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相似三角形判定专项练习30 题（有答案）

相似三角形复习

【知识要点】

1、相似三角形的定义

三边对应成 _________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．

2、相似三角形的判定方法

1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：

2.两个角对应相等的两个三角形 __________ ．

3.两边对应成 _________ 且夹角相等的两个三角形相似．

4.三边对应成比例的两个三角形 ___________ ．

1、对应角相等

2、对应边成比例

性质：

3、对应周长比等于相似比

4、对应面积比等于相似比的平方

、两角对应相等

1

判定：、两边对应成比例，且夹角相等

2

、三边对应成比例

3

1. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于 1 时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。

2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。

②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。③三边对应成

比例，两三角形相似。

3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。②相

似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。③相

似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

【典型例题】

1、如图在 4 ×4 的正方形方格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上．

（ 1）填空：∠ ABC=______， BC=_______．

（ 2）判定△ ABC 与△ DEF 是否相似？

2、如图所示， D 、 E 两点分别在△ ABC 两条边上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件 _________ ，使得△ ADE ∽△ ABC ．并证明

3、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 、F 分别在 AB 、BC 、AC 边上， DE=DF ，∠ EDF=∠ A ．（1）求证：

DE AB

． (2)证明： BDE 与 EFC 相似。

EF

BC

4、已知，如图， CD 是 Rt ABC 斜边上的中线， DE AB 交 BC 于 F ，交 AC 的延长线于 E ，说明：⑴

ADE ∽ FDB ； ⑵CD 2 DE ?DF ．

E

C

F

A

D

B

5、已知：如图， □ABCD 中 E 为 AD 的中点， AF ：AB=1： 6， EF 与 AC 交于 M 。 求： AM ： AC 。

【随堂训练】

AE 1.如图，若

= ，则 △ AEF ∽ △ABC ，理由是

.

AB

2.在 △ABC 与△ DEF 中，已知 AB=3， BC=2， DE=6， EF=4，再补充条件 ∠

=∠ ，

就可

以判定 △ ABC ∽ △ DEF .

3.如图， AD=6，AE=8， EC=4，则当 BD= 时， △ ADE ∽ △ ACB.

AE AD 2 4.如图，在 △ ABC 中，点 D 、E 分别在边

AB 、AC 上，且

AC

AB

3

，若 DE=4 ㎝，则 BC=

㎝ .

5.D 是△ ABC 边 AB 上一点，要使 △ ACD ∽ △ ABC ，则还须具备的条件是（

）

A.AC ：CD=AB ： BC

B.CD ：AD=BC ： AC

2

2

C. CD=AD ·DB

D. AC =AD ·AB

A

A

E D

D

A

E

E

C B

第 C

第

C

第

B

C

第

6.判断题：

（1）相似三角形的对应角相等 ( )

（2）相似三角形的高的比等于相似比

(

)

（3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 (

)

（4 ） △ABC 和 △ A 1B 1C 1 的中线 AD ： A 1D 1=k,则 AB: A 1B 1=k( )

7.已知：如图，在 △ ABC 中， DE ∥ BC ， DE 分别与 AB 、 AC 相交于 D 、 E ，

AD:AB

1:3 ．若 DE

2，则 BC

_________．

8.下列判断正确的是（ ）

A. 两个直角三角形相似

B.两个相似三角形一定全等

C.凡等边三角形都相似

D.所有等腰三角形都相似

7、

9、如图 △ABC 中， DE ∥ BC ， AE=1，AC=2，则 S △ ADE ： S △ABC=（ ）

9 图

A 、 1：2

B 、1：3

C 、1：4

D 、 1：9

10．如图， △ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，且有下列条件： （ 1） ∠ B ＋ ∠ DAC ＝ 90°；（ 2） ∠ B ＝ ∠ DAC ；

