谈中学生数学符号感的培养
谈中学生数学符号感的培养
发表时间：2016-01-14T10:31:51.627Z 来源：《素质教育》2016年1月总第192期供稿作者：江素琼[导读] 四川省简阳市综合实验九年义务教育学校符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。
四川省简阳市综合实验九年义务教育学校641400
众所周知，符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。数学教学的目的之一是让学生懂得符号的意义，学会运用符号解决数学问题和生产生活中的实际问题。因此，在教学中应着力培养学生的数学符号感。那么，究竟如何在教学中培养学生的符号感呢？
一、数学符号与符号感
简单地说，“符号”就是某种事物的记号，它采用一一对应的方式，把一个复杂的事物用简单的形式表现出来，它是众多事物表征抽象概括的结果。
所谓数学符号，一般是指数学科学中用来表示所研究对象的概念、性质、运算、关系等的符号组成的集合。这里每个数学符号的意义，指的是针对符号形式规定的符号内容，以及与有关符号结合方式的规定。
具体地讲，一是符号形式被明确地规定；二是符号形式的符号内容明确地规定；三是一个特定的符号形式与一个特定的符号内容相对应;四是符号形式间的结合，凡属允许的结合都是被规定了的。
那么，数学符号感的具体表现有哪些呢？《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)认为：符号感主要表现在“能从具体情境中抽象出数量关系或变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”《标准》又在其总体目标中明确提出“（使学生)经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”。可见，数学课程的一个重要任务就是使学生感受和拥有使用符号的能力。
二、中学生数学符号感的培养
1.充分利用学生已有的生活经验
学生已有的生活经验中潜藏着丰富的“符号感”，这是发展学生的数学“符号感”的重要基础。比如，常见的交通信号、生活中一些电器的标识等。从某种意义上讲，我们是生活在一个被“符号化”了的世界里.
既往的数学教学实践表明，对学生而言，学会“数学符号运算”似乎是一个极大的困难。其中原因何在?主要问题在于我们以往的教学不承认学生已有经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。因此，在教学中教师应充分利用学生已有的生活经验，同时积极引导和组织学生去认识、收集生活中的各种符号，并加以交流，使其建立事物与符号之间的对应关系，从而为数学符号感的培养奠定认知基础。
2.揭示引入数学符号表示的过程
在教学中，要注意揭示引人符号表示的过程，尽可能让学生经历从具体情境中抽象出符号的过程。事实上，在实际的教学中，我们会发现，学生在表示具体情境蕴含的一般规律时，常常会凭借自身的经验与体验，建立自己特有的表示，而数学自身则提供公认的常规的表示，为此，在教学中，我们要把这二者结合起来，使学生以自己的经验为认识基础，通过在解决问题和探索规律时构造的个性化的特殊表示，逐步实现从个人局限的直接经验向精确化、普遍性的数学表示的飞跃。
其实，对学生而言，数学难学的关键之一在于：数学的外在符号表达形式会转化为外部强加的僵硬的规则体系，也就是对数学与符号语言的关系缺乏正确的认识与转化。
3、重视师生之间、学生之间的符号语言交流
毫无疑问，数学只有通过交流才能够深入和发展，只有用文字和符号表达出来，数学思想才变得清晰。也就是说，数学是借助于数学符号语言与普通文字语言的结合才得以流传，当然，学生是通过理解这些数学语言的内涵而掌握数学知识，进而形成能力的。然而由于学生个人的数学认知结构存在差异，因此，他(她)对同一数学知识的理解就带有明显的个人特征。例如，在刚刚学习了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2以后，用它来计算（3a+2b）2时，不少学生会出现形如（3a+2b）2=3a2+2.3a.2b+2b2这样的埋解(在他们看来，此处的“a”与公式的“a”是一样的)通过交流可以帮助教师发现学生错误的理解，从而引导学生自我反思、自我否定，进而引起同学们的共鸣。通过交流，也可以使学生获得解决问题的不同思考角度，有利于学生在问题解决中充分地活动，进而加深对数学的理解。
4.对数学符号运算进行必要的训练
《标准》认为，必须对学生进行分阶段的、适当的数学符号运算的训练。
如，在进行相反数的教学时，可安排如下练习：
-(-3)=______。
-(-3)+3=______。
-(-3)-3=______。
[-(-2)]+[-(-3)]=______。……
当然，我们并不主张进行繁杂的形式运算训练，而应该增加实际情境、探索过程、儿何解决等以帮助学生理解数学符号的运算。
总之，对学生数学符号感的培养不是一蹴而就的，应该贯穿于数学学习的全过程。而在数学教学中，我们要始终尽可能地在实际问题情境中帮助学生理解数学符号以及表达式、关系式的意义，即在解决实际问题中发展学生的符号感。要始终尽可能地还原数学符号创造、发明的过程，让学生真正体验数学符号“冰冷的美丽”为“火热的思考”的鲜活的过程，进而深刻理解数学符号所蕴含的思想方法和意义，要始终注重数学符号的辨析、操作和变换等。这样，学生的数学符号感必将逐渐地好转起来。
浅谈小学数学核心素养之数学符号意识的培养
