP +

λ+=，则点P 的轨迹过ABC ?的( B )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

(3)(OA OP λ+=，则点P 的轨迹过ABC ?的( D )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

(4)cos ||cos ||(2C

AC B AB OC OB ++=

λ，则点P 的轨迹过ABC ?的( A ) A ．外心 B ．内心

C ．重心

D ．垂心

(5)(OA OP λ+=，则点P 的轨迹过ABC ?的( C )

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

提示：对(3)(4)()cos cos ()0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC B AC BC C AB AC

BC BC BC AB B AC C AB B AC C

π-+?=+=-+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 对(5): 由正弦定理sin sin AB B AC C =u u u r u u u r

第8讲 三角函数的恒等变换

【知识梳理】

点拨：(1)正用逆用变形用；如：

(2) 变角变名变形式.如：

(3) 图象性质先归一.如： ()()(),2ααββααβαβ=+-=++

-sin cos 4y x x x π??=+=+ ??

?