2019年东城区理科一模及答案

2019北京市东城区高三一模

数 学（理）

2019.4

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2

{20},{210},A x x x B x x =+>=+>则A

B =（ ）

（A ）12x x ??>-????

（B ）12x x ??>

????

（C ）{0}x x > （D ）R

（2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为（ ） （A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i

（3）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠，则下列各式的值一定为负的

是

(A)sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα

（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ ）

（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形

（5）若,x y 满足010,26,x y y y x +??

+??-?

≥，≤≥则x y -的最大值为 （ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，

则线段BC 的长为（ ）

(A)83

(B) 3 (C)

16

3

(D)6

（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容

异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，11

()2n n n

a a n a *+=

+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（ ） （A ）0,2,a n ?>?≥

使得n a < （B ）0,2,a n ?>?≥使得1n n a a +<

（C ）0,,a m *?>?∈N 总有()m n a a m n <≠

（D ）0,,a m *

?>?∈N 总有m n n

a a +=

第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9

）在6)x 的展开式中，2

x 的系数是 .（用数字作答）

（ 10 ）在△ABC 中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=

.

（ 11）若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+??

=+?（θ为参数）关于直线:l 1,

22x t y t =+??=-+?

(t 为参数)对称，则a = ；此时原点

O 到曲线C 上点的距离的最大值为 .

（ 12

）已知向量(1=a ，向量b 为单位向量，且1?=a b ，则2-b a 与2b 夹角为 .

（13）已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ?∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条

件的一个区间是________.

（14）设A B ，是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，??=?∈?

01.x B n x B ，，

，??=?∈?

①若A B ?.则对任意x ∈R ，(1)m n ?-=_____；

②若对任意x ∈R ，1m n +=，则A B ，的关系为__________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知函数()4cos sin()6f x a x x π

=-，且()13

f π=. (Ⅰ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；

(Ⅱ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求m 的最大值.

改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．

（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；

（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）

1

如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C 中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC AC 的中点．

（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；

（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1

ACD 求1

AD

DB 的值.

设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；

（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，

若不存在，说明理由.

已知椭圆22

:

1(0)4x y C m m m

+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；

（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点

P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.

已知L *

∈N ，数列12:n A a a a L ，，

，中的项均为不大于L 的正整数. k c 表示12,,,n a a a L 中k 的个数(1)k L =L ，2，，. 定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()k

c c c t k L n

+++=?L .

（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,

,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.

求证： i i t a a =（）(1,2,,)i n =L 的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；

L （Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,

,).i n =