2019年山西省百校联考中考数学模拟试卷(一)(解析版)

2019年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．计算1﹣|﹣4|的结果是（）

A．﹣5B．﹣3C．3D．5

2．已知a＜b，下列四个不等式中，正确的是（）

A．﹣a＜﹣b B．﹣2a＜﹣2b C．a﹣2＞b﹣2D．2﹣a＞2﹣b

3．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（）

A．92°B．98°C．102°D．122°

4．张老师家1月至12月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（）

A．25和17.5B．30和20C．30和22.5D．30和25

5．据2018年10月山西统计局“改革开放40年山西经济社会发展成就系列报告”显示：1978年，我省地区生产总值88亿元，2017年达到15528.5亿元．数据15528.5亿元用科学记数法表示为（）

A．15528.5×108元B．1.55285×1012元

C．1.55285×1011元D．0.155285×1013元

6．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？若设有x个人，则可列方程是（）

A．3（x+2）＝2x﹣9B．3（x﹣2）＝2x+9

C．D．

7．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的

小正方体最多有（）

A．12个B．10个C．8个D．6个

8．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）

A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m

9．如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为120°的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）

A．30°或50°B．40°或50°C．30°或60°D．40°或60°

10．如图所示，已知点A坐标为（6，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为（）

A．2B．3C．3D．6

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．分式方程﹣＝0的根是．

12．如图所示是轰炸机机群的一个飞行队形，如果其中两架轰炸机的平面坐标分别表示为A（﹣2，

3）和B（2，1），那么轰炸机C的平面坐标是．

13．如图是一次射击训练中某士兵甲的10次射击成绩（均是整数）的分布情况，则射击成绩的方差是．

14．小明用火柴棒按如图所示的规律摆放下列图形，则摆放第n个图形共需要火柴棒根．

15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）计算：

（1）|1﹣|+2﹣2﹣（）2+（﹣1）0；

（2）（1+）÷．

17．（7分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象在

第一象限交于点A（n，2），与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D，过点A作AB⊥x轴于点B，△ABC的面积是3，连接BD．

（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；

（2）求△BCD的面积．

18．（7分）阅读下面内容，并解答问题．

探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律

在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．

规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90°加上第三个内角度数的一半．

规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．

如图1，已知点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与

CM的交点，则∠P＝90°+∠A，∠M＝90°﹣∠A．

证明：规律1，∵BP，CP是△ABC的角平分线，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，

∴∠A＝180°﹣2（∠1+∠2），

∴∠1+∠2＝90°﹣∠A，

∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+∠A．

规律2，∵∠3＝（∠A+∠ACB），∠4＝（∠A+∠ABC），

∴∠3+∠4＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A＝90°+∠A，

∴∠M＝180°﹣（∠3+∠4）＝90°﹣∠A．

请解决以下问题：

（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：；

（2）如图2，已知点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角平分线CQ的交点，试探究∠Q和∠A的数量关系？并说明理由．

19．（9分）学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；

（2）已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？

（3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学表现优秀，现决定从这五名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．

20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，与AC相交于点D．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法）

①作∠BAC的平分线AE，交⊙O于点E；

②连接BE并延长交AC于点F．

探索与发现：

（2）试猜想AF与AB有怎样的数量关系，并证明；

（3）若AB＝10，sin∠FBC＝，求BF的长．

21．（9分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48．

（1）请证明发现的规律；

（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；

（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．

22．（11分）综合与实践：再探平行四边形的性质

问题情境：

学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探平行四边形的性质数学活动，以下是“希望小组”得到的一个性质：

如图1，已知?ABCD中，∠BAD＞90°，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则∠EAF＝∠ABC．问题解决：

（1）如图2，当0°＜∠BAD＜90°时，∠EAF＝∠ABC还成立吗？证明你发现的结论；

（2）如图2，连接EF和AC，若∠ACB＝27°，求∠AFE的度数；

拓广探索：

（3）如图3，当0°＜∠BAD＜90°且AB＝BC时，已知EF与AB，AD分别相交于点M和点N，探究图中由点A，E，M，N，F五个点构成的线段或角的数量关系，请你直接写出两个结论（不考虑直角，不必证明）．

23．（14分）综合与探究：如图，已知抛物线y＝2x2+4x﹣6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴相交于点D．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）若点E为坐标平面内一点，且AE＝BE＝CE，求点E的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P，使tan∠ABP＝tan∠ABE？若存在，求出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1．【分析】根据有理数的减法好绝对值计算即可．

【解答】解：1﹣|﹣4|＝1﹣4＝﹣3，

故选：B．

【点评】此题考查有理数的减法，关键是根据有理数的减法好绝对值计算．

2．【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【解答】解：由a＜b，可得：﹣a＞﹣b，﹣2a＞﹣2b，a﹣2＜b﹣2，2﹣a＞2﹣b，

故选：D．

【点评】本题考查了不等式的性质，关键是掌握：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝58°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝92°．

【解答】解：

如图，∵l1∥l2，

∴∠1＝∠3＝58°，

又∵∠4＝30°，

∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣58°﹣30°＝92°，

故选：A．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．

4．【分析】将折线统计图中的数据从小到大重新排列后，根据中位数和众数的定义求解可得．

【解答】解：将这12个数据从小到大重新排列为：10、15、15、20、20、25、25、30、30、30、

30、30，

所以该组数据的众数为30，中位数为＝25，

故选：D．

【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

5．【分析】当原数绝对值＞10时，指数n是正数，且n＝整数数位﹣1．

【解答】解：将15528.5亿用科学记数法表示为：1.55285×1012．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6．【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．

