2014年---模拟试题B中北大学理论物理

第 二 学期末模拟试题（B 卷）

课程名称 理论物理导论

使用班级： 11060241 11060242 11060441 11060442

一、填空（共30分 每空2分）

1、若某原子的主量子数n =3，则角动量量子数l 可以取值为 0、1、2， ，

磁量子数m 可以取值为 0、±1、±2， ，自旋量子数m s 可以取值为 ±1/2 。

2、薜定谔方程的表达式

()22

2i U r t μ

?ψ=-?ψ+ψ? 。

3、某金属的逸出功为A ，若某单色光照射到金属上后发生光电效应现象，则此单色光的波长λ必须满足

hc

A

。 4、康普顿散射实验中，入射光子与散射光子的夹角为 π或180° 时，光子的频率减小得最多，夹角为 0 时，光子的频率保持不变。

5、定态薜定谔方程的表达式

()()()()22

2E r r U r r ψψψμ

=-?+ 。

6、对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系 h

p

λ=

7、德布罗意关系是 ,h E h p n k νωλ

====

。

8、描述自由粒子波粒二象性的是 平面波 波，其表达式为 22

2i t μ

?ψ=-?ψ? 。

二、选择题（共20分每小题2分）

1、光电效应产生与下列哪些量有关（C ）

A、光照强度

B、光照时间

C、光照频率

2、波函数的统计解释和态叠加原理都体现了（C ）

A、波的粒子性

B、波的波动性

C、波粒二象性

3、黑体辐射能是：（A ）

A、量子化的

B、连续的

C、不能确定

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：（A ）

A. *ψ一定也是该方程的一个解；

B. *ψ一定不是该方程的解；

C. Ψ 与*ψ一定等价；

D.无任何结论。

5、关于不确定(测不准)关系有以下几种理解，其中正确的是：（C ）

A、粒子的动量不可能确定

B、粒子的坐标不可能确定

C、粒子的动量和坐标不可能同时确定

6、光子的静止质量是：（A ）

A、零

B、与频率有关

C、大于零

D、以上答案均不正确。

7、波函数ψ的模的平方|ψ|2代表：（B）

A、微粒在空间某体积微元出现的概率；

B、微粒在空间某体积微元出现的概率密度；

C、微粒在空间的运动轨迹；

D、以上答案均不正确。

8、线性谐振子的两个相邻能级间的间隔是（A）：

A．1/2 ?ωB．?ωC．2 ?ωD．4 ?ω

9、L2的本征函数中，对应一个l值有（C）个量子状态。

A．l B．2l C．2l+1 D．2l－1

10、微扰理论适用的条件是：（B）

A．|H’mn/(E(0)n- E(0)m)| 》1 B．|H’mn/(E(0)n- E(0)m)| 《1

C．|H’mn/(E(0)n- E(0)m)| 》0 D．|H’mn/(E(0)n- E(0)m)| 《0

三、简答题（共20分，共3小题）

1、什么是厄密算符? 动量算符是不是厄密算符？

答：（1）如果对于两任意函数ψφ和，算符?F

满足下列等式 **??()F

dx F dx ψφψφ=??

则称?F

为厄密算符，式中x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 （2）对于动量算符的任意一个分量?x p

，有

***

*

**?()?()x x p

dx i dx x

i i dx

x i dx x p

dx ψφψφψψφφψφψφ∞

∞

-∞

-∞∞

∞

-∞-∞∞-∞∞

-∞?=-??=-+??=-?=?