浅谈小学数学核心素养之数学符号意识的培养 《小学数学新课程标准》中对符号意识的内涵行进了诠释，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学符号在数学中不仅是非常重要的一种语言，也是研究数的工具，更是方法。数学符号具有抽象性、明确性、可操作性、简明性和通用性。怎样培养学生的符号意识呢？下面我将从我结合平时教学的做法谈谈想法。 一、在生活中让学生体会到符号的价值。 不管什么事和物，只有你对它有兴趣，才会觉得它有价值，我们才会自觉地去认识它，去探讨它。符号的认识也是这样的。我经常让教学内容与生活相结合，让学生体会符号的应用价值，挖掘学生已有经验中潜在的符号意识，让他们明白我们生活在一个被“符号化”的世界，生活中处处体现着符号给我们带来的便利。 商店的招牌，医院的红“十”字标记，公路上的各种交通标志……符号与我们的生活密不可分。比如学生大都有过各种各样的美食经历，当他们看到店门前精致的“M”时，立刻就可想到麦当劳，每种轿车也有自己独特的标志符号。可以说在日常生活中，学生已经初步具有了符号意识，感受到生活中的符号所体现出的简明性和通用性的特质。这种符号意识对数学符号感的形成起着积极的促进作用。 二、在情境中培养学生的符号意识。 符号意识的培养要在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学过程进行。从小学一年级开始，教师就要有针对性地引导学生进行符号意识的培养。著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”因此，要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就要为学生多创设一些应用数学知识的情境，以帮助学生体验数学符号的价值。 如，在教学正反比例时，从北京到上海火车的速度270千米/小时，
培养学生的符号意识
培养学生的符号意识 数学的基本语言是文字语言、符号语言和图像语言，其中最具数学学科特点的是符号语言，是人们进行计算、推理和解决问题的一种工具。数学符号简洁、抽象、准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的功能。符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立“符号意识”，有助于学生理解符号的意义并进行数学思考。为学生创设学习情境，唤醒生活经验，并在相互交流的过程中，逐渐理解符号的意义，利用符号来解决问题是培养学生符号意识的有效策略： 一、挖掘学生已有经验中潜在的符号意识 在现实生活中，商店的招牌，医院的红“十”字标记，公路上的交通标志……各种各样的符号处处可见。语言学家皮埃尔·吉罗说：“我们是生活在符号之间。”在这个“符号化”的世界中，学生获得的生活经验已让他们初步感受到符号存在的现实意义。比如，当他们看到店门前精致的“M”时，立刻就可想到麦当劳。可以说在日常生活中，学生已经初步具有了符号意识，感受到生活中的符号所体现出的简约、严谨、科学的特质。这种符号意识对数学符号感的形成起着积极的促进作用。 比如，教学“找规律”时，课件出示：路边的灯笼是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。提问：我们能不能想办法把这排灯笼的规律表示出来呢?由于灯笼是较难直接画出来的，这就容易引发学生利用已有的符号经验，自主思考。结果有的学生画出了不同的图形：△□△□△□……；●O●O●O……；□■□■□■……；有的学生用数字表示：121212……；有的学生用拼音表示：zì、lǜ、zì、lǜ、zì、lǜ……这些富有个性的符号正是已有的符号意识在起作用，学生惊喜地发现自己也是一个研究者、探索者和发现者! 二、在实际情境中帮助学生建立符号意识 著名心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”因此，要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就要为学生多创设一些应用数学知识的情境，以帮助学生体验数学符号的价值。 如，在教学“用字母表示数”时，出示：老师比小华大17岁。提问：小华1岁时，老师多少岁?小华2、3、4……岁时，老师多少岁?学生回答：l+17、2+17、3+17、4+17……教师进一步提问：小华的年龄每年都在变化，老师的年龄也在变化，但是什么没有变化? 上面的每一个式子只能表示某一年老师与小华的岁数关系，能不能用一个式子简明地表示出任何一年两人的岁数关系呢?学生讨论后汇报：用ａ+17可以表示出任何一年老师与小华的岁数关系。教师进一步引导学生体会符号的概括性：a表示什么?a+17又表示什么?这样的教学，使学生经历从具体到抽象的认知过程，逐步体会字母的现实意义，感受数学符号的简洁美。 三、灵活运用符号强化学生的符号意识 建构主义理论认为，教学不能无视学习者已有的知识经验，简单强硬地从外部对学习者实施知识的“填灌”，而应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点，生长新的知识经验。数学符号意识的形成同样应该遵循这样的规律。 如，教学“三角形面积的计算”，在引导学生推导出三角形的面积=底×高÷2后，及时写出字母表达式：S=ah÷2，便于记忆和使用。在应用这一面积公式解决一些简单的实际问题后，可以让学生解决类似的问题：已知三角形的面积为40平方厘米，三角形的底为16厘米，
常用数学符号大全
常用数学符号大全 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ? 3运算符号 ×÷√ ± 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△ⅶ??≠ ? ±≥ ≤ ⅰ????↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δε δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν π ξ ζ η υ θ χ ψ ω 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ～?????ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳa 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6推理符号
