最新-2018高中数学 第2章221等差数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5 精品
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【思路点拨】 将递推公式变形,然后按等差数
列的定义判定. 【解】 (1)数列{a1n}是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=a2n+an2, ∴an1+1=an2+an2=12+a1n,∴an1+1-a1n=12,
即{a1n}是首项为a11=12,公差为 d=12的等差数列. (2)由(1)可知a1n=a11+(n-1)d=n2, ∴an=n2.
2n-12.
【名师点评】 根据等差数列的通项公式an= a1+(n-1)d,由已知等差数列的任意两项,就 可以求出首项和公差,从而写出数列的通项公
式.
互动探究 在本例中,若条件改为“已知a5=11, an=1,d=-2”,如何求n? 解:由 a5=11,an=1, 得aa11+ +4nd-=111d=1 ,∴aa11++4n×--1×2=-121=1 ,
解得 n=10.
等差中项 若 a、A、b 成等差数列,即 A=a+2 b,则 A 就是 a 与 b 的等差中项,若 A=12(a+b)时,则 a、A、b 成等差数列,这是判定三个数成等差数列的条件.
例2 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这 五个数成等差数列,求此数列.
【思路点拨】 可利用等差中项先求得b,再依次
2.等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填表:
递推公式
通项公式
___a_n-__a_n_-_1__=d(n≥2) ____a_1a+_n=_(_n_-_1_)_d
3.等差中项 在由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做a 与b的等差中项.这三个数满足关系式a+b= _2_A__.
2.等差数列与一次函数的关系
解析 式
不同 点
相同 点
等差数列
一次函数
an=kn+b(n∈N*)
f(x)=kx+ b(k≠0)
定义域为N*,图象是一 系列均匀分布的孤立的
点(在同一直线上)
定义域为R,图 象为一条直线
其通项公式与函数的解析式都是关于自变
量的一次式(公差d不为0时)
3.等差数列的通项公式可以解决以下三类问题 (1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,可求出第 四个量; (2)已知数列{an}的通项公式,可以求出等差数列 {an}中的任一项,也可以判断某一个数是否是该数 列中的项; (3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常 函数,则可判断{an}是等差数列.
根据等差数列的定义可知,一个数列是否为等差 数列,要看任意相邻两项的差是否为同一常数, 要判断一个数列为等差数列,需证明an+1-an= d(d为常数)对n∈N*恒成立,若要判断一个数列不 是等差数列,只需举出一个反例即可.
例3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1=a2n+an2. (1)数列{a1n}是否为等差数列?说明理由;(2)求 an.
方法感悟 1.等差数列定义的理解 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件. (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运 算要求,它的含义有两个:其一是强调作差的顺 序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项 必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个 数列不能称为等差数列.
变式训练 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为等差数 列? 解:法一:由题意可知,an=a1+(n-1)d(a1、d为 常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4 =3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4. 由于bn是关于n的一次函数(或常值函数,d=0时), 故{bn}是等差数列. 法二:根据题意知bn+1=3an+1+4, ∴bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an) =3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等 差数列.
2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用.
2.
2.1
等
差
源自文库
课前自主学案
数
列
的
课堂互动讲练
概
念
及
知能优化训练
通
项
公
式
课前自主学案
温故夯基
1.数列{an}的前4项为0,2,4,6,则其一个通项公 式为_a_n_=__2_(n_-__1_)_._ 2.数列{an}的通项公式是指:_项__a_n与_项__数__n之间 的函数关系,而递推公式体现的是_项__与_项__之 间的等量关系.
知新盖能
1.等差数列的定义 如果一个数列从第__二__项起,每一项与它的前一 项的差等于__同__一__常__数___,那么这个数列就叫做等 差数列,这个_常__数___叫做等差数列的公差,通常 用字母_d__表示.
思考感悟 1.等差数列都是递增数列吗? 提示:不一定,只有d>0,才是递增数列.
思考感悟 2.任何两个实数都有等差中项吗? 提示:都有等差中项.
课堂互动讲练
考点突破 等差数列的通项公式
等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含 有四个变数,即a1,d,n,an.如果知道了其中任 意三个数,就可以求出第四个数,这种可行性与 求出未知数的过程可以称为“知三求一”.有时是 用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值, 也可以求出这个等差数列其它未知数的值.
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种: (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)⇔{an} 为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数 列.
(3)通项法:an=kn+b(k、b为常数)⇔{an}是等差 数列.
警示:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)对任意n∈N +都要恒成立,不能几项成立便说{an}为等差数 列.
使用等差中项求得a,c.
【解】 ∵-1,a,b,c,7 成等差数列, ∴b 是-1 与 7 的等差中项.∴b=-12+7=3. 又 a 是-1 与 3 的等差中项,∴a=-12+3=1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c=3+2 7=5. ∴该数列为-1,1,3,5,7.
等差数列的判定与证明
例1 已知{an}是等差数列,根据下列条件求它的 通项公式:a5=-2,a9=6. 【思路点拨】 由条件列方程求得其首项与公差,
即可由公式写出通项公式.