（3）

CD

＝

AC

；（ 4）AB 2＝ BD ·BC 其中一定能够判定

△ ABC 是直角

三角形的共有（

）

AD

AB

A 、3 个

B 、2 个

C 、1个

D 、0 个

题 10

题 11 题 12

A、 AE⊥ AF

B、 EF︰ AF＝ 2 ︰1

C、 AF2＝ FH·FE

D、 FB︰FC＝ HB︰ EC 页脚内容 3

相似三角形判定专项练习 30 题（有答案）

12．如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AD 上任意一点，则有（）

A、△ ABE的周长＋△ CDE的周长＝△ BCE的周

B、△ ABE的面积＋△ CDE的面积＝△ BCE的面

积

C、△ ABE∽ △ DEC

D、△ ABE∽ △ EBC

13．ACD ∽ ABC ，则下列各式成立的是（）

A、AC2 AD AB

B、CD2 AD DB

C、AC : CD AB: BC

D、CD:AD BC: AC

14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。其中两个图形一定相似的是 ( )

A．四组B．三组C．两组D．一组

二、填空题

1．已知，在△ ABC中，AB＝ AC＝ 27，D 在 AC 上，且 BD＝BC＝18，DE∥ BC交 AB 于 E，则 DE＝ _______ ．

1

FD， EF 交 AC 于 G，则 AG︰ AC＝ ______ ．2．如图，□ABCD中， E 是 AB 中点， F 在 AD 上，且 AF＝

2

题2题3

3．如图，已知△ABC， P 是 AB 上一点，连结CP，要使△ ACP∽△ ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．

4．如图， AD 是△ ABC的角平分线，DE∥AC， EF∥ BC， AB＝ 15， AF＝ 4，则 DE的长等于 ________．

题4题5

5．如图，直角梯形ABCD中， AD∥ BC， AC⊥ AB，AD＝ 8 ，BC＝ 10，则梯形ABCD面积是

_________．

6.两个相似三角形对应高的比为1∶ 3 ，则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；

7．在菱形 ABCD和菱形 A′ B′C′ D′中，∠ A=∠ A′ =60 °，若 AB∶ A′ B′=1∶ 3 ，则

BD∶A′

C′ =________．

三、解答题

1、如图，在Rt△ ABC中， AD 为斜边 BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，求 AB∶ AC

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2、如图，

ABC 中， BD 是角平分线，过

D 作

DE ∥ AB 交

BC 于

点

E ， AB=5cm ， BE=3cm ，求

EC 的长 .

3.如图， AO ⊥ OD ，点 B 、 C 在 OD 上，且 OA=OB=BC=CD ，求证：△ ABC ∽△ DBA 。

4.梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为 AB 、CD 上的一点， 且梯形 AEFD ∽梯形 EBCF ，若 AD=8，BC=18，试求 AE ： EB 的值。

A

D

E

F

B C

5．已知在△ ABC 中，△ ABC ∽ ADE ， DE ∥ BC ，如果

AD

3

， AE=15，求 AC 和 EC 的

长 。

DB 2

A

D E

B

C

相似三角形提高练习

一、选择题

4.

如图，在 △ ABC 中， AB

AC 5 ， BC 6，点 M 为 BC 的中点， MN

AC 于点 N ，

则 MN 等于（

）

6 9

12

D ．

16

A ．

B ．

C ．

5

5

5

5

D ，

△ ABC

5.

如图， △ ABC

CD AB

于

为直角三角形的条件的个数是 （ ）

中，

一定能确定

① 1A ，②

CD

DB

，

③

B

2

°，④ ∶∶∶∶，

AD CD

90

BC ACAB 345

A ． 1

B ． 2

C ．3

D ． 4

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相似三角形判定专项练习30 题（有答案）

`12 3

4.如图，在长为8 cm 、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原

矩形相似，则留下矩形的面积是（）

A. 2cm2

B. 4cm2

C. 8cm2

D. 16cm2

5.如图，正方形 ABCD中，E为 AB的中点，AF⊥DE于点 O，则AO

等于

（）

DO

A．2 5

B．

1

C．

2

D．

1 3 3 3 2

6.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为

3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第 4张B．第 5张 C.第6张 D．第 7张

7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°， AC=30 ㎝， AB=50 ㎝，依次裁下宽为 1 ㎝的矩形纸条a1 2 3