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? is not equal to 不等于号 ? is equivalent to 全等于号 ? is approximately equal to 约等于 ? is approximately equal to 约等于号＜ is less than 小于号 ＞ is more than 大于号 ? is less than or equal to 小于或等于? is more than or equal to 大于或等于％ per cent 百分之… ⅵ infinity 无限大号 ⅳ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ? since; because 因为 ? hence 所以 ⅶ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ? circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ? intersection of 并，合集 ? union of 交，通集
如何培养重点小学生的符意识优选稿
如何培养重点小学生的 符意识 集团公司文件内部编码：（TTT-UUTT-MMYB-URTTY-ITTLTY-
如何培养小学生的符号意识 罗素说过：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。数学课程的一个任务，就是培养学生在数学学习过程中，对用符号表示数及其运算的理解和感受。培养学生的符号感对于数学语言表达思想具有重要的意义，也是发展学生思维的需要。所以，教师在教学中要有意识地培养学生的符号意识，帮助小学生了解、认识数学符号，并形成、深化符号意识，最后使小学生能够规范的使用数学符号。 一、介绍背景了解数学符号，增强学习兴趣。 对于刚刚正式接触数学和数学符号的小学生来说，符号无疑是一个陌生的事物，要想让小学生了解它、接纳它，首先就必须让小学生对它产生兴趣。俗话说，兴趣是最好的老师，而在每一种数学符号的背后都有一定的历史背景，包含了很多历史故事、趣闻等。如：在教学《认识乘法》这一课时，教师可以向学生介绍乘号的演变历史，让学生了解乘号，从而增强学生乘法的兴趣。通过介绍加深他们的印象并能提高他们对数学符号的兴趣。所以根据小学生的好奇心强的心理特点，将这些历史、趣闻、故事讲给学生听，不仅拓宽了小学生对数学符号发展与运用的了解，而且在很大程度上激发了小学生学习数学符号的兴趣。 二、创设情境解决问题，形成符号意识。 小学生要想牢固地掌握数学符号，就必须体验符号学习的过程，而获得体验的最好方法就是亲身参与。所以教师在课堂中应注意创设情境，使学生置身于一定的情境之中，并以精练实效的“导”为指引，充分发挥小学生的主体性，让学生积极地去参与、去体验，最终达到理解和掌握。 三、灵活恰当运用，强化符号意识。
在数学教学中如何培养学生的数学符号意识
在数学教学中如何培养学生的数学符号意识数学符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义，会用符号解决实际问题和数学本身的问题，培养学生的符号意识。如何按新课程标准的要求培养学生的符号意识呢？形式化的过程。 一、经历过程——感知符号的意义 数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个基本特征。数学中的符号语言有其系统的特定含义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式化的显著特点。它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物。儿童的思维以具体的形象思维为主，抽象的符号对他们来说较枯燥、空洞，难以激发兴趣，教师要创设情景，使他们对所学内容感兴趣，唤起已有的经验，经历把知识符号化的过程。从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步，但也是比较困难的一步。因此要尽可能从实际问题引入，从具体的、确定的数引入用字母表示的数，做好由具体到抽象的引导，由特殊到一般的概括，采用逐步渗透的方法，发展用字母表示数的能力。如在教学“加法的交换律和结合律”时，教材从实际事例引入，通过学生解答，初步发现不同算法间的联系，接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律，发现规律，同时，教材从用符号表示规律过渡到用字母的式子表示这些规律，使得规律的表达更加准
确、简明、形象，既便于掌握，又发展了他们的符号感，后面教学用字母表示数做好了铺垫。 二、正确理解数学表达式的意义，提高学生的运算能力 培养学生的符号感，就必须树立符号意识，有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透于数学教学的始终。在一年级“认数”单元，教材十分注意加强对数的实际意义的理解，在认识了1—5以后，教学几和第几的认识，让学生联系生活经验，体会一个数可以用来表示物体的个数，也可以用来表示物体排列的／顷序。教材还十分重视帮助学生建立数的大小概念，把握数的大小关系。在教学“=”“>”“<”的认识时，例题提供了童话场景“森林运动会”，从不同动物只数的比较中，抽象出数的大小关系。比较两种物体数量的多与少，由此可见，符号意识的培养需要坚实的经验为基础，在教学中应促进学生在交流、分享的过程中积累经验，学习符号化的多种途径，允许个性化地表示符号；逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性，感受符号在理解和解决问题过程中的价值。翻开学生的作业、试卷，你就会发现在学生诸多错误中运算的错误占了很重的比例。有的题在最后一步没有正确地处理好符号，导致客观性命题的分数全部被扣去；有的题由于步骤中某一步没有正确地处理好符号致使原来很整齐的计算变得繁复杂乱，因而影响了思考……。符号正确处理已经影响到了学生的学习，也直接影响了学生学习物理、化学甚至地理等学科的学习。 三、在鼓励创新中形成符号意识，实现学生思维上的飞跃