???? （3分）

最后一步根据波函数有限性条件，ψφ和在x →±∞时都等于零。所以动量算符是厄密算符。

2、 请写出统计物理中最典型的三个统计分布、对应的表达式、各自应用范围。（6分）

对费米系统有费米-狄拉克分布：

1l l

l a e αβεω+=

+；（2分）

对玻色系统有玻色-爱因斯坦分布：

1l l

l a e ω+=

-；（2分）

对粒子可以分辨的系统有玻尔兹曼分布：l

l

l a e

αβεω+=

。（2分）

3、简要描述自旋现象，并给出自旋假设。

为了解释氢原子光谱的双线结构，1925年乌伦贝克和歌德施密特提出电子具有一个内部角动量附加在电子的轨道角动量之上。这个内部角动量称为电子自旋或电子自旋角动量，取值为

2

。电子自旋角动量在任何空间方向上的投影只有两个可能取向，其大小为s m h ，1

2

s m =±。自旋角动量是一个在经典理论中没有对应量的物理量，称为微观客体的内禀特性。

四、证明题（共10分）

1、证明(,,)x y z x y z ψ=++是角动量算符2

?L

的本征值为2

2 的本征函数。 证明： ()()()???x y z L i y z i y z z

y L i z x i z x x

z L i x y i x y y

x ψψψψψψψψψ????=--=--

?????????=--=-- ?

????????=--=-- ?

???? （3分） 同理，222???x y z L L L ψψψ===???x

y

z

L L L ()()()()()()

222

???x y z

L y z L z x L

x y ψψψ=+=+=+ （2分） 则2?L ψ=2?x L ψ2?y L ψ++()222?22z

L x y z ψψ=++= （2分） 得证。

2、证明()

22

x x i p x xp -为厄密算符。

证明：

()

()

()()2222x x x x x x x x x x x x x x i p x xp i p x p xp p xp xp i p p x xp p x xp p -=-+-=-+-????

（3分）

由于 x x xp p x i -= （2分）

()

()()222x x x x x

i p x xp i p i i p p -=-+-????= （1分） 因为x p 是厄密算符，则()

22

x x i p x xp -也是厄密算符。 （2分）

五、计算题，请在（一）（二）中任选一题作答，分值不累加。（均为10分 ）

（一）某粒子在[-1，1]的一维无限深势阱中运动，

其归一化波函数为)2

()1x x ψ=-，

求 ?)()(22=?p x ??

解：0x = （1分） 0p = （1分）

()()1

122

2

2

2211151

1167

x x x dx x x dx ψ--==-=?? （3分） ()()

()()21

12

2

22

221115512162

d x p x i x dx dx ψψ--=

-=--=?? （3分） ()2

?x

?()2

?p

?()2

?x x =-()2

?p

p -=2?x

222155

?7214

p == （2分）

（二）1、一维线性谐振子处于状态

t i x Ae

t x ωαψ2

12122),(--=

（1）求归一化因子A ；

（2）求谐振子坐标x 的平均值； （3）求谐振子势能的平均值。

解（1）

??

∞

∞

--∞

∞

-*=dx e A dx x 2

22αψψ

?

∞

-=0

2

2

22dx e A x

α

?∞

-=

02

2

2ξαξd e A

α

π

2A = （2分）

由归一化的定义

1=?

∞

∞

-*dx ψψ

得 π

α

=A （2分） （2） ??

∞

∞

-∞

∞

--==

dx xe

A

dx x xP x x 2

22

)(α

因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故

0=x （2分） （3）?

∞∞-=

dx x P x U U )()(

?

∞

∞--=dx e kx x 2

2221απα ?∞-=0

222dx e x k x απ

α ?

∞

-=

222

ξξπ

αξd e k

????

??+-=?∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k

?∞-=0

22

21ξπαξd e k 2

212

π

παk

=

2

4α

k =

将2

μω=k 、

μω

α=

2

代入，可得

02

141E U ==

ω 是总能量的一半，由能量守恒定律

U T E +=0

可知动能平均值

U

E

U

E

T=

=

-

=

02

1

和势能平均值相等，也是总能量的一半。（2分）

2

2

2

*2-2

--

2-2

2

-

()()=

2

ax

ax

x x dx A e dx

A e dx

e d

A

ξ

ψψ

ξ

∞∞

∞∞

∞

∞

=

=

=

??

?

?（3分）

由归一化条件

*

-

()()1

x x dx

ψψ

∞

∞

=

?

得

1

4

2

A=

a

π

??

?

??

（3分）（2）2

*2-2

--

=A ax

x x dx xe dx

ψψ

∞∞

∞∞

=

??

因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故

=0

x