【解答】解：设有x个人，则可列方程：

．

故选：C．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．7．【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最多的正方体的个数．【解答】解：由主视图和左视图可确定所需正方体个数最多时俯视图为：

则组成这个几何体的小正方体最多有10个．

故选：B．

【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．

8．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由

CE＝CD+DE即可得出结论．

【解答】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，

∴四边形ABED是矩形，

∵BE＝9m，AB＝1.5m，

∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，

在Rt△ACD中，

∵∠CAD＝30°，AD＝5m，

∴CD＝AD?tan30°＝9×＝3，

∴CE＝CD+DE＝3+1.5

故选：C．

【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

9．【分析】折痕为AC与BD，∠BAD＝120°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD＝30°，易得∠BAC＝60°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，

∵∠BAD＝120°，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，

∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．

∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

故选：C．

【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．

10．【分析】根据直线y＝x+b可以求得∠BCO的度数，然后根据三角形的外角和不相邻内角的关系可以求得∠BAO的度数，再根据锐角三角函数即可求得b的值．

【解答】解：设直线y＝x+b与x轴交于点C，

将y＝0代入y＝x+b，得x＝﹣b，

将x＝0代入y＝x+b，得y＝b，

∴OB＝OC＝b，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵∠α＝75°，∠α＝∠OCB+∠BAC，

∴∠BAC＝30°，

即∠BAO＝30°，

∵点A（6，0），∠BOA＝90°，点B（0，b），

∴OA＝6，OB＝b，

∴tan30°＝，

解得，b＝2，

故选：A．

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）＝0，

解得：x＝﹣1，

经检验：x＝﹣1是原分式方程的解，

故答案为：x＝﹣1．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

12．【分析】根据A（﹣2，3）和B（2，1）的坐标以及与C的关系进行解答即可．【解答】解：因为A（﹣2，3）和B（2，1），

所以可得点C的坐标为（﹣2，﹣1），

故答案为：（﹣2，﹣1）．

【点评】此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，3）和B（2，1）的坐标以及与C的关系解答．13．【分析】先根据图求出甲的成绩，再由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算．【解答】解：由图中知甲的成绩为7，8，8，9，8，9，9，8，7，7，

甲的平均数＝（7+8+8+9+8+9+9+8+7+7）÷10＝8，

2＝[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]÷10＝0.6，则甲的方差S

甲

故答案为：0.6．

【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1

﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

14．【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多5根火柴棒，根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可．

【解答】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒，6＝5+1，

搭第2个图形需要12根火柴棒，11＝5×2+1，

搭第3个图形需要17根火柴棒，16＝5×3+1，

…，

∴搭第n个图形需要的火柴棒的根数是5n+1．

故答案为：5n+1．

【点评】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键．

15．【分析】分类讨论：当CD＝DE时；当DE＝CE时；当EC＝CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．

【解答】解：分三种情况：

①当CD＝DE时，

∵∠CDE＝40°，

∴∠DCE＝∠DEC＝70°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝110°，

②当DE＝CE时，

∵∠CDE＝40°，

∴∠DCE＝∠CDE＝40°，

∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝80°．

③当EC＝CD时，

∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∵∠ACB＝100°，

∴此时，点D与点A重合，不合题意．

综上所述，若△ADC是等腰三角形，则∠ADC的度数为80°或110°．

故答案为：80°或110°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．【分析】（1）先取绝对值符号、计算负整数指数幂、乘方及零指数幂，再计算加减可得；

（2）先计算括号内分式的加法、将除式分子和分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．

【解答】解：（1）原式＝﹣1+﹣+1＝；

（2）原式＝（+）÷

＝?

＝．

【点评】本题主要考查分式的混合运算和实数的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

17．【分析】（1）由点A的坐标可得出点B的坐标，结合点C的坐标可得出AB、BC的长度，由△ABC的面积是3可得出关于n的一元一次方程，解之可得出点A的坐标，由点A、C的坐标利

用反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，再利用三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．

【解答】解：（1）∵AB⊥x轴于点B，点A（n，2），

∴点B（n，0），AB＝2．

∵点C（1，0），

∴BC＝n﹣1，

＝AB?BC＝n﹣1＝3，

∴S

△ABC

∴n＝4，

∴点A（4，2）．

∵点A在反比例函数y＝（a≠0）的图象上，

∴m＝4×2＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝．

将A（4，2）、C（1，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，

∴一次函数的解析式为y＝x﹣．

（2）当x＝0时，y＝x﹣＝﹣，

∴点D（0，﹣），

∴OD＝，

＝BC?OD＝×3×＝1．

∴S

△BCD

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由△ABC的面积是3

求出n的值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标．

18．【分析】（1）依据证明过程中运用的三角形内角和定理，即可得到结论；

（2）根据三角形外角性质以及角平分线的定义，即可得到∠Q和∠A的数量关系．

【解答】解：（1）上述证明过程中依据的一个定理：三角形内角和等于180°，

故答案为：三角形内角和等于180°；

（2）∠Q＝∠A．理由：

∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于Q，

∴∠QBC＝∠ABC，∠QCD＝∠ACD，

∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠QCD＝∠QBC+∠Q，

∴（∠A+∠ABC）＝∠QBC+∠Q＝∠ABC+∠Q，

∴∠Q＝∠A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题时注意：三角形内角和是180°．19．【分析】（1）用C类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出A类别的人数，由A 的人数可得其所占百分比；

（2）由（1）即可补全条形图；

（3）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：（1）本次调查的总人数为15÷25%＝60（人），

∴A类别人数为：60﹣（24+15+9）＝12，

则m%＝×100%＝20%，

补全图形如下：

（2）估计“文学社团”共有1200×25%＝300（人）；

（3）列表得：