教师资格证初中数学专业知识与能力知识点
课程知识 ?初中数学课程是一门国家课程，内容主要包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手段。它体现了郭嘉从数 学教育与教学的角度，对初中阶段学生实现最终培养目标的整体规划。 影响初中数学课程的主要因素包括： ①数学学科内涵：（1）数学科学本身的内涵（数学的知识、方法和意义等） （2）作为教育任务的数学学科的内涵 ②社会发展现状：（1）当代社会的科学技术、人文精神中蕴含的数学知识与素养等 （2）生活变化对数学的影响等 （3）社会发展对公民基本数学素养的需求。 ③学生心理特征：初中数学课程是针对初中学生年龄特征和知识经验而设置的，因此学生的心理特征必然会影 响着具体的课程内容。 （1）适龄学生的数学思维特征 （2）学生的知识、经验和环境背景（已有的个人基础） ?初中数学课程性质 ①基础性（1）初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活 中必须要用到的。 （2）初中阶段的教育是每①个学生必须经历的基础教育阶段，它将为 其后续生存、发展打下必要的基础。 （3）由于数学学科是其他科学的基础，因此数学课程内容也是学生在 初中阶段学习其他课程的必要基础 ②普及性（1）初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及，即每①个适龄 的学生都有充分的机会学习 （2）初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件 的前提下，通过自己的努力而掌握 ③发展性（为谋求明日的发展而设置） ?初中数学课程的基本理念主要表现 ①课程内涵：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 1、要实现学生的全面发展； 2、要关注全体学生的发展； 3、应促使学生自主地发展 ②课程内容： （1）本身要反应社会的需要、数学的特点 （2）构成不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法 （3）选择要符合学生的认知规律，贴近学生现实，有利于学生体验与理解 （4）组织要重视过程，处理好过程与结果的关系，要重视直观处理好直观与抽象的关系，要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。 （5）呈现应注意层次性和多样性。 ③教学过程 数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，有效的教学活动是学生学与教师教的同一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 ④学习评价 学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。 ⑤技术与数学课程 （1）将信息技术作为学生从事数学活动的辅助性工具，包括在探究学习对象的性质、应用知识解决问题等活动中。 （2）将信息技术作为教师从事教学实践与研究的辅助工具。 （3）将计算机等技术作为评价学生数学学习的辅助性工具。 ?初中数学课程目标可分为： ①总体目标（内容）：1、获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基 本活动经验；2、体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方
小学数学学科核心素养
小学数学学科核心素养 令狐采学 学生的应用意识和创新意识是数学课程培养的重点。学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想是促进数学课程学习和数学思想形成的源动力。 1、数感 关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 2、符号意识 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 3、空间观念（1）（2） 根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
利用图形描述分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 5、数据分析观念（1）（2） 了解现实生活中许多问题应先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。数据分析是统计的核心。 6、运算能力（1）（2） 能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 7、推理能力（1）（2） 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，两者功能不同，相辅相成。合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
常用数学符号及其意义