【解】
由 题 意 知 : aa59= =-6,2, 则
aa11+ +48dd= =-6,2, 解方程得ad1==2-. 10,
所以数列{an}的通项公式为 an=-10+2(n-1)=
列的定义判定. 【解】 (1)数列{a1n}是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=a2n+an2, ∴an1+1=an2+an2=12+a1n,∴an1+1-a1n=12,
即{a1n}是首项为a11=12,公差为 d=12的等差数列. (2)由(1)可知a1n=a11+(n-1)d=n2, ∴an=n2.
2n-12.
【名师点评】 根据等差数列的通项公式an= a1+(n-1)d,由已知等差数列的任意两项,就 可以求出首项和公差,从而写出数列的通项公
式.
互动探究 在本例中,若条件改为“已知a5=11, an=1,d=-2”,如何求n? 解:由 a5=11,an=1, 得aa11+ +4nd-=111d=1 ,∴aa11++4n×--1×2=-121=1 ,
解得 n=10.
等差中项 若 a、A、b 成等差数列,即 A=a+2 b,则 A 就是 a 与 b 的等差中项,若 A=12(a+b)时,则 a、A、b 成等差数列,这是判定三个数成等差数列的条件.
例2 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这 五个数成等差数列,求此数列.
【思路点拨】 可利用等差中项先求得b,再依次
2.等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填表:
递推公式
通项公式
___a_n-__a_n_-_1__=d(n≥2) ____a_1a+_n=_(_n_-_1_)_d
3.等差中项 在由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做a 与b的等差中项.这三个数满足关系式a+b= _2_A__.
2.等差数列与一次函数的关系
解析 式
不同 点
相同 点
等差数列
一次函数
an=kn+b(n∈N*)
f(x)=kx+ b(k≠0)
定义域为N*,图象是一 系列均匀分布的孤立的
点(在同一直线上)
定义域为R,图 象为一条直线
其通项公式与函数的解析式都是关于自变
量的一次式(公差d不为0时)
3.等差数列的通项公式可以解决以下三类问题 (1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,可求出第 四个量; (2)已知数列{an}的通项公式,可以求出等差数列 {an}中的任一项,也可以判断某一个数是否是该数 列中的项; (3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次函数或常 函数,则可判断{an}是等差数列.
根据等差数列的定义可知,一个数列是否为等差 数列,要看任意相邻两项的差是否为同一常数, 要判断一个数列为等差数列,需证明an+1-an= d(d为常数)对n∈N*恒成立,若要判断一个数列不 是等差数列,只需举出一个反例即可.
例3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1=a2n+an2. (1)数列{a1n}是否为等差数列?说明理由;(2)求 an.
方法感悟 1.等差数列定义的理解 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件. (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运 算要求,它的含义有两个:其一是强调作差的顺 序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项 必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个 数列不能称为等差数列.
变式训练 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为等差数 列? 解:法一:由题意可知,an=a1+(n-1)d(a1、d为 常数),则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4 =3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4. 由于bn是关于n的一次函数(或常值函数,d=0时), 故{bn}是等差数列. 法二:根据题意知bn+1=3an+1+4, ∴bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an) =3d(常数).由等差数列的定义知,数列{bn}是等 差数列.
2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用.
2.
2.1
等
差
源自文库
课前自主学案
数
列
的
课堂互动讲练
概
念
及
知能优化训练
通
项
公
式
课前自主学案
温故夯基
1.数列{an}的前4项为0,2,4,6,则其一个通项公 式为_a_n_=__2_(n_-__1_)_._ 2.数列{an}的通项公式是指:_项__a_n与_项__数__n之间 的函数关系,而递推公式体现的是_项__与_项__之 间的等量关系.
知新盖能
1.等差数列的定义 如果一个数列从第__二__项起,每一项与它的前一 项的差等于__同__一__常__数___,那么这个数列就叫做等 差数列,这个_常__数___叫做等差数列的公差,通常 用字母_d__表示.
思考感悟 1.等差数列都是递增数列吗? 提示:不一定,只有d>0,才是递增数列.
思考感悟 2.任何两个实数都有等差中项吗? 提示:都有等差中项.
课堂互动讲练
考点突破 等差数列的通项公式
等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含 有四个变数,即a1,d,n,an.如果知道了其中任 意三个数,就可以求出第四个数,这种可行性与 求出未知数的过程可以称为“知三求一”.有时是 用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值, 也可以求出这个等差数列其它未知数的值.
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种: (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)⇔{an} 为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数 列.
(3)通项法:an=kn+b(k、b为常数)⇔{an}是等差 数列.
警示:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)对任意n∈N +都要恒成立,不能几项成立便说{an}为等差数 列.
使用等差中项求得a,c.
【解】 ∵-1,a,b,c,7 成等差数列, ∴b 是-1 与 7 的等差中项.∴b=-12+7=3. 又 a 是-1 与 3 的等差中项,∴a=-12+3=1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项,∴c=3+2 7=5. ∴该数列为-1,1,3,5,7.
等差数列的判定与证明
例1 已知{an}是等差数列,根据下列条件求它的 通项公式:a5=-2,a9=6. 【思路点拨】 由条件列方程求得其首项与公差,
即可由公式写出通项公式.
【解】
由 题 意 知 : aa59= =-6,2, 则
aa11+ +48dd= =-6,2, 解方程得ad1==2-. 10,
所以数列{an}的通项公式为 an=-10+2(n-1)=