江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学(理)试卷(有答案)

江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考

理科数学试卷

主命题：新余四中 辅命题：鹰潭一中 临川二中

第I 卷（选择题：共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意) 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1

{|

0,}4x B x x Z x

-=>∈-，则A B =I ( ) A ．{2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3} D ．{1,2,3,5} 2．已知复数133i

z i

+=

-，则z =( ) A

．

2

B ．2

C ．1

D ．

12

3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =

( )

A ．1-

B ．2-

C ．1

D ．2

4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

5．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )

A ．充要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果，则判断框中应填入(

)

1320S =

A ．12k ≤

B ． 11k ≤

C ． 10k ≤

D ． 9k ≤

7．已知1,2a b ==，且()

a a

b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为( )

A

B

C ．1

D 8．把函数())6

f x x π

=

-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移

3

π

个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππ C ．[,]123ππ D ．5[,]44

ππ

9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是( )

10．

A ．

B ．

C

D 10．以双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>上一点M 为圆心 作圆，该圆与x 轴相切于C 的

一个焦点F ，与y 轴交于,P Q 两点，若3

PQ =

，则双曲线C 的离心率是( ) A B C ．2 D 11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有( )种

A ．204

B ．288

C ．348

D ．396

12．若曲线()(02)x

f x ae ax x =-<<和()3

2

(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得

AOB ?是以原点O 为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且1

2

A

C C B =u u r u r ，则实数a

的取值范围是( ) A ．2

11,10(1)6(1)e e ?

?

?--?? B ．11,6(1)2e ?? ?-??

C ．1,11e ??

?-?? D ．2

11,10(1)2e ?

?

?-??

第II 卷（非选择题：共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。请将正确答案直接填在答题卡的相应位置)

13．若0

sin a xdx π

=?

，则9(a x

的展开式中常数项为 ．

14．在ABC ?中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，

若2a =，2b c =，1

cos 4

A =，则ABC ?的面积

等于 ．

15．已知关于实数,x y 的不等式组2190802140x y x y x y +-≥??

-+≥??+-≤?

构成的平面区域为Ω，若(),x y ?∈Ω，

使得()()2

2

14x y m -+-≤恒成立，则实数m 的最小值是 ．

16．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是

等腰梯形，//AB CD 且满足222A B A D D C

===

，SC =，则球O 的表面积是 ．

三．解答题：(本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+.

(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

(Ⅱ)若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141

n n c S =

-，求数列{}n c 的前n 项和

n T ．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，120PDC ∠=，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点． （Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；

（Ⅱ）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在

这样的点F ，使得tan θ=AF FB

的值；若不存在，请说明理由.

19．（本小题满分12分）

为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于

120分者为“成绩优秀”）

（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22?列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？

（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X ，求X 的分布列和期望．

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

临界值表

20.（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2

，焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C

上的点，12PF F ?面积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若,OM ON OD +=判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数()ln )f x a x =

-，a R ∈．

（Ⅰ）若()f x 在(0,1]上存在极大值点，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）求证：21

ln 1)n

i i =>∑，其中,2n N n +∈≥．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用

2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线C 的极坐标方程为

22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为

(cos sin )3ρθθ-=．

（Ⅰ）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点,A B ，AB 的中点为M ，1l 与2

l 的交点为N ，求||||PM PN ?．

23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲

若关于x

（Ⅰ）求实数t 的取值范围；

（Ⅱ）若实数t 的最大值为a ，且正实数,,m n p 满足23m n p a ++=，求证：

江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案

一、选择题：

二、填空题： 13．672 14.4

15. 37 16．5π 三、解答题：

17.解：(Ⅰ)设等比数列}{n a 的公比为，由题意，得

256466a a a q q +=?+= 解得2q =或3q =-（舍）…………………2分

又3141a a =?=所以 11

12n n n a a q --== ………………4分

221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=- ………………6分

(Ⅱ)21()[1(21)]

22

n n n b b n n S n ++-=

==．……………7分 ∴21

11141

22121n c n n n ??

=

=

- ?--+??

，…………………9分

∴

11111

112335212121

n n T n n n ????????=-+-+

+-= ? ? ???

-++???????? …………………12分 18.解：（Ⅰ） 四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥. ∵平面PCD ⊥平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD .

)0(>q q

∵D E ?平面PDC ，∴BC DE ⊥.

∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥. 又∵PC

CB C =，∴DE ⊥平面PBC .

又∵D E ?平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD . 在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，

∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，

以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -. 因为1AD PD ==，120PCD ∠=

，∴PC =∵AD ⊥平面PCD ， 则()0,0,0D ，()0,1,0C

，10,2P ?- ??

又E 为PC

的中点，10,4E ? ??

，………………7分

假设在线段AB 上存在这样的点F ，使

得t a n 3θ=

,设()1,,0(0)F m m >

，

10,4DE ?= ??

