函数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用复习1
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函数复习
内容:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一.常见函数(基本初等函数): 1.)(为常数C C y = 2.)0(≠+=k b kx y 3.)0(2≠++=a c bx ax y 4.x
y 1
= 5.幂函数:)(Q a x y a ∈=(包括前四个函数) 6.指数函数:)10(≠>=a a a y x 且 7.对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且
8.三角函数:x y sin =,x y cos =,x y tan =,x y cot =,x y sec =,x y csc =
由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如:d cx bx ax y +++=23,
x x y 2log 1sin +
=,x
x
y 513
+=,试着分析以上函数的构成。 二.定义域:
1.“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。 2.求定义域:
例1求下列函数定义域:(1)23()lg(31)1x f x x x
=++- (2))25(log sin )(22
1x x x f -+=
例2设2()lg 2x f x x +=-,则2
()()2x f f x
+的定义域为__________
变式练习:24)2(x x f -=-,求)(x f 的定义域。
三.值域:
1.①432+=x x y ②1
1
y 22+-=x x
2. ①1+=x x y ②1
1+-=x x y
③]5,1(,1
4522∈-+-=x x x x y ④1sin 10
sin 7sin 2+++=x x x y
3. ①2123y x x =++; ②2
2422
--=x x x y
4. ①12-+-=x x y ; ②12y x x =--
5. ①)3)(cos 3(sin ++=x x y
②已知直角三角形的三边之和为2,求此三角形面积S 的最大值。 ③1cos 2cos --=x x y ④2
sin 1
cos --=x x y
6.函数2
3
x x 21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。
练习:已知二次函数bx ax x f +=2
)( 满足0)2(=f 且方程x x f =)(有等根。
(1)求)(x f 的解析式;(2)问是否存在实数n m ,)(n m <使)(x f 的定义域为],[n m ,值域为
]2,2[n m 。如存在,求出n m ,的值,若不存在说明理由。
答案:(1)x x x f +-=2
2
1)(,(2)m=-2,n=0
7.已知函数1
2)(22+++=x c
bx x x f (b<0)的值域为[1,3],求实数b ,c 的值。
8.(07浙江理)设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩,
≥,,
,()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+,∞,则()g x 的
值域是( )C
A .(][)11--+ ∞,,∞
B .(][)10--+ ∞,,∞
C .[)0+,∞
D .[)1+,∞
9.已知 3()2log f x x =+1
(
9)81
x ≤≤,求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值。
小结:函数值域的计算能力要求高、考查频率高,应该分类归纳,各个击破。难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。
四.单调性:
1.单调性的证明: (1)定义法:
例 判断函数)()(3
R x x x f ∈-=的单调性,并用定义证明。
练习:已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ,点)4,2(--在)(x f 的反函数图像上。 (1)求)(x f 的反函数)(1
x f
-;(2)证明)(1
x f -在定义域内是减函数。
答案:(1)]1,4[,224)(21
-∈-+-=-x x x x f
2.单调性的简单应用:
例 (1)函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________
(2)已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数,则a 的取值范围是_________
练习:若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-2
,k 上是减函数,则实数k 的取值范围是__
__________________ 高考真题:已知(31)4,1
()log ,1
a a x a x f x x x -+<⎧=⎨
>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 ( )
(A )(0,1) (B )1(0,)3
(C )11[,)73 (D )1
[,1)7