2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案

2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞

行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3

5

. 【解析】 【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，

'30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=

3

3

3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ，

∴AB=sin 30AC

?

=6012

=120（m ）

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3

在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°，

∴DC=333∴3

∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC=

'A E DE 5032

35

答：从无人机'A 上看目标D 2

35

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC V 中，sin AC B AB =

，所以3sin 3725155

AC AB ?

=?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4

sin 15125

CM AC CAM =?∠=?

=，

3

cos 1595

AM AC CAM =?∠=?=.

在Rt ADM △中，tan MD

DAM AM

∠=，

所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =

+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有24917

16v

=

，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解.

答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

3．已知Rt △ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD=DC ，延长CB 交⊙O 于点E ．

（1）图1的A 、B 、C 、D 、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ． ①若CF=CD 时，求sin ∠CAB 的值；

②若CF=aCD （a ＞0）时，试猜想sin ∠CAB 的值．（用含a 的代数式表示，直接写出结

果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得

sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，

∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，

∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD?AF．

①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC?3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC?（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，

∴sin∠CAB=sin∠CED==．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

4．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接，若，．

①求的值；

②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以

的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．

【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为

【解析】

试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；

②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.

试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.

与交于点O,且关于对称

四边形是菱形.

（2）①连接,直线分别交于点,交于点

关于的对称图形为

在矩形中，为的中点，且O为AC的中点

为的中位线

同理可得：为的中点，

②过点P作交于点

由运动到所需的时间为3s

由①可得，

点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A

即：

由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.

如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.

在中，设

解得：

和走完全程所需时间为

考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置

5．如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）

参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．

【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】 【分析】

过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论． 【详解】

解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．

由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．

设AB = x ，则 AH = x – 3．

在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451AB

AEB EB

∠=?==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15． 在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AH

ADH HD

∠=． 即得 3

tan3215

x x -?=+． 解得 15tan323

32.991tan32x ??+=

≈-?

．

∴ 塔高AB 约为32.99米． 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

6．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）

【答案】215.6米． 【解析】 【分析】

过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，

根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】

解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点

在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=?， ∴AM=CM=200米，

又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BN

DN =

≈o

米，

∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】

本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.

7． 兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°，拉索AB 的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD 的长），试求出主塔BD 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【答案】主塔BD 的高约为86.9米． 【解析】 【分析】

根据直角三角形中由三角函数得出BC 相应长度，再由BD=BC+CD 可得出. 【详解】

在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，

sin BC

A AB

=

． ∴sin 152sin311520.5279.04BC AB A ?=?=?=?=．

79.047.986.9486.9BD BC CD =+=+=≈（米） 答：主塔BD 的高约为86.9米． 【点睛】

本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.

8．如图①,在菱形ABCD 中,60B ?∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作

//PN AC ，且3

2

PN PQ =

，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S . （1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长. （2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值. （3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，

（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值

【答案】（1）PQ =；（2）

45

；（3）2-+-；（4） 23t = 或

8

7

t = ． 【解析】 【分析】

（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰

三角形，得出PF=QF ，PF=P ，即可得出结果；

（2）当点M 落在边BC 上时，由题意得：△PDN 是等边三角形，得出PD=PN ，由已知得

，得出PD=3t ，由题意得出方程，解方程即可；

（3）当0＜t≤45时，t ，，S=矩形PQMN 的面积=PQ×PN ，即可得出结果；当

4

5

＜t ＜1时，△PDN 是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t ，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，

（5t-4），S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积，即可得出结果；

（4）分两种情况：当0＜t≤

4

5

时，△ACD 是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG 是△MNH 的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；

当4

5＜t≤2时，由平行线得出△OEF ∽△MEQ ，得出EF OF EQ MQ =23t t -=，

解得，得出+程即可． 【详解】

（1）∵在菱形ABCD 中，∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∵PQ ⊥AC ，

∴△APQ 是等腰三角形，

∴PF=QF ，PF=PA?sin60°=2t×

2

， ∴

；

（2）当点M 落在边BC 上时，如图2所示：

由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD=PN，

∵PN=3

2PQ=

3

2

×23t=3t，

∴PD=3t，

∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，

解得：t=4

5

．

（3）当0＜t≤4

5

时，如图1所示：

PQ=23t，PN=3

PQ=

3

×23t=3t，

S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2；

当4

5

＜t＜1时，如图3所示：

∵△PDN是等边三角形，

∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，

∴335t-4），

∴S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积=63t 2-2×1

2

×3（5t-4）2=-19t 2+403t-163， 即S=-19t 2+403t-163； （4）分两种情况：当0＜t≤

4

5

时，如图4所示：

∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD=4， ∵O 是AC 的中点，

∴OA=2，OG 是△MNH 的中位线， ∴OG=3t-（2-t ）=4t-2，NH=2OG=8t-4， ∴△MNH 的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=1

