专题+曲线与方程年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题54曲线与方程

最新考纲

1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研究曲线的简单性质．

3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

基础知识融会贯通

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

【知识拓展】

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

2．曲线的交点与方程组的关系

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

重点难点突破

【题型一】定义法求轨迹方程

【典型例题】

已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）

C．（x≠0）D．（x≠0）

【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），

∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，

∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：B．

【再练一题】

动圆M与定圆C：x2+y2+4x＝0相外切，且与直线l：x﹣2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（）

A．y2﹣12x+12＝0 B．y2+12x﹣12＝0

C．y2+8x＝0 D．y2﹣8x＝0

【解答】解：圆C的标准方程为（x+2）2+y2＝4，圆心为C（﹣2，0），半径为2．

如下图所示，

设圆M的半径为r，则|MC|＝r+2，点M到直线l的距离为r，由题意可知，点M到点C的距离等于点M到直线x＝4的距离，

设动点M的坐标为（x，y），则，化简得y2+12x﹣12＝0．

因此，动点M的轨迹方程为y2+12x﹣12＝0．

故选：B．

思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

【题型二】直接法求轨迹方程

【典型例题】

已知△ABC一边的两个端点是A（7，0），B（﹣7，0），另两边斜率的积是，那么顶点C的轨迹方程是（）

A．x2+y2＝49（y≠0）B．1（y≠0）

C．1（y≠0）D．1（y≠0）

【解答】解：设顶点A的坐标为（x，y），

则；k BC，

由题意得，即1（y≠0），

故选：D．

【再练一题】

已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．

【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，

整理可得：．

∴曲线E的方程是．

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．

当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，

联立消去y得．

，，

所以，，

．

当且仅当，即时等号成立，此时．

经检验可知，直线和直线符合题意．

思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

【题型三】相关点法求轨迹方程

【典型例题】

已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3，记动点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN 的斜率之和为1，求实数t的值．

【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），

∵，

∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），

即，

∴，

∵|AB|＝4，

∴m2+n2＝16，

∴，

∴曲线C的方程为：；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，消去y得，

37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，

由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，

可得，

又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），

且直线HM与HN的斜率存在，

∴t≠±1，

又，，

∴k HM+k HN

＝41，

解得t＝3，

故t的值为3．

【再练一题】

在圆x2+y2＝1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且PM PD，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（）

A．y2＝1（y≠0）B．y2＝1（y≠0）

C．x21（y≠0）D．x21（y≠0）

【解答】解：设M（x，y），则P（x，），