几何画板实验作业资料

2013级《几何画板》期末测试题

1. 做一个双圆四边形：既有内切圆，又有外接圆的四边形，要画出它的的内切圆

与外接圆，并且能拖动控制点使之放大和缩小。

2. （2013年安徽省中考数学第14题） 已知矩形纸片ABCD 中，AB =1，BC =2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点（E 、F 是该矩形边界上的点），

折叠后点A 落在A ，处，给出以下判断：

（1）当四边形A ，CDF 为正方形时，EF =2 （2）当EF =2时，四边形A ，CDF 为正方形

（3）当EF =5时，四边形BA ，CD 为等腰梯形；

（4）当四边形BA ，CD 为等腰梯形时，EF =5。

其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）。

实验要求：

用几何画板作出矩形及其折痕，以及折叠后的图形，拖动控制点，使折痕变动，折叠后的图形变动，从而验证上述四个判断的正确性。

3. （2013年安徽省中考数学第23题）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C 。

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一

个等腰三角形和一个梯形（画出所有可能情形）。

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB

∥DE ，AE ∥DC ，求证：EC

BE DC AB

（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）

实验要求：

画出（1）、（2）小题的精确图形。

作出（3）小题的动态图形，拖动控制点，使得点E 在四边形内部、在BC 边上、在四边形外部，观察结论是否成立。特别E 在外部时，结论何时成立？请指出来。

4. （2013年安徽省高考数学第15题）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当102CQ <<

时，S 为四边形； ②当12

CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113

C R =；

④当314

CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为

62

.

实验要求： 作一个正方体，作出过点,,A P Q 的平面，拖动控制点，使得截面（构造截面内部）能够动起来，从而验证上述结论的正确性。

5. （2013年安徽省高考数学文科第12题）若非负变量x ，y 满足约束条件124x y x y -≥-??+≤?

，则x ＋y 的最大值为________． 实验要求：

画出平面区域以及目标函数的图象，目标函数的图象是动态的，通过移动可以得出最大值，及取得最大值时目标函数的图象的位置。

6. （2013年安徽省高考数学文科第21题）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．

实验要求：

在稿纸上直接求出第（1）题的椭圆C 的方程，然后用几何画板画出该椭圆，然后通过作图验证第（2）问的结果。

7. （2013年安徽省高考数学理科第9题） 在平面直角坐标系中，O 是坐标

原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB

→＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )

A ．2 2

B ．2 3

C ．4 2

D ．4 3

实验要求：

用几何画板画出各个向量以及点P 的轨迹（是一个区域），然后通过测量，得出点P 的轨迹所表示区域的面积的近似值，从而得出答案。

8. （2013年全国新课标高考数学卷Ⅰ文科第24题）已知函数f (x )＝|2x －1|＋

|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )

(2)设a >－1，且当x ∈????

??－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 实验要求：

用几何画板画出函数图象，探究不等式的解集及参数a 的取值范围。

9. （2013年全国新课标高考数学卷Ⅰ文科第21题） 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

实验要求：

用几何画板画出各圆，构造出圆心P 的轨迹，在稿纸上算出C 的方程；作出直线l ，并测量出|AB |的值。注意：l 是与圆P ，圆M 都相切，有2种情况。

10. 作一个ABC ?，作三边上的高，垂心为H ，并作出三角形的重心G 和外心O 。以下九点共圆：三边的中点、三条高的垂足、垂心与各顶点连线的中点，这个圆叫做九点圆。作出这九点及九点圆，圆心为J 。验证O 、G 、J 、H 这四点共线，作出这条直线，并标记为l ，这条直线也叫做欧拉线。度量OG 、GJ 、JH 、

GH ，

通过计算试发现：OG 与GH 的关系，OG 与GJ 的关系，以及OG 、GJ 、JH 之间的关系。

11. （1）作一个圆与一个正方形，在圆上构造一点，在正方形的边界上构造一点，将两点连成线段，并作线段的中点。分别以圆上的点与正方形上的点作一个动画按钮，并生成一个系列按钮，追踪中点的轨迹（第一页），构造中点的轨迹（第二页）。

（2）作一个正方体，设置一个动画按钮，让其绕着上下底面中心的连线转动

12.（ 2014年高考数学安徽卷理科第19题）

如图1，已知两条抛物线

22111222:2(0),:2(0)E y p x p E y p x p =>=>,过点O 的两条直线1

l 和2l ，1l 与1E 和2E 分别交于12,A A 两点,2l 与1E 和2E 分别交于

12,B B .

(Ⅰ)证明:1122//A B A B

(Ⅱ)过点O 作直线l (异于12,)l l 与1E 和2E 分别交于12,C C 两点，记

的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的值． 实验要求：

画出图1，求解第(Ⅱ)问，要求12,p p 是变动的参数。并把结论推广到椭圆与

双曲线中去，并画出相应的图形。

13. 利用几何画板解答2011年高考数学安徽卷压轴题：

设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。

要求：用几何画板作出右图，并追踪点P 的轨迹，

并得出点P 的轨迹方程。

14. 利用几何画板研究2011年高考数学安徽卷第16题：（求导、作图、得出答案）

设2()1x

e f x ax

=+，其中a 为正实数。 （Ⅰ）当a 43

=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

图1