概率论与数理统计教程习题

习题10（切比雪夫不等式）

一．填空题

1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2

)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得

≤≥-)3(σμX P .

2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得

≥<<)2715(X P .

3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ，

5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P .

4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞

→)(

lim 1

n X

P n

i i

n .

二．选择题

1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。

① )(b X a P <<； ② ))((b X E X a P <-<；

③ )(a X a P <<-； ④ ))((a b X E X P -≥-.

2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥

-)1

(λ

λX P （ ）.

① λ； ② 2

λ ③ 4

λ； ④

λ

1

.

三．解答题

1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ，

2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。

2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ，

8)(=i X D ),,2,1(n i Λ=.记∑==n

i i X n X 1

1，由切比雪夫不等式估计概率)4(<-μX p .

3. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(=i X E ，2

)(σ=i X D ，

)(4i X E 存在，且一致有界),,,2,1(ΛΛn i =.对任意实数0>ε，证明

1)1(lim 1

22

=<-∑=∞→εσn i i n X n P .

11（特征函数）

一．填空题

1. 若随机变量X 服从正态分布)4,2(N ，则=≥)3(X P . =<<)40(X P ，=≤)1(X P .

2. 若随机变量~X ),(2

σμN ，且)()(c X P c X P ≥=≤，则=c .

3. 若随机变量~X ),2(2

σN ，且3.0)42(=<

σμN ，记ασμσμ=+<<-)(k X k P .

当9.0=α时，=k ，当95.0=α时，=k .

5. 随机变量21,X X 相互独立，且都服从标准正态分布，记21432X X Y -+=， 则Y 概率密度=)(y f Y .

二．选择题

6. 若随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，且),(~2

σμN X i ),,2,1(n i Λ=，则=

∑=)1(1

n

i i X n D （ ）

① 2σ； ② 2σn ； ③ n /2σ； ④ 2

2/n σ.

7. 若随机变量Y X ,相互独立，且都服从正态分布),(2

σμN .设Y X +=ξ，Y X -=η，则

=),cov(ηξ（ ）.

① 2

2σ； ② 1； ③ 1-； ④ 0.

8. 若随机变量Y X ,满足)3,1(~2

N X ，)4,0(~2

N Y ，2/1),(-=Y X R ，则=+)2

3(Y X D （ ）.

① 5； ② 4； ③ 3； ④ 2.

三．解答题

1. 某种电池的寿命X （单位：h ）服从正态分布)35,300(2N .（1）求寿命大于250小时的概率，（2）求x ，使寿命在x ±300之间的概率不小于.

2. 测量某一目标的距离时，随机误差)40,0(~2N X （单位：m ）.

（1）求)30(≤X P ，

（2）若作三次独立测量，求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。

3. 一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售，使用寿命X （单位：年）与销售单价Y （单位：元）关系如下：

若X~N

4. 若随机变量)1,0(~N X ，设X

e Y =，求随机变量Y 的概率密度)(y

f Y .

12（中心极限定理）

一．填空题

1. 若随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则),(Y X 的联合概率密度为

=),(y x f .

2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为

),(,31),(]3)2(3

)2)(1()1[(3222∞+<-∞+∞<<-∞=

-+--+--y x e y x f y y x x π

则=)(X D ，=)(Y D ，=),(Y X R .

3. 若随机变量X 服从二项分布)8.0,10000(B ，由中心极限定理，有

≈<-)408000(X P . 二．选择题

1. 若二维随机变量),(Y X 服从二元正态分布),,,,(2

2r N y x y x σσμμ,则X 与Y 不相关是X

与Y 不相互独立的（ ）条件。

① 充分且必要； ② 充分但不必要； ③ 必要但不充分； ④ 即不充分也不必要.

2. 若随即变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布)(λP ，当=X （ ）时.)()(lim x x X P n Φ=≤∞

→.（其中)(x Φ为标准正态分布的分布函数）.

①

n

n X

n

i i

∑=-1

λ； ②

λ

λ

n n X

n

i i

∑=-1

；

③

λ

λ

n n X

n

i i

∑=-1

； ④

λ

λ

n n X

n

i i

∑=-1

.

三．解答题

1. 30个独立使用的电子元件，它们的寿命i T 都服从指数分布，且每个元件的平均寿命都为100（h ），其使用情况是：一个损坏后，另一个立即起用。记∑==30

1

i i

T

T ，求总寿命T 超过3500

（h ）的概率。

2. 如果计算机在进行加法运算时，对每个加数取整，若每个加数产生的误差i X 是相互独立，且服从区间)5.0,5.0(-上的均匀的随机变量。

(1) 求将1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率，

(2) 问最多几个数相加，可使误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%.

3. 某车间有200台独立工作的机床，同一时刻只有60%的机床在开动。每台机床开动时耗电量为E ，问至少要供给该车间多少电能才能以%的概率保证车间不因供电不足而影响生产。