3

×63t 2， 解得：t=23

； 当

4

5

＜t≤2时，如图5所示：

∵AC ∥QM ， ∴△OEF ∽△MEQ ， ∴

EF OF EQ MQ =233t

t EF t

-=+， 解得：2332t t -，

∴2

332

34t t t t --+，

∴△MEQ 的面积=12×3t×2

3322

34t t t t -+）=1332，

解得：t=8

7

；

综上所述，当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，t的值为2

3

或

8

7

．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．

9．已知抛物线y＝﹣1

6

x2﹣

2

3

x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称

轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．

(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y＝1

3

x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，

5

3

）时，四边形AOCP的面积最大，此时

|PM﹣OM|61 (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（

3

5

，

19

5

）．

【解析】

【分析】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；

（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．

【详解】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，

2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，8

3

），C点坐标为（0，2），则过点C

的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k

1

3

=，则：直线AC的表达式

为：y

1

3

=x+2；

（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP

的面积最大即可，设点P坐标为（m，

1

6

-m2

2

3

-m+2），则点G坐标为（m，

1

3

m+2），

S△ACP

1

2

=PG?OA

1

2

=?（

1

6

-m2

2

3

-m+2

1

3

-m﹣2）?6

1

2

=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式

取得最大值，则点P坐标为（﹣3，5

2

）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有

最大值，直线OP的表达式为：y

5

6

=-x，当x＝﹣2时，y

5

3

=，即：点M坐标为（﹣2，

5 3），|PM﹣OM|的最大值为：2222

555

(32)()2()

233

-++--+=61．

（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝

DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a

8

3

=，则：MC

10

3

=，过点D作x轴的垂线交x

轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt △DMC 中，12DH ?MC 12=MD ?DC ，即：DH 108

33

?

=?2，

则：DH 85=

，HC 65==，即：点D 的坐标为（61855

-，）； 设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣6

D ′坐标为（618

55，-

++），而点E 坐标为（﹣6，2），则2''

A D =

22618

(6)()

55

-++=36，2'A E =222)+=24m +，2

'ED =22248(

(

55+=2128

5m +．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：

①当2''

A D +

2'A E

=

2

'ED 时，36+2

4

m -

=21285m +，解得：m ，

此时D ′（618

55，-++）为（0，4）； ②当2''

A D +

2'ED =2

'A E 时，36+2

128

5m +=2

4m +，解得：

m =

D ′（61855，-）为（－6，2）；

③当2'A E +2'ED =2

''A D 时，2

4

m +21285m +=36，解得：m =

或m =

5

，此时D ′（61855，-+）为（－6，2）或（35-，195）．

综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，19

5

）． 【点睛】

本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．

10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合） （1）如果∠A ＝30°，

①如图1，∠DCB 等于多少度；

②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段

DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）

【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝

2DE?tanα．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；

②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，

（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．

【详解】

（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，

∵AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴△CDB是等边三角形，

∴∠DCB＝60°．

②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，

∴△CDB为等边三角形.

∴∠CDB＝60°

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，

∵∠PDF＝60°，DP＝DF，

∴∠FDB＝∠CDP，

在△DCP和△DBF中

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF.

（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．

理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α， ∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，

∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ， ∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α， ∵∠PDF ＝2α，

∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，

∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ， ∴DP ＝DF ， 在△DCP 和△DBF 中

DC DB CDP BDF DP DF =??

∠=∠??=?

， ∴△DCP ≌△DBF ， ∴CP ＝BF ， 而 CP ＝BC+BP ， ∴BF ﹣BP ＝BC ，

在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，

∴tan ∠CDE ＝

CE

DE

， ∴CE ＝DEtanα，

∴BC ＝2CE ＝2DEtanα， 即BF ﹣BP ＝2DEtanα． 【点睛】

本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．

11．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为53°．已知BC ＝90米，且B 、C 、D 在同一条直线上，山坡坡度i ＝5：12．

(1)求此人所在位置点P 的铅直高度．(结果精确到0.1米)

(2)求此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽

略不计，参考数据：tan53°≈4

3

，tan63.4°≈2)

【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】

分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.

详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，

∵斜坡的坡度i＝5:12，

设PF＝5x，CF＝12x，

∵四边形BFPE为矩形，

∴BF＝PEPF＝BE.

在RT△ABC中，BC＝90，

tan∠ACB＝AB BC

，

∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，

∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.

在RT△AEP中，

tan∠APE＝

18054

90123 AE x

EP x

-

≈

＝

＋

，

∴x＝20

7

，

∴PF＝5x＝10014.3

7

≈.

答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.

由(1)得CP＝13x，

∴CP＝13×20

7

≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.

答：从P到点B的路程约为127.1米.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.

12．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．

（1）求证：四边形AGDH为菱形；

（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；

（3）连结OF，CG．

①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；

②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．

【答案】（1）证明见解析；（2）y＝1

8

x2（x＞0）；（3）①

16

3

π或8π或（17+2）

π；21．

【解析】

【分析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；

（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF

AC BC

=解决问题；

（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；

②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF

AF

=

CG

AH

，求出相应的线段即可解决问题；

【详解】

（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，

∴HA＝HD，GA＝GD，

∵AB是直径，AB⊥GH，

∴EG＝EH，

∴DG＝DH，

∴AG＝DG＝DH＝AH，

∴四边形AGDH是菱形．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠ACB＝90°，

∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，

∴AE EF

AC BC

=，

∴

1

2

4

x y

x

=，

∴y＝1

8

x2（x＞0）．

（3）①解：如图1中，连接DF．

∵GH垂直平分线段AD，

∴FA＝FD，

∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB83，