常用数学符号及其意义 1 几何符号 ?∥∠??≡ ≌△ 2 代数符号 ∝∧∨～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△∠∩ ∪≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∥∧∨ &; § ?????????? Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ
μ ν π ξ ζ ηυ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣∥∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≒≠ ≡ ≤ ≥ ≦≧≮≯⊕?? ??℃ 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋plus 加号；正号 －minus 减号；负号 ±plus or minus 正负号 ×is multiplied by 乘号 ÷is divided by 除号 ＝is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is approximately equal to 约等于 ≈ is approximately equal to 约等于号 ＜is less than 小于号 ＞is more than 大于号
≤ is less than or equal to 小于或等于≥ is more than or equal to 大于或等于％per cent 百分之… ∞ infinity 无限大号 √ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ∵ since; because 因为 ∴ hence 所以 ∠ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ○ circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ∪ intersection of 并，合集 ∩ union of 交，通集 ∫ the integral of …的积分 ∑ (sigma) summation of 总和 °degree 度 ′ minute 分 〃second 秒
小学数学教学如何培养学生的符号意识
小学数学教学如何培养学生的符号意识为发展学生的符号感，在数学教学中，教师应尽量给学生提供机会经历从“具体事物的认识——个性化的符号表示——学会数学表示”这一个逐步符号化、形式化的过程。 一、经历过程——感知符号的意义数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个基本特征。数学中的符号语言有其系统的特定含义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式化的显著特点。它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物。儿童的思维以具体的形象思维为主，抽象的符号对他们来说较枯燥、空洞，难以激发兴趣，教师要创设情景，使他们对所学内容感兴趣，唤起已有的经验，经历把知识符号化的过程。从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步，但也是比较困难的一步。因此要尽可能从实际问题引入，从具体的、确定的数引入用字母表示的数，做好由具体到抽象的引导，由特殊到一般的概括，采用逐步渗透的方法，发展用字母表示数的能力。如在教学“加法的交换律和结合律”时，教材从实际事例引入，通过学生解答，初步发现不同算法间的联系，接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律，发现规律，同时，教材从用符号表示规律过渡到用字母的式子表示这些规律，使得规律的表达更加准确、简明、形象，既便于掌握，又发展了他们的符号感，也为后面教学用字母表示数做好了铺垫。
二、数形结合——培养符号的意识培养学生的符号感，就必须树立符号意识，有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透于数学教学的始终。在一年级“认数”单元，教材十分注意加强对数的实际意义的理解，在认识了1—5以后，教学几和第几的认识，让学生联系生活经验，体会一个数可以用来表示物体的个数，也可以用来表示物体排列的／顷序。教材还十分重视帮助学生建立数的大小概念，把握数的大小关系。在教学“=”“>”“<”的认识时，例题提供了童话场景“森林运动会”，从不同动物只数的比较中，抽象出数的大小关系。比较两种物体数量的多与少，基本方法是一一对应、数形结合。通过一一对应的排列让学生明确它们的只数，以此建立“同样多”的概念，在此基础上用数形结合的方法抽象出“4=4”，认识并理解“=”的含义，使学生知道，当两个物体个数“同样多”时，可以用“=”来表示。接着引导学生比较运动会上松鼠和小熊的只数，通过一一对应的排列，使学生明确松鼠只数比小熊多，小熊只数比松鼠少，从而建立“多”“少”的概念，并以此为基础还用数形结合的方法抽象出“5>3”和“3<5”，认识理解“>”“<”的含义，学会用“>”“<”表示两数之间的关系。由此可见，符号意识的培养需要坚实的经验为基础，在教学中应促进学生在交流、分享的过程中积累经验，学习符号化的多种途径，允许个性化地表示符号；逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性，感受符号在理解和解决问题过程中的价值。 三、实践活动——深化符号的运用 学生在生活中接触很多用符号来表示的情境，使学生积累了很
初中数学教师资格证专业知识与能力复习点汇总