，若使裁得的矩形纸条

、 a 、 a

的长都不小于 5 ㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )

A.24

B.25

C.26

D.27

页脚内容 6

4567

8.如图，在Rt△ABC中，ACB 90°，BC 3，AC 4，AB 的垂直平分线DE 交 BC 的延长线于点 E ，则 CE 的长为（）

3 7 25

D． 2

A．B．C．

2 6 6

9.如图所示，已知点E、F 分别是△ ABC 中 AC、AB 边的中点， BE、CF 相交于点 G ， FG 2 ，则 CF 的长为（）

A． 4 B． 4.5 C． 5 D． 6

8 9

二、填空题

1、如图，点 M 是△ ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△

2、△ 3（图中阴影部分）的面积分别是 4 ， 9 和 49 ．则△ ABC的面积是．

2、如图，Rt△ ABC

中，

ACB 90°， EF ∥ BD， AB

于点

E， AC

于点

G， AD

于点

F，

直线交交交

若S

△ AEG 1

S四边形EBCG，则

CF

．3 AD

3、将三角形纸片（△ ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．已知 AB＝ AC＝ 3，BC＝ 4，若以点 B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么 BF 的长度是．

10

11

12

三、解答题

1、已知： P 为平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，过点 P 的直线与 AD 、BC ，CD 的延长线， AB 的延

长线分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H 求证：

PE

PH

PF PG

G

D

C

E

P

F

A B

H

2、已知：在三角形

AE BF ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且

=2，BE 、 CD 相交于点 F ，求

EC

EF

A

D

F

E

B

C

3、已知：在三角形

1 AB ，延长 BC 到 F ，使 CF=

1 ABC 中， AD= BC ，连接 FD 交 AC 于点 E ，求证：（ 1）

3

3

DE=EF ，（2）AE=2CE

A

D

E

B

4、如图， DE//BC，S ADE=1，S BDE=1求：S ABC

A

D E

B

C

5、PD//AB 交 AC 于 D，联结 PA，设 BP=x,

S ADP=y求：（1）y与x之间的函数关系式并写出x 的范

围；（

4 2）当 x 为何值时， y= ?

3

C

D P

A B

6、如图， D 是等边三角形ABC 的 BC 上的一个动点，DE⊥ AB，DF⊥ AC， E、 F 是垂足

（1）求证：△ BDE～△ CDE；

（2）求证：S BDF = S CDE；

（3）设 AB=1 ， BD=x ,求△ BDF 的面积 y 关于 x 的函数解析式

A

F

E

B

D C

7、已知：在正△ ABC 中，点 D、E 分别是 AB、BC 延长线上的点，且BD=CE，直线 CD 与 AE 相交于点

F 求证： (1) DC=AE；(2)AD 2DC ? DF

A

F

B

C E

D

8、已知：直角梯形ABCD 中， AB//CD，∠ ABC=90°， AB=2CD，对角线BD⊥ AC，垂足为 F，过点 F 作 EF//AB 交 AD 于 E， CF=4

（1）求证：△ DAB 为等腰三角形

（2）求 AE 的长

D C

E F

A B

9、如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB DC 5 ， AD 6 ， BC12 ．动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒1个单位的速度向终点 C 运动，动点Q从 C 点出发沿 CB 以每秒2个单位的速度向 B 点

运动．两点同时出发，当P 点到达 C 点时，Q点随之停止运动．

（1）梯形ABCD的面积等于；

（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于秒；

（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P 点离开 D 点多少时间？

D

P

B C

Q

10、如图，在平面直角坐标系中，点 C ( 3，0) ，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB2 3 OA 1 0 ．

（1）求点A，点B的坐标．

（2）若点P从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB 运动，连结 AP ．设△ ABP 的面积为S，点 P 的运动时间为 t 秒，求S与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（ 2）的条件下，是否存在点P ，使以点 A，B，P 为顶点的三角形与△ AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．y

B

C

x O A