上海初三中考数学第23题专项复习

上海初三中考数学第23题（几何证明、计算题）专题复习一、历年上海中考真题

2010：23．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE

交BC于点E，连接DE．

（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；

（2）∠ABC=60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC．

2011：23．（本题满分12分，每小题满分各6分）

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

2012：23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、

CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：=

BE DF

（2）当要DF

FC =AD

DF

时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

D

E

B

2013：23．如图8，在△ABC中，ο

90

=

∠ACB，B A

∠>∠，点D为边AB的中点，DE BC

∥交AC于点E，CF AB

∥交DE的延长线于点F．

（1）求证：DE EF

=；

（2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的

延长线于点G，求证：B A DGC

∠=∠+∠．

2014：22．（本题满分10分，每小题满分各5分）

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．

（1）求sinB的值；

（2）如果CD＝5，求BE的值．F

E D

A

C 图8

23．（本题满分12分，每小题满分各6分）

已知：如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．

二、历年金山区模拟考真题

（15一模）23．（本题满分12分）如图，已知⊙O 与⊙1O 外离，OC 与D O 1分别是⊙O 与⊙1O 的半径，OC ∥D O 1．直线CD 交1OO 于点P ，交⊙O 于点A ，交⊙1O 于点B ． 求证：（1）OA ∥B O 1；（2）BD

AC

BP AP =

（15二模）23．（本题满分12分）已知：如图，在中ABC Rt ?中，

?

=∠90ACB ,BC AC =，点E 在边AC 上，延长BC 至D 点，使CD CE =，延长

BE 交AD 于F ，过点C 作CG //BF ，交AD 于点G ，

在BE 上取一点H ，使DCG HCE ∠=∠．

G F

E D C

H

O

A

C

P

D

O 1

B

（1）求证：ACD BCE ???； (2) 求证：四边形FHCG 是正方形．

[注：若要用1∠、2∠等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]

（09二模）23（本题满分10分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 延长线上一点，DE = BC. （1）求证：∠E =∠DBC ；

（2）若等腰梯形ABCD 的中位线长为6，∠E =?30，

求等腰梯形ABCD 的对角线的长。

C

（第23题图）

三、2015年中考题型展望

上海中考数学试卷的出题风格在23题上相对固定，旨在考察学生对于几何问题证明或者计算基本图形之间的综合掌握。题目难度主要以中档层次题目为主，一般不存在找不到思路的情况。若熟练掌握基本几何知识点，就能以不变应万变解答出此类中考问题。 几何证明及计算

（1）特殊三角形的边、角计算（2）特殊三角形的边、角计算。（3）特殊三角形、特殊四边形的性质应用（4）三角形中位线（5）全等三角形、相似三角形的判定和性质应用（6）正多边形的对称性问题（7）圆的垂径定理，圆的切线判定及性质（8）图形运动问题（平移、旋转、翻折）（9）几何图形与锐角三角比结合证明或计算（10）几何图形与函数结合证明或计算

*相似三角形的性质的考察加大力度，主要考察学生的思维及能力解决。

全等三角形的判定：

①边角边公理（SAS ） ②角边角公理（ASA ） ③角角边定理（AAS ） ④边边边公理（SSS ）⑤斜边、直角边公理（HL ） 等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； ④直角三角形中?

30角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形的判定：

①有两个角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系222

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的

逆定理）。 (4)四边形

多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于?

?-180)2(n （n ≥3，n 是正整数）； 平行四边形的性质：

①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定：

①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外） ①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；

矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； 菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外

①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形的判定：四边相等的四边形是菱形； 正方形的特征：

①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

等腰梯形的特征:①等腰梯形同一底边上的两个内角相等 ②等腰梯形的两条对角线相等。

等腰梯形的判定：①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 圆点与圆的位置关系（设圆的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ）：

①点P 在圆上，则d=r ，反之也成立； ②点P 在圆内，则dr ，反之也成立；

圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可得到另外两组也相等

圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；

垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等； 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等；

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来，?

90的圆周角所对的弦是直径； 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；

弧长计算公式：180R

n l π=

（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） 扇形面积：2360

R n S π=扇形

（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长） (6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）

作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线垂线；

图形的相似比例的基本性质：如果

d

c b a =，则bc a

d =，如果bc ad =，则

)0,0(≠≠=d b d

c

b a 相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；

③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方；

相似多边形的性质：

①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例； ③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；

口诀：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

几何图形线段长度计算三大方法：“勾股定理”“相似比例计算”“直角三角形中的三角函数