《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数上的单调性.
举一反三:
【变式1】用定义证明函数上是减函数.类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间;
(1)y=x2-3|x|+2;(2)
举一反三:
【变式1】求下列函数的单调区间:
(1)y=|x+1|;(2)(3).
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.
4. 求下列函数值域:
(1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);
(2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].
举一反三:
【变式1】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.
5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.
举一反三:
【变式1】(2011 北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
类型四、判断函数的奇偶性
6. 判断下列函数的奇偶性:
(1)(2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6)(7)
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1);(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;
(4).
举一反三:
【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).
举一反三:
【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数,,则为:.
8. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.
9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1) 类型六、综合问题 10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________. ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b) 11. 求下列函数的值域: (1)(2)(3) 12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围; (2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象. 13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3. 14. 判断函数上的单调性,并证明. 15. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值. 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223. 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得33,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235 类型一:正比例函数与一次函数定义 1、当m 为何值时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数?思路点拨:某函数是一次函 数,除应符合y=kx+b 外,还要注意条件k≠0.解:∵函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数, ∴∴ m=-2. ∴当m=-2 时,函数y=-(m-2)x +(m-4)是一次函数.举一反三: 【变式 1】如果函数是正比例函数,那么(). A.m=2 或m=0 B.m=2 C.m=0 D.m=1 【答案】:考虑到x 的指数为1,正比例系数k≠0,即|m-1|=1;m-2≠0,求得m=0,选C 【变式2】已知y-3 与x成正比例,且x=2时,y=7. (1)写出y 与x 之间的函数关系式; (2)当x=4时,求y的值; (3)当y=4时,求x的值.解析:(1)由于y-3 与x 成正比例,所以设y-3=kx. 把x=2,y=7 代入y-3=kx 中,得 7-3 =2k,∴ k =2.∴ y与x 之间的函数关系式为y-3=2x,即 y=2x+3. ( 2 )当x=4 时,y=2×4+3=11. ( 3 )当y = 4 时,4=2x+3 ,∴x= . 类型二:待定系数法求函数解析式 、求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式. 思路点拨:图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为 y=2x+b,再将点(2,-1)代入,求出b 即可. 解析:由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,∵图象经过点( 2 ,-1 ),∴ -l=2×2+b.∴ b=-5,∴所求一次函数的表达式为y=2x-5. 总结升华:求函数的解析式常用的方法是待定系数法,具体怎样求出其中的待定系数的值,要根据具体的题设条件求出。 举一反三: 【变式 1 】已知弹簧的长度y (cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg )的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg 的重物时,弹簧的长度是7.2cm,求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一次函数经典例题
锐角三角函数经典总结