模块二：课程知识 第一章初中数学课程的性质与基本理念 第一节：影响初中数学课程的主要因素 1、初中数学课程是一门国家课程，内容主要包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手段。它体现了郭嘉从数学教育与教学的角度，对初中阶段学生实现最终培养目标的整体规划。 2、影响初中数学课程的主要因素包括： 一、数学学科内涵：（1）数学科学本身的内涵（数学的知识、方法和意义等） （2）作为教育任务的数学学科的内涵（理解数学的整体性特征，领悟 相关的数学思想，应用数学解决问题的能力等） 二、社会发展现状：（1）当代社会的科学技术、人文精神中蕴含的数学知识与素养等 （2）生活变化对数学的影响等 （3）社会发展对公民基本数学素养的需求。三、学生心理特征。初中数学课程是针对初中学生年龄特征和知识经验而设置的，因此学生的心理特征必然会影响着具体的课程内容、 （1）适合学生的数学思维特征 （2）学生的知识、经验和环境背景 第二节、初中数学课程性质 一、基础性（1）初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活中必须要用到的。 （2）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础。
（3）由于数学学科是其他科学的基础，因此数学课程内容也是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础 因此，义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础 二、普及性（1）初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及，即每一个适龄的学生都有充分的机会学习它 （2）初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件的前提下，通过自己的努力而掌握 三、发展性
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初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
着力培养学生的符号意识
着力培养学生的符号意识 罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”。符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。数学是抽象出来的符号体系，建立符号意识，可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和逻辑。 一、准确把握符号意识的内涵 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，首次提出了“符号感”，并把符号感的主要表现分解为：“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”。在《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》中，“符号意识”被正式提出，主要是指“能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。数学课程的一个重要任务就是要让学生建立符号意识，使学生懂得符号的意义，感受和拥有使用符号的能力，会运用符号解决实际问题，发展学生的抽象思维能力。 可见，符号意识主要指人们主动地、普遍地运用符号去表述研究的对象。对于学生而言，就是要完成从日常语言→数学语言→符号语言的转换。建立符号意识，可以准确表达数学思想，避免日常语言的繁复、冗长或含混不清。 例如：苏教版小学数学课程标准实验教材六年级下册第8页： 一本《趣味数学》打八折后是12元，原价是多少元？已知一个数的80%是12，求这个数是多少？解：设《趣味数学》的原价是χ元。 χ×80%=12 日常语言数学语言符号语言 符号意识对数学的发展起着重要的推动作用。系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。 比如，在《九章算术》里，古代数学家对数学题是一题一题地处理，思维停留在算术水平上。建立符号意识后，算术思维上升为代数思维，就可以将上述问题转化为方程的研究，按照未知量的个数或次数的不同进行分类处理。没有科学系统的符号体系，是我国古代数学不能进一步发展的主要原因。没有专门的符号和公式，就不可能有现代数学。 从数理逻辑的观点来看，数学符号可划分为八大类： 1、对象符号。又可分为个体对象符号和可变对象符号。个体对象符号如数(自然数、分数、小数)、π(圆周率)等。可变对象符号，如用x、y、z表示未知量或变量，用字母表示几何中的点、直线、平面等。 2、运算符号。如＋、－、×、÷等，这些在小学数学中经常出现，属个体运算符号。小学数学中以算术运算为主，第二学段开始出现少量可变运算符号。 3、关系符号。如＝、＞、＜、≠、≈、∥、⊥等。 4、结合符号。它规定了算术运算进行的次序，如()、[]、{}等。 5、标点符号。如逗号(分节号)、省略号(无限小数)、问号(未知数)等。 6、结论符号。如公式、定律、数量关系等。 7、性质符号。如正号、负号等。 8、缩略符号。如：∵、∴等。 准确把握符号意识的内涵，有助于教师在教学过程中做到心中有数，分阶段、有层次地适时适度引导，不断提高学生的符号意识，从而丰富学生的数学素养，发展学生的数学思维。二、科学建立符号意识的方法 学生符号意识的发展，不是一朝一夕就可以完成的，而是贯穿于数学学习的全过程，伴随着
谈中学生数学符号感的培养
