选考1：《几何证明选讲》专题研究

几何证明选讲专题研究

1、（2011全国新课标卷文·理 22）

如图，D ，E 分别为ABC ?的边AB ，AC 上的点， 且不与ABC ?的顶点重合。已知AE 的长为m ， 的长为n ，AD,AB 的长是关于x 的方程

2140x x mn -+=的两个根。

（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；

（Ⅱ）若90A ∠=?，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所

在圆的半径。

【考点】本题涉及到的考点：①相似三角形的判定定理；②圆内接四边形的判定定理. 【解析】

（I ）连接DE ，

根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD ·AB=mn=AE ·

AC

即

AB

AE

AC AD = 又∠DAE=∠CAB ，

从而△ADE ∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．

（Ⅱ）当m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12

故AD=2，AB=12

取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点连接DH.

因为C ，B ，D ，E 四点共圆

所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于∠A=900

故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF=

2

1

(12-2)=5 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52

【点评】本题主要是考查相似三角形的判定定理的应用以及四点共圆的证明. 2、（2012全国新课标卷文·理 22）

如图，D ，E 分别是△ABC 边AB,AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆与F,G 两点，若CF ∥AB ，证明： （Ⅰ）CD=BC ；

（Ⅱ）△BCD ∽△GBD. 【考点】本题涉及到的考点：①三角形中位线定理的应用；②平行四边形的判定定理；③相似三角形的判定定理.

F

G

D

E A

B C

【解析】

（Ⅰ）∵D ，E 分别为AB,AC 的中点 ∴DE ∥BC ∵CF ∥AB

∴四边形BCFD 是平行四边形 ∴CF=BD=AD 连结AF

∴四边形ADCF 是平行四边形 ∴CD=AF ∵CF ∥AB ∴BC=AF ∴CD=BC

（Ⅱ）∵FG ∥BC ∴GB=CF

由（Ⅰ）知BD=CF ∴GB=BD

∵∠DGB=∠EFC=∠DBC ∴△BCD ∽△GBD

【点评】本题主要是考查平行四边形的判定定理以及相似三角形的判定定理的应用. 3、（2013全国新课标I 文·理22）

如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，

∠ABC 的平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D. （Ⅰ）证明：DB=DC ；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径.

【考点】本题涉及到的考点：①弦切角定理；②圆周角定理的推论；③全等三角形的性质. 【解析】

（Ⅰ）连结DE ，交BC 与点G. 由弦切角定理得∠ABF=∠BCE ∵∠ABE=∠CBE

∴∠CBE=∠BCE ，BE=CE 又∵DB ⊥BE

∴DE 是直径，∠DCE=0

90

由全等三角形的性质可得DB=DC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE ，BD=DC 故DG 是BC 的中垂线 ∴BG=

32

设DE 中点为O ，连结BO

则∠BOG=o

60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=o

30 ∴CF ⊥

BF

D C

B

E

A

∴Rt △BCF 的外接圆半径等于

32

. 【点评】本题主要是考查弦切角定理的应用、圆周角定理的推论的应用以及全等三角形的性质的应用. 4、（2013全国新课标II 文·理22）

如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，

,E F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ?=?，,,,B E F C 四点共圆．

（Ⅰ）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；

（Ⅱ）若DB BE EA ==，求过,,,B E F C 四点的圆的面积与

△ABC 外接圆面积的比值．

【考点】本题涉及到的考点：①弦切角定理；②圆内接四边形的性质定理；③圆周角定理的推论. 【解析】

（Ⅰ）因为CD 为△ABC 外接圆的切线 所以∠DCB =∠A ,由题设知

EA

DC

FA BC = 故△CDB ∽△AEF

所以∠DBC =∠EFA

因为B,E,F,C 四点共圆

所以∠CFE =∠DBC,故∠EF A =∠CFE=90°

所以∠CBA=90°

因此CA 是△ABC 外接圆的直径. （Ⅱ）连结CE 因为∠CBE=90°

所以过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE 由DB=BE,有CE=DC 又2BC =DB ·BA=22DB 所以2CA =42DB +2BC =62DB 而2DC =DB ·DA =32DB

故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为2

1

.

【点评】本题主要是考查弦切角定理的应用、圆内接四边形的性质定理的应用以及圆周角定理的推论的应用.

C

A

B

D

F

E

C

A

B

D

F

E

5、（2014全国新课标I 文·理22）

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE （Ⅰ）证明：∠D=∠E ；

（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.

【考点】本题涉及到的考点：①圆内接四边形的性质定理；②垂径定理. 【解析】

(Ⅰ)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆 所以∠D=∠CBE 由已知得∠CBE=∠E 故∠D=∠E

（Ⅱ）设BC 的中点为N,连结MN, 则由MB=MC 知MN ⊥BC 故O 在直线MN 上

又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点 故OM ⊥AD,即MN ⊥AD 所以AD//BC 故∠A=∠CBE 又∠CBE=∠E 故∠A=∠E

由(Ⅰ)知，∠D=∠E

所以△ADE 为等边三角形

【点评】本题主要是考察圆内接四边形的性质定理的应用以及垂径定理的应用 6、（2014全国新课标II 文·理22）

如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E.证明：

（Ⅰ）BE=EC ；

（Ⅱ）AD DE=22PB

【考点】本题涉及到的考点：①弦切角定理；②圆周角定理的推论； ③切割线定理；④相交弦定理. 【解析】

（Ⅰ）连结AB,AC 由题设知PA=PD 故∠P AD=∠PDA

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠P AD=∠BDA+∠P AB,

∠DCA=∠P AB , 所以∠DAC=∠BAD

从而⌒BE

=⌒EC ,因此

BE=EC

N

A

O

B

D

C

E

（Ⅱ）由切割线定理得2

PA =PB ·PC

因此PA=PD=DC

所以DC=2PB ，BD=PB.

由相交弦定理得AD ·DE=BD ·DC 所以AD ·DE=22

PB .

【点评】本题主要是考查弦切角定理、圆周角定理的推论、切割线定理以及相交弦定理 的应用 7、（2015全国新课标I 文·理22） 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E .

（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线 （Ⅱ）若CE OA 3=，求∠ACB 的大小.

【考点】本题涉及到的考点：①圆的切线判定与性质； ②圆周角定理；③直角三角形射影定理. 【解析】

（Ⅰ）连接AE

由已知得BC AE ⊥，AB AC ⊥ 在AEC ?Rt 中，由已知得DE =DC 故DCE DEC ∠=∠

连接OE ，则∠OBE =∠OEB 又∠ACB +∠ABC =90° 所以∠DEC +∠OEB =90°

故 90=∠OED ，DE 是⊙O 的切线 （Ⅱ）设CE =1，AE =x ，

由已知得32=AB ，212x BE -= 由射影定理可得BE CE AE ?=2 所以2212x x -=

即4

2

120x x +-=，解得3=x

所以 60=∠ACB 【点评】本题主要是考查圆的切线判定与性质、圆周角定理以及直角三角形射影定理的应用.

A

O

B

D C E