函数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用复习1

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函数复习

内容:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一.常见函数(基本初等函数): 1.)(为常数C C y = 2.)0(≠+=k b kx y 3.)0(2≠++=a c bx ax y 4.x

y 1

= 5.幂函数:)(Q a x y a ∈=(包括前四个函数) 6.指数函数:)10(≠>=a a a y x 且 7.对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且

8.三角函数:x y sin =,x y cos =,x y tan =,x y cot =,x y sec =,x y csc =

由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如:d cx bx ax y +++=23,

x x y 2log 1sin +

=,x

x

y 513

+=,试着分析以上函数的构成。 二.定义域:

1.“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。 2.求定义域:

例1求下列函数定义域:(1)23()lg(31)1x f x x x

=++- (2))25(log sin )(22

1x x x f -+=

例2设2()lg 2x f x x +=-,则2

()()2x f f x

+的定义域为__________

变式练习:24)2(x x f -=-,求)(x f 的定义域。

三.值域:

1.①432+=x x y ②1

1

y 22+-=x x

2. ①1+=x x y ②1

1+-=x x y

③]5,1(,1

4522∈-+-=x x x x y ④1sin 10

sin 7sin 2+++=x x x y

3. ①2123y x x =++; ②2

2422

--=x x x y

4. ①12-+-=x x y ; ②12y x x =--

5. ①)3)(cos 3(sin ++=x x y

②已知直角三角形的三边之和为2,求此三角形面积S 的最大值。 ③1cos 2cos --=x x y ④2

sin 1

cos --=x x y

6.函数2

3

x x 21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。

练习:已知二次函数bx ax x f +=2

)( 满足0)2(=f 且方程x x f =)(有等根。

(1)求)(x f 的解析式;(2)问是否存在实数n m ,)(n m <使)(x f 的定义域为],[n m ,值域为

]2,2[n m 。如存在,求出n m ,的值,若不存在说明理由。

答案:(1)x x x f +-=2

2

1)(,(2)m=-2,n=0

7.已知函数1

2)(22+++=x c

bx x x f (b<0)的值域为[1,3],求实数b ,c 的值。

8.(07浙江理)设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩,

≥,,

,()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+,∞,则()g x 的

值域是( )C

A .(][)11--+ ∞,,∞

B .(][)10--+ ∞,,∞

C .[)0+,∞

D .[)1+,∞

9.已知 3()2log f x x =+1

(

9)81

x ≤≤,求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值。

小结:函数值域的计算能力要求高、考查频率高,应该分类归纳,各个击破。难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。

四.单调性:

1.单调性的证明: (1)定义法:

例 判断函数)()(3

R x x x f ∈-=的单调性,并用定义证明。

练习:已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ,点)4,2(--在)(x f 的反函数图像上。 (1)求)(x f 的反函数)(1

x f

-;(2)证明)(1

x f -在定义域内是减函数。

答案:(1)]1,4[,224)(21

-∈-+-=-x x x x f

2.单调性的简单应用:

例 (1)函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________

(2)已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数,则a 的取值范围是_________

练习:若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦

⎤ ⎝

⎛∞-2

,k 上是减函数,则实数k 的取值范围是__

__________________ 高考真题:已知(31)4,1

()log ,1

a a x a x f x x x -+<⎧=⎨

>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 ( )

(A )(0,1) (B )1(0,)3

(C )11[,)73 (D )1

[,1)7

解:依题意,有0

3

,又当x <1时,(3a -1)x +4a >7a -1,当x >1时,

log a x <0,所以7a -1≥0解得x ≥1

7

故选C

例 已知函数)(x f y =的图象与函数x

a y =(0>a 且1≠a )的图象关于直线x y =对称,记

]1)2()()[()(-+=f x f x f x g .若)(x g y =在区间]2,2

1

[上是增函数,则实数a 的取值范围是

( )D

A .),2[+∞

B .)2,1()1,0(

C .)1,21[

D .]2

1,0(

例 设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ,给出下述命题:

①)(x f 有最小值;

②当0=a 时,)(x f 的值域为R ;

③当0>a 时,)(x f 在区间),2[+∞上有反函数;

④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是4-≥a 则其中正确的命题是_____________(要求:把正确命题的序号都填上)

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