，()1,,0DF m =，

设平面DEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 则110,0,

n DE n DF ??=???=??

∴

104x my y z +=???=??，

令

y =，

则

1,3z x m =-=-，

则

1(,3,1

)n m =-

-………………9分 AD ⊥平面P C D ，∴平面P C D 的一个法向量2(1,0,0)n =

,tan θ=,

则

cos θ=

∴12cos cos ,n n θ=<>=

=

. 0m >，解得1

3m =

，∴12

AF FB =………………12分

19.解：（1）补充的22?列联表如下表：

根据22?列联表中的数据，得2

K 的观测值为2

40(941611)25152020

k ?-?=

??? 5.227 3.841≈>， 所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分 （2）X 的可能取值为0，1，2，3，

311315(0)C P X C ==16533

45591

==，………………6分

211143

15(1)C C P X C ==22044

45591

==，………………7分

121143

15(2)C C P X C ==66

455

=，………………8分 (3)P X ==

343154

455

C C =，………………9分

所以X 的分布列为

……………10分

33446644012391914554555

EX =?

+?+?+?=………………12分 20.解：(1)由2222c a bc a b c ?=???

=??=+???

解得2,2a b == 得

椭圆C 的方程为

22

142

x y +=.………………4分

（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的

5分

当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程

22142

y kx m x y

=+???+

=??222(12)4240k x kmx m ?+++-= 2

2

8(42)0k m ?=+->，2121222

424

,1212km m x x x x k k --+==++

12122

2()212m

y y k x x m k +=++=

+……………7分

MN =………………8分 点O 到直线MN

的距离是d =

9分

由,OM ON OD +=得22

42,1212D D

km m

x y k k -=

=++ 因为点D 在曲线C 上，所以有22

2242()()1212142

km m k k -+++=整理得

22122k m +=………………10分

由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为

OMDN

S MN d ===………………11分

由22

122k m +=

得

OMDN S =, 故四边形OMDN 的面积是定值，其定值

为

．………………12分

21.解：（1）由于1

21'()(12ln )2

f x x a a x -=--，

则①当0a >时，12'()0ln a

f x x a

->?<

，

即当12(0,e )a a

x -∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；

当12(e

,)a a

x -∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；

故()f x 在12e a a

x -=处取得极大值，

则120e

1a a

-<≤，解得：1

2

a ≥

； ………………………………3分 ②当0a =时，'()0f x >恒成立，()f x 无极值，不合题意舍去；………………4分 ③当0a <时，12'()0ln a

f x x a

->?>， 即当12(0,e )a a

x -∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；

当12(e

,)a a

x -∈+∞时， '()0f x >，()f x 单调递增；

故()f x 在12e a a

x -=处取得极小值，不合题意舍去；

因此当1

2

a ≥

时，()f x 在(0,1]上存在极大值点； ………………6分

（2）法一：令12a =，1

()ln )2

f x x =-，

由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，

1

ln )1

2x -≤，即ln 2(1x ≥，当且仅当1x =时取“=”，………………8分 故

当

2

i ≥时，

4

l 2(1)

i i i

i

i

>

-

->，………………10分

因

此

2

1

2

l

n

n

n n

i i i i i n ==

=

=>-=--=∑∑∑

．………………12分

法二：下面用数学归纳法证明：

21

ln 1)n

i i =>∑，对,2n N n +?∈≥恒成立．

（1）当2n =时，左边1ln 2ln 2=>=，右边2

2111)2()22

=右边，结论成立；

（2）假设当n k =时，结论成立，即

21

ln 1)k

i i =>∑，

当1n k =+时，左边121

1

ln ln ln(1)1)ln(1)k k

i i i i k k +===

=++>++∑∑

21)2(1ln(1)k =-+++，

而ln(1)2(1k +-+ln(1)2ln(1)2

k k =+->+-，

令12a =

，1

()ln )2

f x x =-， 由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，

则1

ln )1

2x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”， (10)

分

则ln(1)20

k +-+

>对k N +?∈恒成立，即

221)2(1ln(1)1)k -+++>成立

故当1n k =+时，结论成立，

因此，综合（1）（2）得21

ln 1)n

i i =>∑，对,2n N n +?∈≥恒成立． (12)

分

22.（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+； 即22(1)(2)9x y -++=

1:(cos sin )3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=.……………4分

（Ⅱ）直线2l 的参数方程1cos sin x t y t α

α=-+??

=?

（t 为参数），

将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=， 设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则

124(cos sin )t t αα+=-…………………………………………………7分

因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为

8分 设N 点的参数分别为3t ，把1c o

s s i n x t y t αα=-+??

=?

代入30x y --=整理得

………10分

23.解：（1

3分 所以3t ≤………………………5分 （2）由（1）可知，3a =,则

12

3m p n p

∴

+≥++………………………10分

12

3m p n p

∴+≥++…………………10分