谈中学生数学符号感的培养 发表时间：2016-01-14T10:31:51.627Z 来源：《素质教育》2016年1月总第192期供稿作者：江素琼[导读] 四川省简阳市综合实验九年义务教育学校符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。 四川省简阳市综合实验九年义务教育学校641400 众所周知，符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。数学教学的目的之一是让学生懂得符号的意义，学会运用符号解决数学问题和生产生活中的实际问题。因此，在教学中应着力培养学生的数学符号感。那么，究竟如何在教学中培养学生的符号感呢？ 一、数学符号与符号感 简单地说，“符号”就是某种事物的记号，它采用一一对应的方式，把一个复杂的事物用简单的形式表现出来，它是众多事物表征抽象概括的结果。 所谓数学符号，一般是指数学科学中用来表示所研究对象的概念、性质、运算、关系等的符号组成的集合。这里每个数学符号的意义，指的是针对符号形式规定的符号内容，以及与有关符号结合方式的规定。 具体地讲，一是符号形式被明确地规定；二是符号形式的符号内容明确地规定；三是一个特定的符号形式与一个特定的符号内容相对应;四是符号形式间的结合，凡属允许的结合都是被规定了的。 那么，数学符号感的具体表现有哪些呢？《全日制义务教育数学课程标准》(以下简称《标准》)认为：符号感主要表现在“能从具体情境中抽象出数量关系或变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”《标准》又在其总体目标中明确提出“（使学生)经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”。可见，数学课程的一个重要任务就是使学生感受和拥有使用符号的能力。 二、中学生数学符号感的培养 1.充分利用学生已有的生活经验 学生已有的生活经验中潜藏着丰富的“符号感”，这是发展学生的数学“符号感”的重要基础。比如，常见的交通信号、生活中一些电器的标识等。从某种意义上讲，我们是生活在一个被“符号化”了的世界里. 既往的数学教学实践表明，对学生而言，学会“数学符号运算”似乎是一个极大的困难。其中原因何在?主要问题在于我们以往的教学不承认学生已有经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。因此，在教学中教师应充分利用学生已有的生活经验，同时积极引导和组织学生去认识、收集生活中的各种符号，并加以交流，使其建立事物与符号之间的对应关系，从而为数学符号感的培养奠定认知基础。 2.揭示引入数学符号表示的过程 在教学中，要注意揭示引人符号表示的过程，尽可能让学生经历从具体情境中抽象出符号的过程。事实上，在实际的教学中，我们会发现，学生在表示具体情境蕴含的一般规律时，常常会凭借自身的经验与体验，建立自己特有的表示，而数学自身则提供公认的常规的表示，为此，在教学中，我们要把这二者结合起来，使学生以自己的经验为认识基础，通过在解决问题和探索规律时构造的个性化的特殊表示，逐步实现从个人局限的直接经验向精确化、普遍性的数学表示的飞跃。 其实，对学生而言，数学难学的关键之一在于：数学的外在符号表达形式会转化为外部强加的僵硬的规则体系，也就是对数学与符号语言的关系缺乏正确的认识与转化。 3、重视师生之间、学生之间的符号语言交流 毫无疑问，数学只有通过交流才能够深入和发展，只有用文字和符号表达出来，数学思想才变得清晰。也就是说，数学是借助于数学符号语言与普通文字语言的结合才得以流传，当然，学生是通过理解这些数学语言的内涵而掌握数学知识，进而形成能力的。然而由于学生个人的数学认知结构存在差异，因此，他(她)对同一数学知识的理解就带有明显的个人特征。例如，在刚刚学习了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2以后，用它来计算（3a+2b）2时，不少学生会出现形如（3a+2b）2=3a2+2.3a.2b+2b2这样的埋解(在他们看来，此处的“a”与公式的“a”是一样的)通过交流可以帮助教师发现学生错误的理解，从而引导学生自我反思、自我否定，进而引起同学们的共鸣。通过交流，也可以使学生获得解决问题的不同思考角度，有利于学生在问题解决中充分地活动，进而加深对数学的理解。 4.对数学符号运算进行必要的训练 《标准》认为，必须对学生进行分阶段的、适当的数学符号运算的训练。 如，在进行相反数的教学时，可安排如下练习： -(-3)=______。 -(-3)+3=______。 -(-3)-3=______。 [-(-2)]+[-(-3)]=______。…… 当然，我们并不主张进行繁杂的形式运算训练，而应该增加实际情境、探索过程、儿何解决等以帮助学生理解数学符号的运算。 总之，对学生数学符号感的培养不是一蹴而就的，应该贯穿于数学学习的全过程。而在数学教学中，我们要始终尽可能地在实际问题情境中帮助学生理解数学符号以及表达式、关系式的意义，即在解决实际问题中发展学生的符号感。要始终尽可能地还原数学符号创造、发明的过程，让学生真正体验数学符号“冰冷的美丽”为“火热的思考”的鲜活的过程，进而深刻理解数学符号所蕴含的思想方法和意义，要始终注重数学符号的辨析、操作和变换等。这样，学生的数学符号感必将逐渐地好转起来。
唤醒学生的符号意识,提升数学素养
