人教版9年级下册数学 相似三角形的判定(1)(导学案)
27.2 相似三角形
镇海中学 陈志海
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定（1）
一、新课导入
1.课题导入
问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？
问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题).
2.学习目标
（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.
（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.
（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理.
3.学习重、难点
重点：平行线分线段成比例定理及其推论.
难点：正确理解定理中的“对应线段”.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.
在△ABC 和△A ′B ′C ′中, 如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=C ′, AB BC CA k A B B C C A ===''''''
, 那么△ABC 和△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△
A ′
B ′
C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为1k
. 全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.
②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
③完成教材P29探究：
a.如图1，量一量，算一算，AB BC 与DE EF 相等吗？BC AB 与EF DE 呢？AB AC 与DE DF
呢？BC AC 与EF DF
呢? b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴
AB BC =DE EF ，BC AB =EF DE ，AB AC =DE DF ，BC AC =EF DF
. c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
d.指出图1中的所有对应线段(如AB 与DE)：C 与EF,AC 与DF.
④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：
在这两个图形中，把DE 看成平行于△ABC 的边BC 的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
即：∵DE ∥BC,∴AD DB =AE EC ，AD AB =AE AC ，BD AB =CE AC
. 2.自学：结合自学指导进行自学.
（1）师助生：
①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形.
②差异指导：根据情，指导学生结合图形理解“对应线段”.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P30思考~P31.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).
证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
证三条边成比例：由DE∥BC可得AD
AB
＝
AE
AC
，由EF∥AB可得
BF
BC
＝
AE
AC
.
由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故
DE BC
AD
AB
=
AE
AC
=
BF
BC
.所以△ADE∽△ABC.
②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？
∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AE AC AB BC AC
==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴
AE AD DE AC AB BC ==. ∴△ADE ∽△ABC.
③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC.
∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AE FC EC
=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，
∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DE EF EC FC
==, ∴△ADE ∽△EFC.
④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形.
由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC.
2.自学：结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化.
②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形.
（2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=
2.图中的相似三角形是
△ADE∽△ABC，其相似比是3
5
.
第1题图第2题图
2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
3.(10分)如图，DE∥BC，
1
2
AD
DB
，则
AE
AC
=(B)
A.1
2
B.
1
3
C.
2
3
D.
3
2
第3题图 第4题图
4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）
5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .
解：∵AB ∥CD ∥EF,
∴35
BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.
（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;
（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.
解：（1）∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC,
∴58
DE AD BC AB ==. （2）
AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525
BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）
7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．
解：（1）BC AB AC CA DC DA
==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知
121066DC AD
==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.
证明：∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,
∴,AD DE DO DE AB BC CO CB
==. ∴
AD DO AB CO =. 【素材积累】
1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
2、摘有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩摘大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声旧出来了，原来是雪摘告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！