唤醒学生的符号意识，提升数学素养 发表时间：2017-11-24T15:16:03.443Z 来源：《创新人才教育》2017年第9期作者：黄芳芳 [导读] 数学是一门符号性学科，从种意义上来说，数学正是因为其符号的简练性和抽象性才显示出数学的美丽。 浙江省浦江县黄宅镇中心小学黄芳芳 322204 数学是一门符号性学科，从种意义上来说，数学正是因为其符号的简练性和抽象性才显示出数学的美丽。在《新课程标准》中也强调发展学生的符号感，所以，教师在教学中要有意识地培养学生的符号感。 一、创设情境，增强符号感 学生有潜在的符号意识，那我们就要利用学生的已有的生活经验，给他们创造一个轻松的环境，从生活的情境中提炼出符号，既让他们感受到数学来源于生活，同时也感受到数学的符号语言的通用与简洁。 单独的一个符号存在的意义和价值并不大，关键在于它的具体情况结合在一起，而产生了实际的意义。如在教学“用字母表示数” 时，教师问学生，“同学们，你们今年几岁了？”“11 岁”。教师问： “你们想不想知道教师今年几岁了？”老师：只要告诉你一个条件，就可以知道我的年龄了。条件是我你大 12 岁。老师：现在你知道我几岁了，怎么算的，列出算式，11+12=23（岁）如果你是 1 岁，我几岁了，你是 2 岁时，我几岁？板书：学生老师 113 214 …… 11 23 师：你能用一个算式把所有的情况都包括进去吗？学生回答的情况肯定有很多种。比如：△+12 ？+12 ☆+12 X+12 Y+12等等。最后归纳用可以 a+12 表示老师的年龄，也表示老师比学生大 12 岁的数量关系。 这是将问题具体化，接着让学生学会个性化的进行符号表示。最后在师生共同的合作中学会数学地表示这一过程，有助于培养学生的符号感。在熟悉的现实背景中，不仅能引起学生浓厚的学习兴趣，使学生建立正确的符号感，同时学生也发现了用字母表示数，使数学问题变得简洁。而且还巧妙地让学生感受到用字母表示的必要性，体现了数学知识的价值。 二、联系现实生活，渗透符号意识。 在平常的生活中，学生就已经见识到了很多符号。每一个学生都有自己特有的符号世界，这个符号的世界是丰富多彩的。如最早认识到男女厕所的符号，在一些宾馆、大厅的标志上有轮椅的表示是残疾人的专用通道。车站、公共场所圆圈里带有香烟，表示不准吸烟，严禁烟火等，交通标志有更多的符号。细心观察，我们就是生活在一个符号化的世界。 （一）体会符号的直观性 在小学数学中有数字符号 1、2、3、4……，运算符号＋－×÷。这基本的四则运算符号，是多么形象，直观，它们本身也有很强的人文性。比如减号“－”，减少了，飞走了，跑走了，就是要用减号连接。而在减号上加上一竖，是为了表示更多，得往上加。乘号看似跟加减号无关，实则它是特殊的加法，2+2+2+2+2=2 ×5，同数相加，就可以用一种特殊的符号表示，它是加号旋转了45 度之后所形成的，也便于书写和记忆。除号“÷”中间“—”表示一刀切下去平均分，上下两点表示两分都均匀。 （二）体验符号表达的简约性 数学符号不仅具有简洁性，而且十分实用。在教学分数中，教师都意识到学生只要能够弄清楚分数的意义，对掌握分数的相关知识是很有帮助。而分数线，这个符号就具有简约性， 2／3 读作三分之二，表示什么意思，这其实是很“愚蠢”的问题，三分中的二分啊，意义同样也渗透在写法中，通常都是先写分数线，表示要先平均分，再写分母，表示平均分成了几份，最后写分子，表示取了其中几份。分数线还相当于除号，2÷3=2／3。 （三）感受符号的转换性 在数学活动中，符号间的转换及其表达方式是数学学习的核心，数学教学中要选用学生熟悉的或感兴趣的事物发展学生的符号感。例如，教学二年级上册“认识乘法”时，教师创设情景：商场准备给每个顾客发 2 块糖，如果来了 2 个顾客，商场要给他们多少块糖？你能用一个算式表示吗？生：2+2=4 师：如果全班 50 个顾客都来了，有几个 2 相加？你会列式吗？生：50 个 2 相加。师：那你们写一下吧！师：对！这样加确实是太麻烦了，你们能否想出一种简单地表示 50 个 2 相加的方法呢？生：我在 2 和 50 中间添上一个符号，写成
中小学常用数学符号
、希腊字母： α——阿尔法β——贝塔γ——伽马Δ——德尔塔 ξ——可sei ψ——可赛ω——奥秘噶μ——米哟λ——南木打σ——西格玛τ——套υ——fai 2、数学运算符： ∑—连加号∏—连乘号?—并∩—补ⅰ—属于?—因为?—所以√—根号‖—平行?—垂直ⅶ—角?—弧?—圆ⅴ—正比于∞—无穷∫—积分≈—约等≡—恒等 3、三角函数： sin—赛因cos—考赛因tan—叹近体cot—考叹近体sec—赛看近体csc —考赛看近体 没有的请大家添在留言栏吧， 数学符号大全 1 几何符号 ?ⅷⅶ????△ 2 代数符号 ⅴⅸⅹ? ～?????ⅵ? 3运算符号 ×÷ⅳa 4集合符号 ??ⅰ 5特殊符号 ⅲπ（圆周率） 6推理符号
|a| ??△ⅶ????a??ⅰ ? ???↖↗↘↙ⅷⅸⅹ &; § ??←↑→↓??↖↗ ΓΓΘΛΞΟΠ?ΦΥΦΧ αβγδεδεζηθικλ μνπξζηυθχψω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ﹪﹫???????? ⅰⅱⅲ?ⅳⅴⅵ? ⅶ?ⅷⅸⅹ???? ????????????????？?? ??? 指数0123：º¹²³ 符号意义 ⅵ无穷大 PI 圆周率 |x| 函数的绝对值 ?集合并 ?集合交 ?大于等于 ?小于等于 ?恒等于或同余 ln(x) 自然对数 lg(x) 以2为底的对数
log(x) 常用对数 floor(x) 上取整函数 ceil(x) 下取整函数 x mod y 求余数 {x} 小数部分 x - floor(x) ?f(x)δx 不定积分 ?[a:b]f(x)δx a到b的定积分 [P] P为真等于1否则等于0 ⅲ[1?k?n]f(k) 对n进行求和,可以拓广至很多情况 如：ⅲ[n is prime][n < 10]f(n) ⅲⅲ[1?i?j?n]n^2 lim f(x) (x->?) 求极限 f(z) f关于z的m阶导函数 C(n:m) 组合数,n中取m P(n:m) 排列数 m|n m整除n m?n m与n互质 a ⅰ A a属于集合A #A 集合A中的元素个数 ⅰⅱⅲⅳⅵⅶ?ⅷⅸⅹ??????? ????????？?? • 数学符号大全收藏 运算符： ± × ÷ ?∫ ???≈ ?ⅴ?≠ ?≤ ≥ ????／√ ‰ ∑ ∏ ＆ 关系运算符：ⅸⅹ 集合符号：??ⅰ?? 序号：??←↑→↓??↖↗ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ﹪﹫????????≈㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦㈧㈨㈩ 其它：